逆元的三種解法(附詳細證明)

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什麼是逆元？

若$x$滿足

$a*x\equiv 1(\mod p)$

我們稱$x$是$a$在$\mod p$意義下的逆元

逆元的基本解法

https://loj.ac/problem/110

1.快速幂

當p為素數

根據費馬小定理

$a^{(p-1)}\equiv 1(mod p)$

${\color{Green}a*a^{(p-2)}\equiv 1(mod p) }$

帶入快速幂就好啦

時間複雜度:$O(log_2^p)$

1 #include<cstdio>
 2 #define LL long long 
 3 using namespace std;
 4 const LL MAXN=200000001;
 5 LL n,mod;
 6 LL fastpow(LL val,LL p)
 7 {
 8     LL base=1;
 9     while(p)
10     {
11         if(p&1)    base=(base*val)%mod;
12         val=(val*val)%mod;
13         p>>=1;
14     }
15     return base;
16 }
17 int main()
18 {
19     scanf("%lld%lld",&n,&mod);
20     for(LL i=1;i<=n;i++)
21         printf("%lld\n",fastpow(i,mod-2)%mod);
22     return 0;
23 }      

2.擴充歐幾裡得

對于$a*x\equiv 1(mod p)$

他的另一種寫法為

$a*x+p*y=1$（想一想,為什麼）

擴充歐幾裡得,帶入求解

1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 int n,mod;
 6 inline int read()
 7 {
 8     char c=getchar();int  flag=1,x=0;
 9     while(c<'0'||c>'9')    {if(c=='-')    flag=-1;c=getchar();}
10     while(c>='0'&&c<='9')    x=x*10+c-48,c=getchar();    return x*flag;
11 }
12 int x,y;
13 int gcd(int a,int b)
14 {
15     return b==0?a:gcd(b,a%b);
16 }
17 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
18 {
19     if(b==0)
20     {
21         x=1,y=0;
22         return a;
23     }
24     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
25     int tmp=x;x=y;y=tmp-(a/b)*y;
26     return r;
27 }
28 int main()
29 {
30     n=read(),mod=read();
31     for(int i=1;i<=n;i++)
32     {
33         int g=exgcd(i,mod,x,y);
34         while(x<0)    x+=mod;
35         printf("%d\n",x);
36     }
37     return 0;
38 }      

時間複雜度:$O(log_2^n)$

 3.遞推

前兩種方法常用來求單個逆元

對于逆元的需要量比較大的時候，我們可以使用遞推的方法來求逆元

前提條件：$P$為素數

推導過程

設$t=P/i$

$k=P \mod i$

顯然有

$t*i+k \equiv  0 (\mod P)$

$k \equiv -t*i(\mod P)$

兩側同除$i*k$,把$t$和$k$帶入

$inv[i] \equiv -p/i*inv[p \mod i] (\mod p)$

這裡需要注意一個事情，

對于 $a\mod p$當$a<0$時，

應為$(a+p) \mod p$

這樣就可以把原式的$\mod p$消掉，得

$inv[i]=P-P/i*inv[P\mod i]$

這樣就可以進行線性的遞推啦

1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cmath>
 5 #define LL unsigned long long 
 6 using namespace std;
 7 const LL MAXN=200000001;
 8 inline LL read()
 9 {
10     char c=getchar();LL flag=1,x=0;
11     while(c<'0'||c>'9')    {if(c=='-')    flag=-1;c=getchar();}
12     while(c>='0'&&c<='9')    x=x*10+c-48,c=getchar();    return x*flag;
13 }
14 LL inv[MAXN];
15 LL n,p;
16 int main()
17 {
18     n=read(),p=read();
19     inv[1]=1;
20     printf("1\n");
21     for(int i=2;i<=n;i++)
22     {
23         inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;
24         printf("%d\n",inv[i]);
25     }
26     return 0;
27 }      

時間複雜度：$O(n)$

總結

在求多個數的逆元的時候，推薦使用遞推算法

在求單個數的逆元的時候，推薦使用擴充歐幾裡得算法

因為擴充歐幾裡得算法不受模數的限制，而且自測運作效率比快速幂高不少

作者：自為風月馬前卒

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出處：http://zwfymqz.cnblogs.com/

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