作者|彭剛
源|本文原載于《數學文化》第11卷（2020年）第2期
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從數學的曆史發展來看，初等數學與高等數學的關系是十分密切的。然而，在目前的數學教學中，兩者往往處于分離狀态。本文基于平面幾何問題的各種解和概括，通過虛拟對話的方式，對這些解決問題方法的相關曆史背景及其内部聯系進行了初步探讨，并試圖勾勒出初級數學是如何發展成高等數學的。從某種意義上說，這種對話的内容可以看作是兩千多年數學發展史的一個縱向方面。
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M Klein：20世紀的美國數學家和數學家。《古代和現代數學的思想》是他的傑作之一，它讨論了數學思想的古代和現在的曆史，這是選擇他作為這次對話主持人的主要原因。
泰勒斯：古希臘數學家和哲學家被稱為"論證幾何的祖先"。
畢達哥拉斯：古希臘數學家、哲學家，畢達哥拉斯學派的創始人，信奉"萬物都是數數"的，即萬物都可以用整數或整數之和來表示。
Hipazus：畢達哥拉斯學派的成員，傳說他首先發現了方形對角線及其側面的不守紀律，并被驚恐的其他成員扔進了海裡。
Odorx：他提出的新尺度理論暫時消除了由不可檢測測量的出現引起的"數學危機"。
Zino：古希臘數學家和哲學家以提出一系列關于運動不可分辨性的哲學悖論而聞名。其中一個悖論是證明希臘好跑者永遠不會趕上。
歐幾裡得：古希臘論證幾何學的大師，他的著作《原創》對後代産生了深遠的影響。
Abb Wafa：中世紀阿拉伯天文學家和數學家，《天文學書》的作者，證明了平面和球面三角形的正弦定理。
笛卡爾：在17世紀，法國哲學家和數學家制定了幾何坐标系，進而創造了解析幾何。
關曉和：17世紀的日本數學家，在1683年出版的《解決問題的規律》一書中首次提出了行列式的概念和算法。
拉格朗日：18世紀法國數學家，數學分析的先驅之一。
高斯：18-19世紀的德國數學家，享有"數學王子"的美譽。在曆史上，高斯并不是第一個對複數進行幾何解釋的人，但是由于他的巨大影響，人們逐漸認識到這種解釋的合理性，進而傳達了複數與平面幾何之間的聯系，使複數成為解決平面上數學和實體問題的重要工具。
格拉斯曼：在19世紀德國數學家的曆史上，"維向量空間"的概念第一次被清晰地解釋，通過定義維向量空間的向量和積累的純幾何方法，發展出一種通用的向量作用算法。
漢密爾頓：著名的"四位數"是由19世紀的英國數學家提出的，他是曆史上第一位使用向量這個詞來表示方向段的數學家。
Ponsle：19世紀的法國數學家，他将投影幾何學轉變為一門具有獨立目标和方法的學科。
康托爾：19世紀的德國數學家和收藏理論的創始人認為"數學的本質在于它的自由"。
M. Klein：你，數學一直是西方文明的主要文化力量。首先，請古希臘的泰勒斯先生。
泰勒斯：今天我們要探索幾何學。幾何學有着悠久的曆史，人類幾何學的第一個知識是從對世界上所有事物的形狀的直覺中萌芽的。事實上，古埃及的幾何學來源于尼羅河泛濫後對土地的重新測量，"幾何學"一詞的希臘語含義是"測地線"。
數學在古希臘之前的特點是經驗的積累，幾何學也不例外，但經驗并不是擷取知識的唯一途徑，經驗不能賦予人類的推理能力，我們需要一種推理方法來保證它得出的結論是确定的。
克萊因：古希臘學者發明的推理方法是演繹法，即從公認的事實中推導出新的命題，要認識這些事實必須接受推導命題，幾何學從此進入了推理幾何學的階段，對各種幾何學的本質進行系統而深刻的分析。
泰勒斯：沒錯。雖然曆史學家将論證數學的起源歸因于由我上司的愛奧尼亞學派，但實際上我們學派的興趣主要是自然哲學，如宇宙起源理論等。關于我的傳說很多，比如我早年從業，橄榄油壓榨機生意發了财，在巴比倫我預言了585 B.C的日食，甚至說我晚上走路時星光熠熠，不小心掉進了溝裡，成了一隻湯雞——但傳說畢竟是傳說。
M. Klein：關于泰勒斯先生的一些傳說是有據可查的，例如新柏拉圖哲學家普羅克魯斯先生在他的書中介紹說，泰勒斯先生證明了下面三角形的一個非常基本的本質：等腰三角形的相等端。
三角形是繼線段和直線之後最基本、最簡單的幾何形狀，空間的大部分基本屬性已經充分展現在三角形的幾何屬性上，是以三角形是古希臘幾何學的重要内容之一。
泰勒斯：是的，我們今天要探讨的幾何問題與三角形有關：圖1，對于重心，直線相交，交叉。确認：
圖 1
畢達哥拉斯：泰勒先生，就是所謂的萬物之數，而且應該能夠做到公平！
