蘭福德立方體
每種顔色有兩個方塊，共3種顔色6個方塊♦
蘇格蘭數學家C·達德利·蘭福德在觀察他的兒子玩六個彩色方塊(每種顔色有兩個方塊)。他注意到，兒子把它們排成兩個白色方塊之間隔着一個方塊，兩個紅色方塊之間隔着兩個方塊，兩個黑色的方塊之間隔着三個方塊。這裡，我使用上圖來表示我的意圖:
我們發現兩個白色方塊之間隻有一個方塊(碰巧是紅色)。紅色方塊之間有兩個方塊(一個黑方塊，一個白方塊)。黑色方塊之間有三個方塊(兩個白色方塊和一個紅色方塊)。蘭福德思考了一下，證明了這是這種排列的唯一排法，左右調換除外。
用數字表示就是：312132
或者是逆序數：231213
他想知道用更多顔色是否可以進行這種排列(比如四種)。他再次發現隻有一種排法，加上它的左右調換。你能找出這種排法嗎?解這道題最簡單的方法是用撲克牌代替方塊。用兩個A，兩個2，兩個3和兩個4。
你可以将這些牌排成一行，使得恰好有一張牌在兩個A之間，兩張牌在兩個2之間，三張牌在兩個3之間，四張牌在兩個4之間嗎?
五對或六對牌沒有這樣的排列，但是7對牌有26種這樣的排列。一般而言，當且僅當牌的對數是4的倍數或者比4的倍數小1時，才有解。
雖然不存在計算有多少解的公式，但是2005年邁克爾·克雷傑凱、克裡斯托夫·解雷德和阿蘭·裴用計算機算了三個月，終于發現24對牌有46845158056515936種這樣的排列。
答案請看下圖：
可以用撲克牌，也可以用麻将
十六字令
本節的題目很不好定，原想實話實說，直截了當地使用标題“從保險箱的密碼組合到私奔的闖關密碼”，雖然開門見山，但畢竟題目太長了，不符合任何一本書的體例.
然而，這确實是個16位數，又是同日期有關的通過關卡的密碼.于是，一下子心血來潮，取了這個有現成詞牌的題目.
有人說，他從一本德文書裡看到過這個問題。有位上了富豪榜的大财閥有個保險箱，儲存了大量的現金、有價證券、鑽石、珠寶和古董，開箱的密碼是個16位數，由兩個1，兩個2……直到兩個8，總共16個數字所組成.
密碼的設計思想是，它是一個16位的數字串，從左到右，在兩個1中間夾着一個數字，兩個2中間夾着兩個數字，依此類推，直到在兩個8的中間夾着八個數字。書中的解法非常含糊，隻是說，電子計算機至少給出了300個答案設定的提示也十分簡單，第一個8隻可能位于位置1至7，否則就沒有足夠的位置用于第二個8了。這樣的提示，說了等于沒說，不解決任何問題.
德文書我看過不少，其中包括大數學家高斯、黎曼、希爾伯特等人的全集(當然這些書隻能在圖書館裡閱覽，不準外借)，但可惜沒見過這本書.不過有一點，既然至少有300個答案，怎麼可能是保險箱的密碼呢?一年有365天或366天(年)，數字上落不大，它倒非常像個随日期而變動的“密碼”了。
進而在刹那之間想起了往事，一首名為《月夜》的德國民歌浮現在眼前:
一望無際的天空，籠罩在大地上;
月亮放射出銀光，敦促大地入夢鄉.
那晚風飄過田野，掀起一片麥浪.
樹林在沙沙作響，星光多麼明亮.
我的心靈無比舒暢，它展開翅膀。
飛過寂靜的田野，飛回它的家鄉。
在一般人的眼中，德國人是一個嚴肅而剛強的民族，不像法國、意大利、西班牙人那樣的浪漫與多情。但在德國文學中，照樣也有《茵夢湖》那樣優美、高雅、蒼涼與抒情的作品.
