摘要：
本篇介紹下Mysql的InnoDB索引相關知識，從各種樹到索引原理到存儲的細節。
InnoDB是Mysql的預設存儲引擎(Mysql5.5.5之前是MyISAM，文檔)。本着高效學習的目的，本篇以介紹InnoDB為主，少量涉及MyISAM作為對比。
這篇文章是我在學習過程中總結完成的，内容主要來自書本和部落格(參考文獻會給出)，過程中加入了一些自己的了解，描述不準确的地方煩請指出。
1 各種樹形結構
本來不打算從二叉搜尋樹開始，因為網上已經有太多相關文章，但是考慮到清晰的圖示對了解問題有很大幫助，也為了保證文章完整性，最後還是加上了這部分。
先看看幾種樹形結構：
1 搜尋二叉樹：每個節點有兩個子節點，資料量的增大必然導緻高度的快速增加，顯然這個不适合作為大量資料存儲的基礎結構。
2 B樹：一棵m階B樹是一棵平衡的m路搜尋樹。最重要的性質是每個非根節點所包含的關鍵字個數 j 滿足：┌m/2┐ - 1 <= j <= m - 1；一個節點的子節點數量會比關鍵字個數多1，這樣關鍵字就變成了子節點的分割标志。一般會在圖示中把關鍵字畫到子節點中間，非常形象，也容易和後面的B+樹區分。由于資料同時存在于葉子節點和非葉子結點中，無法簡單完成按順序周遊B樹中的關鍵字，必須用中序周遊的方法。
3 B+樹：一棵m階B樹是一棵平衡的m路搜尋樹。最重要的性質是每個非根節點所包含的關鍵字個數 j 滿足：┌m/2┐ - 1 <= j <= m；子樹的個數最多可以與關鍵字一樣多。非葉節點存儲的是子樹裡最小的關鍵字。同時資料節點隻存在于葉子節點中，且葉子節點間增加了橫向的指針，這樣順序周遊所有資料将變得非常容易。
4 B*樹：一棵m階B樹是一棵平衡的m路搜尋樹。最重要的兩個性質是1每個非根節點所包含的關鍵字個數 j 滿足：┌m2/3┐ - 1 <= j <= m；2非葉節點間添加了橫向指針。
B/B+/B*三種樹有相似的操作，比如檢索/插入/删除節點。這裡隻重點關注插入節點的情況，且隻分析他們在目前節點已滿情況下的插入操作，因為這個動作稍微複雜且能充分展現幾種樹的差異。與之對比的是檢索節點比較容易實作，而删除節點隻要完成與插入相反的過程即可（在實際應用中删除并不是插入的完全逆操作，往往隻删除資料而保留下空間為後續使用）。
先看B樹的分裂，下圖的紅色值即為每次新插入的節點。每當一個節點滿後，就需要發生分裂（分裂是一個遞歸過程，參考下面7的插入導緻了兩層分裂），由于B樹的非葉子節點同樣儲存了鍵值，是以已滿節點分裂後的值将分布在三個地方：1原節點，2原節點的父節點，3原節點的建立兄弟節點（參考5，7的插入過程）。分裂有可能導緻樹的高度增加（參考3，7的插入過程），也可能不影響樹的高度（參考5，6的插入過程）。
B+樹的分裂：當一個結點滿時，配置設定一個新的結點，并将原結點中1/2的資料複制到新結點，最後在父結點中增加新結點的指針；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，是以它不需要指向兄弟節點的指針。
B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麼将一部分資料移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）。如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，并各複制1/3的資料到新結點，最後在父結點增加新結點的指針。可以看到B*樹的分裂非常巧妙，因為B*樹要保證分裂後的節點還要2/3滿，如果采用B+樹的方法，隻是簡單的将已滿的節點一分為二，會導緻每個節點隻有1/2滿，這不滿足B*樹的要求了。是以B*樹采取的政策是在本節點滿後，繼續插入兄弟節點（這也是為什麼B*樹需要在非葉子節點加一個兄弟間的連結清單），直到把兄弟節點也塞滿，然後拉上兄弟節點一起湊份子，自己和兄弟節點各出資1/3成立新節點，這樣的結果是3個節點剛好是2/3滿，達到B*樹的要求，皆大歡喜。