希帕蘇斯：我的名字是一個傳說，即使再次面臨被扔進波濤洶湧的大海的危險，我也想說出我的發現：畢達哥拉斯先生，世界上确實有一個不可饒恕的部分！例如，正方形的邊緣長度和旋轉測量之間的對角線長度是永無止境的，是以是不公平的（圖2）！
圖 2
奧多克斯：向偉大的希帕蘇斯先生緻敬！其實，不管是否，也不管宣傳程度是否高，使用比例理論我都可以證明"如果兩個三角形的高度相同，那麼它們的面積比等于兩個底部的比例。我将用這個結論來回答泰勒斯先生提出的問題。
圖 3
圖3，取中點，設定。通過成為重心可以看到和， .進而
是以
再
老
簡單就在那裡
齊諾：奧多多克斯先生的解決方案很聰明，但我現在沒有時間研究它。阿喀琉斯能抓住嗎？我會考慮一下。
托勒密一世：偉大的阿喀琉斯怎麼能趕上？齊諾先生真的很幽默。但要了解奧多克斯先生的解決方案，我必須仔細研究幾何學。親愛的歐幾裡得先生，您是幾何學的大師，請告訴我，學習幾何學的捷徑是什麼？
歐幾裡得：幾何學是無王的！親愛的佩魯米國王，請參考我的書《元素》。O'Dodox先生的方法非常好，但我找到了一種更微妙的方式來補充我的原創：
圖 4
圖4，也作為中點，連接配接。如果将點作為直線放置，則存在
M.克萊因：歐幾裡得先生當之無愧地成為幾何學大師，他的方法簡單明了，輔助線條就像神的筆，充分展現了幾何學的魔咒，令人驚歎！
歐幾裡得先生的原著以亞裡士多德先生的形式邏輯作為方法論基礎，組織編纂了其前輩的工作，建構了曆史上第一個數學公理體系，堪稱西方科學的"聖經"！
Abb Wafa：Euclidean先生是真名。但我要感謝尊敬的塔萊米先生，他的書《大成》探讨了天文學，但對三角學做出了裡程碑式的貢獻。受到你的啟發，我寫了《天文學書》，它涉及三角形的正弦定律，可以用來解決這個幾何問題。
圖 5
圖5，過手，上交。
統治
可從正弦定律獲得
因為
即
M. Klein：Eb Wafa先生的解決方案将這個問題的一般情況與特殊情況進行了比較，盡管計算稍微複雜一些，但也是一個好主意。
三角學确實是從天文學的應用中誕生的，天文學可能是一門比數學曆史更長的學科，為什麼人類首先關注球面三角學而不是平面三角學也就不足為奇了。當然，随着丁磊先生的著作《論完全四邊形》的誕生，三角學逐漸成為一門獨立于天文學的學科。
三角學揭示了三角形的各種幾何量之間的函數關系，是以三角學在某種意義上是三角形的解析幾何。從本質上講，三角形定律揭示了平面幾何的測量結構，其中正弦定律與面積相關，而餘弦定律（畢達哥拉斯定理的擴充）與長度相關。是以，可以說阿布·瓦法先生的解決辦法基本上與奧多克斯先生的解決辦法相同。
笛卡爾：蓋斯先生的解決方案很聰明，但他們過于依賴幾何學，也許隻是為了利用想象力來練習了解;在這方面，我們要感謝魏達先生，他在數學符号系統化方面的出色工作大大提高了代數的普遍性。我認為現在是時候将代數和幾何學中最好的一切結合起來了，幾何學的直覺性和計算性的程式設計化，以互相補充。
克萊因：笛卡爾先生說的非常多。你和費馬先生獨立發明的解析幾何，确實是數學史上的一個重要裡程碑。但費馬先生作為數學家的風格與你截然不同，你的哲學對後代有着深遠的影響。
笛卡爾： Je pense， donc jesuis！（我以為我是）在任何時候建立我的直角坐标系。建立
由三點共線已知：
為便于計算，可以建立下表（計算相應的系數）：
這是可用的
拉格朗日：這種方法非常好！曆史告訴我們，隻要代數與幾何學分離，它們的進展就會緩慢，應用範圍很窄。但是，當這兩門科學結合在一起成為合作夥伴時，它們從彼此身上汲取了新的能量，從那時起，數學就迅速進步了。
M. Klein：的确，微積分的誕生及其蓬勃發展是最有力的證據。分析幾何的美妙之處還在于提供一種解決幾何問題的通用方法：代數幾何元素（點對應于實數對，曲線對應于方程），是以借助代數，幾何元素也可以自由操作;但笛卡爾的證明應該簡化。
笛卡爾：根據坐标系可以随意建立的原理，點可以通過取原點得到：
是以，有;因為三點不共，是以。
M. Klein： 果然！但是，與純幾何相比，解析方法往往面臨計算過于繁瑣的困境，但随着代數工具的不斷改進，這種情況應該會大大改善。
關曉鶴：首先，我代表東方的數學家，向大家緻敬！笛卡爾的證明确實使用了新的代數工具，即行列式，從三條共同的線來表示它：
利用簡單性的決定因素：
可以獲得一些行列式屬性
因為
是以。
M. Klein：這要容易得多。在西方，行列式起源于萊布尼茨先生研究的線性方程組的解，而東方的關曉和先生則從高階方程組消除的方法闡述了這一概念。盡管待遇不同，最後的旅程重聚一堂，可謂春天紫羅蘭無處不在！