本故事的女主人公也叫伊麗莎白，不過她比《茵夢湖》中的同名者要幸運得多，因為她的智力高超的男朋友經過一番苦苦思索，終于找到了神奇的5月16日密碼(從耶稣聖誕節起算，而不是從1月1日元日開始，這又是一個詭計，一個暗樁)，闖關成功擺脫了中世紀城保式的羁絆，至于他們能否真的白頭到老，那就不得而知了(在中國也有類似的例子，畫家徐悲鴻與宜興的大家閨秀蔣碧微私奔成功而結婚。到頭來還是以離婚而告終)。
讓我們先從最簡單的情形說起。對兩個1與兩個2來說，問題顯然無解。因為兩個1的中間隻能放個2.然而第二個2無論放在121的左面或反面，所得出的2121或1212都是不合要求的。實不相瞞。當年我站立在電車上沒有座位時，幾分鐘内就找到了本問題的六位數答案:
312132(或其逆序數231213)，
八位數答案随即接踵而至:41312432.
然而問題在許多情形下是無解的，不能盲目蠻幹。首先應注意到，根據問題的性質，不存在包容性的嵌套結構。
其次，在數字串的左邊諸格中5與4是不能緊挨的4與33與2.2與1都如此，否則要發生“撞車”現象;根據同樣的情形，在右側諸格中,兩個連續自然數是不能按照遞增順序相鄰的，見圖4-2
圖4-2
此格将有“不3不4”的内在沖突
在中世紀的德國，哪有電子計算機可用?解的存在與否，一般是用“順水推舟法”來做的，許多情形下都會出現水到渠成，非此不可的情形，沒有多大選擇餘地，進而可以迅速達到擴充結點或删除(圖論或人工智能術語)之目的，為了便于讀者進一步了解，讓我們再舉些例子來略加說明:
【例1】既然54，32等都不能連在一起，我們就從531開始，進而順水推舟，必将擴充數字串到達53121354??然而下面兩格就無法安排了。
【例2】從531出發的數字串一直可以順利擴充到531413524?到此地步、可謂諸事稱心，然而最後剩下來的一個2無法安置，還是隻能“功虧一篑”地失敗了，真是前功盡棄.
為節省篇幅起見，讓我們說出伊麗莎白小姐的男朋友所推導出來的通關密碼吧:它是
2672815164735843.
最後要說的是，盡管這個問題來自中世紀，但至今研究者大有人在，迄今未衰。因為在有解的情形下，随着位數的增多，答案将會像“幻方”一樣空前地膨脹起來.然而并沒有找到一種不用計算機的、簡潔、幹淨、快速有效的辦法把答案直接寫出來，就像是微分方程，解是明明存在的，然而就是沒有辦法把它實際求出來。看來，這是許多數學問題的天生痼疾，它是與生俱來無藥可治的.
注釋
本文第一章節：蘭福德立方體摘自《數學萬花筒》，配圖未采用原書插圖，而是自行制作。
第二章節摘自著名數學科普作家談祥柏的作品《數學未了情》。
這兩個章節論述的是相同的數學問題，可以對照閱讀。
如果要寫出一個由兩個1，兩個2......一直到兩個7，這七個對子組成的14位數，要求兩個1之間夾着一個數，兩個2之間夾着2個數，以此類推，直到兩個7之間夾着7個數。這個問題如何尋找答案？書中沒有解法和答案，隻有自己想辦法。
辦法有很多種，簡單說一下。
可以用一副撲克牌來探究答案。
可以用麻将來探究答案，也許比撲克牌更友善，更好用。
麻将是很好的探究數學問題的道具
可以在電腦上程式設計，暴力找出全部答案。
不會程式設計的讀者可以用辦公軟體Excel來探究答案。
最後，我采用的辦法是在方格紙上探究答案。有一個很重要的數學思想是分類讨論。
在方格紙上先填兩個7，隻有6種填法符合要求，于是就把所有的情況分為6大類，再展開分類讨論即可。
兩個7分别填入第一格和第九格，這是第一類。
再考慮兩個1有幾種填法，按照一個不重，一個不漏的原則展開分類讨論。
就像玩填字謎遊戲，或者是數獨遊戲或者是其他遊戲一樣，一邊填空，一邊推理，排除不可能的情況。
玩這個遊戲之前，認為變化很多，但是填了幾個格子以後，受題目要求的限制，自由發揮的餘地并不算大。
嘗試了幾次，就得到了一個答案，請看下圖：
答案1
大家可以對照上圖，驗證答案是否正确。
這是一個富有趣味的數學問題，很适合業餘數學愛好者，大家可以用玩遊戲的心态，選擇适合自己的方式去探究答案。
全部答案有26種，期待讀者找到後在評論區留言。有你的參與更精彩。
上圖的答案1也提供了一種麻将牌暗七對的稀奇排列，期待大家找出暗七對的其餘25種排列方式。
科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。