B+樹适合作為資料庫的基礎結構，完全是因為計算機的記憶體-機械硬碟兩層存儲結構。記憶體可以完成快速的随機通路（随機通路即給出任意一個位址，要求傳回這個位址存儲的資料）但是容量較小。而硬碟的随機通路要經過機械動作（1磁頭移動 2盤片轉動），通路效率比記憶體低幾個數量級，但是硬碟容量較大。典型的資料庫容量大大超過可用記憶體大小，這就決定了在B+樹中檢索一條資料很可能要借助幾次磁盤IO操作來完成。如下圖所示：通常向下讀取一個節點的動作可能會是一次磁盤IO操作，不過非葉節點通常會在初始階段載入記憶體以加快通路速度。同時為提高在節點間橫向周遊速度，真實資料庫中可能會将圖中藍色的CPU計算/記憶體讀取優化成二叉搜尋樹（InnoDB中的page directory機制）。
真實資料庫中的B+樹應該是非常扁平的，可以通過向表中順序插入足夠資料的方式來驗證InnoDB中的B+樹到底有多扁平。我們通過如下圖的CREATE語句建立一個隻有簡單字段的測試表，然後不斷添加資料來填充這個表。通過下圖的統計資料（來源見參考文獻1）可以分析出幾個直覺的結論，這幾個結論宏觀的展現了資料庫裡B+樹的尺度。
1 每個葉子節點存儲了468行資料，每個非葉子節點存儲了大約1200個鍵值，這是一棵平衡的1200路搜尋樹！
2 對于一個22.1G容量的表，也隻需要高度為3的B+樹就能存儲了，這個容量大概能滿足很多應用的需要了。如果把高度增大到4，則B+樹的存儲容量立刻增大到25.9T之巨！
3 對于一個22.1G容量的表，B+樹的高度是3，如果要把非葉節點全部加載到記憶體也隻需要少于18.8M的記憶體（如何得出的這個結論？因為對于高度為2的樹，1203個葉子節點也隻需要18.8M空間，而22.1G從良表的高度是3，非葉節點1204個。同時我們假設葉子節點的尺寸是大于非葉節點的，因為葉子節點存儲了行資料而非葉節點隻有鍵和少量資料。），隻使用如此少的記憶體就可以保證隻需要一次磁盤IO操作就檢索出所需的資料，效率是非常之高的。
2 Mysql的存儲引擎和索引
可以說資料庫必須有索引，沒有索引則檢索過程變成了順序查找，O(n)的時間複雜度幾乎是不能忍受的。我們非常容易想象出一個隻有單關鍵字組成的表如何使用B+樹進行索引，隻要将關鍵字存儲到樹的節點即可。當資料庫一條記錄裡包含多個字段時，一棵B+樹就隻能存儲主鍵，如果檢索的是非主鍵字段，則主鍵索引失去作用，又變成順序查找了。這時應該在第二個要檢索的列上建立第二套索引。 這個索引由獨立的B+樹來組織。有兩種常見的方法可以解決多個B+樹通路同一套表資料的問題，一種叫做聚簇索引（clustered index ），一種叫做非聚簇索引（secondary index）。這兩個名字雖然都叫做索引，但這并不是一種單獨的索引類型，而是一種資料存儲方式。對于聚簇索引存儲來說，行資料和主鍵B+樹存儲在一起，輔助鍵B+樹隻存儲輔助鍵和主鍵，主鍵和非主鍵B+樹幾乎是兩種類型的樹。對于非聚簇索引存儲來說，主鍵B+樹在葉子節點存儲指向真正資料行的指針，而非主鍵。
InnoDB使用的是聚簇索引，将主鍵組織到一棵B+樹中，而行資料就儲存在葉子節點上，若使用"where id = 14"這樣的條件查找主鍵，則按照B+樹的檢索算法即可查找到對應的葉節點，之後獲得行資料。若對Name列進行條件搜尋，則需要兩個步驟：第一步在輔助索引B+樹中檢索Name，到達其葉子節點擷取對應的主鍵。第二步使用主鍵在主索引B+樹種再執行一次B+樹檢索操作，最終到達葉子節點即可擷取整行資料。
MyISM使用的是非聚簇索引，非聚簇索引的兩棵B+樹看上去沒什麼不同，節點的結構完全一緻隻是存儲的内容不同而已，主鍵索引B+樹的節點存儲了主鍵，輔助鍵索引B+樹存儲了輔助鍵。表資料存儲在獨立的地方，這兩顆B+樹的葉子節點都使用一個位址指向真正的表資料，對于表資料來說，這兩個鍵沒有任何差别。由于索引樹是獨立的，通過輔助鍵檢索無需通路主鍵的索引樹。