經過對比，我們還可以發現，如果行列式展開，結果就是笛卡爾先生的初始計算過程，是以行列式的使用不僅解釋了為什麼三點不共線，還給出了相應的幾何解釋，即它代表了方向面積的兩倍。
另外，根據不難找到的和等同的，從圖形的角度來看，笛卡爾先生使用的三點不共線和三點不共線的性質是一樣的。是以，無論計算的工具和路徑如何變化，它們所依賴的幾何事實都保持不變。
費馬：這很合理！關于這個問題的解決，我突然想到了一個真正奇妙的證明。
克萊因：非常好！親愛的費馬先生，與整數解不同，我們有足夠的時間來思考和闡述這個問題。
費馬：在作為原點的任意點建立直角坐标系，實數的存在由三點共線已知
三點非公線未知
是以有。
克萊因：太棒了！太神奇了！上述方法實際上包含平面的一個相當基本的性質，即平面上任何一點的坐标都可以用三條已知非共線的坐标來表示，并且符号是唯一的。從本質上講，這就是我們剛才提到的"幾何事實"：平面是實域上的二維向量空間。當然，上述解也可以直接用向量來表示。
格拉斯曼：向量是現代數學的重要工具，它起源于實體學，人類早就知道力的合成符合平行四邊形定律;
M. Klein：萊布尼茨先生的願景确實是有遠見的，因為他希望建立一個可以用作空間分析的直接方法的系統。如果歐幾裡得幾何以綜合為特征，笛卡爾幾何以分析為特征，那麼向量則兩者兼而有之：它們可以像幾何一樣自由移動，也可以像數字一樣操作。此外，笛卡爾先生提到的直角坐标系可以随意建立的，本質上是矢量可以自由平移！
圖 6
格拉斯曼：沒錯。讓我們看一下如何使用矢量來解決這個平面幾何問題。圖6，設定
按重心提供
由三點共線已知存在的數量組成
是以有
克萊因：太棒了！太神奇了！矢量工具的優點是它們直覺且易于計算。
高斯：向量的概念其實很基本，比如複數也可以用向量來表示，是以上面的向量驗證也可以用複數的語言來表示代替：A作為原點建立複平面，集
其中，是實數。與設定點對應的複數分别為
正如三點共線所熟知的那樣：實數的存在使得
它由三個不對齊的點組成
即。
M. Klein：複數和向量之間有一種自然的聯系。在平面上，點、向量和複數在某些情況下可以被省略，是以許多幾何問題可以通過向量或複數來解決。
漢密爾頓：你們所有人，讓我提醒你們一件非常有趣的事情：如果你放棄了延長線，規則
那麼以上分析方法和向量法證明它仍然有效！
M. Klein：這很有趣！
漢密爾頓：隻是介紹一下細分市場的方向。當點落在延伸線上時，段的方向相反，是以可以指定
出于同樣的原因，當您落在延長線上時也是如此。
圖 7.這裡的内容是方向段的概念，我們通常用它來表示平面向量。
圖 7
M. Klein：這相當于推廣最初的命題。但後來（圖8）有
如果此時
結論是正确的，但不幸的是，在這一點上不存在這一點，上述方法中唯一的限制是和。
圖 8
Ponsle：如果平面上的所有平行線集在無窮遠處相交，則平面上的點和線是完全對稱的。就上述問題而言，有一個
此時也已設定！
康托爾：數學的本質是它的自由！
M Klein：數學的無盡世界是無止境的，對人類的探索是無止境的。感謝你們參加這次對話。最後，有必要提到古希臘的柏拉圖先生，他作為古希臘最博學的學者之一，不是數學家，他深信數學在哲學和了解宇宙中的重要作用，主張研究數學以淨化靈魂。這種精神将激勵我們永遠向前邁進！
< >評論>h1 toutiao-origin。</h1>
克萊因。西方文化中的數學。張祖貴翻譯。上海： 複旦大學出版社， 2004.
李文林.數學史導論（第二版），北京： 高等教育出版社， 2002.
項武義.基本幾何形狀。北京： 人民教育出版社， 2004.
有關此問題，請參閱：
http://www.cut-the-knot.org/triangle/CharacteristicPropertyOfCentroid.shtml。
有關此解決方案，請參閱：
詳見：項武義。基本幾何形狀。北京： 人民教育出版社， 2004.
楊浩菊.行列式理論的曆史研究。西安： 西北大學， 2004.
孫清華.向量理論的曆史研究。西安： 西北大學， 2006.
梅向明.進階幾何圖形（版本 2）。北京： 高等教育出版社， 2000.
作者簡介：
彭剛是廣西師範大學數學與統計學院講師。2017年畢業于華東師範大學數學系，研究方向為數學史、數學教育、數學文化傳播等。
本文為原創内容，版權歸《數學文化》
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