為了更形象說明這兩種索引的差別，我們假想一個表如下圖存儲了4行資料。其中Id作為主索引，Name作為輔助索引。圖示清晰的顯示了聚簇索引和非聚簇索引的差異。
我們重點關注聚簇索引，看上去聚簇索引的效率明顯要低于非聚簇索引，因為每次使用輔助索引檢索都要經過兩次B+樹查找，這不是多此一舉嗎？聚簇索引的優勢在哪？
1 由于行資料和葉子節點存儲在一起，這樣主鍵和行資料是一起被載入記憶體的，找到葉子節點就可以立刻将行資料傳回了，如果按照主鍵Id來組織資料，獲得資料更快。
2 輔助索引使用主鍵作為"指針" 而不是使用位址值作為指針的好處是，減少了當出現行移動或者資料頁分裂時輔助索引的維護工作，使用主鍵值當作指針會讓輔助索引占用更多的空間，換來的好處是InnoDB在移動行時無須更新輔助索引中的這個"指針"。也就是說行的位置（實作中通過16K的Page來定位，後面會涉及）會随着資料庫裡資料的修改而發生變化（前面的B+樹節點分裂以及Page的分裂），使用聚簇索引就可以保證不管這個主鍵B+樹的節點如何變化，輔助索引樹都不受影響。
3 Page結構
如果說前面的内容偏向于解釋原理，那後面就開始涉及具體實作了。
了解InnoDB的實作不得不提Page結構，Page是整個InnoDB存儲的最基本構件，也是InnoDB磁盤管理的最小機關，與資料庫相關的所有内容都存儲在這種Page結構裡。Page分為幾種類型，常見的頁類型有資料頁（B-tree Node）Undo頁（Undo Log Page）系統頁（System Page） 事務資料頁（Transaction System Page）等。單個Page的大小是16K（編譯宏UNIV_PAGE_SIZE控制），每個Page使用一個32位的int值來唯一辨別，這也正好對應InnoDB最大64TB的存儲容量（16Kib * 2^32 = 64Tib）。一個Page的基本結構如下圖所示：
每個Page都有通用的頭和尾，但是中部的内容根據Page的類型不同而發生變化。Page的頭部裡有我們關心的一些資料，下圖把Page的頭部詳細資訊顯示出來：
我們重點關注和資料組織結構相關的字段：Page的頭部儲存了兩個指針，分别指向前一個Page和後一個Page，頭部還有Page的類型資訊和用來唯一辨別Page的編号。根據這兩個指針我們很容易想象出Page連結起來就是一個雙向連結清單的結構。
再看看Page的主體内容，我們主要關注行資料和索引的存儲，他們都位于Page的User Records部分，User Records占據Page的大部分空間，User Records由一條一條的Record組成，每條記錄代表索引樹上的一個節點（非葉子節點和葉子節點）。在一個Page内部，單連結清單的頭尾由固定内容的兩條記錄來表示，字元串形式的"Infimum"代表開頭，"Supremum"代表結尾。這兩個用來代表開頭結尾的Record存儲在System Records的段裡，這個System Records和User Records是兩個平行的段。InnoDB存在4種不同的Record，它們分别是1主鍵索引樹非葉節點 2主鍵索引樹葉子節點 3輔助鍵索引樹非葉節點 4輔助鍵索引樹葉子節點。這4種節點的Record格式有一些差異，但是它們都存儲着Next指針指向下一個Record。後續我們會詳細介紹這4種節點，現在隻需要把Record當成一個存儲了資料同時含有Next指針的單連結清單節點即可。
User Record在Page内以單連結清單的形式存在，最初資料是按照插入的先後順序排列的，但是随着新資料的插入和舊資料的删除，資料實體順序會變得混亂，但他們依然保持着邏輯上的先後順序。
把User Record的組織形式和若幹Page組合起來，就看到了稍微完整的形式。
現在看下如何定位一個Record：
1 通過根節點開始周遊一個索引的B+樹，通過各層非葉子節點最終到達一個Page，這個Page裡存放的都是葉子節點。
2 在Page内從"Infimum"節點開始周遊單連結清單（這種周遊往往會被優化），如果找到該鍵則成功傳回。如果記錄到達了"supremum"，說明目前Page裡沒有合适的鍵，這時要借助Page的Next Page指針，跳轉到下一個Page繼續從"Infimum"開始逐個查找。
詳細看下不同類型的Record裡到底存儲了什麼資料，根據B+樹節點的不同，User Record可以被分成四種格式，下圖種按照顔色予以區分。
1 主索引樹非葉節點（綠色）
1 子節點存儲的主鍵裡最小的值（Min Cluster Key on Child），這是B+樹必須的，作用是在一個Page裡定位到具體的記錄的位置。
2 最小的值所在的Page的編号（Child Page Number），作用是定位Record。
2 主索引樹葉子節點（黃色）
1 主鍵（Cluster Key Fields），B+樹必須的，也是資料行的一部分
2 除去主鍵以外的所有列（Non-Key Fields），這是資料行的除去主鍵的其他所有列的集合。
這裡的1和2兩部分加起來就是一個完整的資料行。
3 輔助索引樹非葉節點非（藍色）
1 子節點裡存儲的輔助鍵值裡的最小的值（Min Secondary-Key on Child），這是B+樹必須的，作用是在一個Page裡定位到具體的記錄的位置。
2 主鍵值（Cluster Key Fields），非葉子節點為什麼要存儲主鍵呢？因為輔助索引是可以不唯一的，但是B+樹要求鍵的值必須唯一，是以這裡把輔助鍵的值和主鍵的值合并起來作為在B+樹中的真正鍵值，保證了唯一性。但是這也導緻在輔助索引B+樹中非葉節點反而比葉子節點多了4個位元組。（即下圖中藍色節點反而比紅色多了4位元組）
3 最小的值所在的Page的編号（Child Page Number），作用是定位Record。
4 輔助索引樹葉子節點（紅色）
1 輔助索引鍵值（Secondary Key Fields），這是B+樹必須的。
2 主鍵值（Cluster Key Fields），用來在主索引樹裡再做一次B+樹檢索來找到整條記錄。
下面是本篇最重要的部分了，結合B+樹的結構和前面介紹的4種Record的内容，我們終于可以畫出一幅全景圖。由于輔助索引的B+樹與主鍵索引有相似的結構，這裡隻畫出了主鍵索引樹的結構圖，隻包含了"主鍵非葉節點"和"主鍵葉子節點"兩種節點，也就是上圖的的綠色和黃色的部分。
把上圖還原成下面這個更簡潔的樹形示意圖，這就是B+樹的一部分。注意Page和B+樹節點之間并沒有一一對應的關系，Page隻是作為一個Record的儲存容器，它存在的目的是便于對磁盤空間進行批量管理，上圖中的編号為47的Page在樹形結構上就被拆分成了兩個獨立節點。
至此本篇就算結束了，本篇隻是對InnoDB索引相關的資料結構和實作進行了一些梳理總結，并未涉及到Mysql的實戰經驗。這主要是基于幾點原因：
1 原理是基石，隻有充分了解InnoDB索引的工作方式，我們才有能力高效的使用好它。
2 原理性知識特别适合使用圖示，我個人非常喜歡這種表達方式。
3 關于InnoDB優化，在《高性能Mysql》裡有更加全面的介紹，對優化Mysql感興趣的同學完全可以自己擷取相關知識，我自己的積累還未達到能分享這些内容的地步。
另：對InnoDB實作有更多興趣的同學可以看看Jeremy Cole的部落格（參考文獻三篇文章的來源），這位老兄曾先後在Mysql，Yahoo，Twitter，Google從事資料庫相關工作，他的文章非常棒！
參考文獻：
[1] Jeremy Cole The physical structure of InnoDB index pages
[2] Jeremy Cole B+Tree index structures in InnoDB
[3] Jeremy Cole The physical structure of records in InnoDB
[4] 姜承堯 MySQL技術内幕-InnoDB存儲引擎 第二版
[5] Schwartz,B / Zaitsev,P / Tkach 高性能Mysql 第三版
[6] B-tree wiki