十字相乘法

前言

案例解釋

以二次三項式\(2x^2+3x-2\)的分解為例;

先将二次項的系數\(2\)進行分解\(2\times 1\)，再将常數項\(-2\)進行分解\(-2\times 1\)，然後分别豎行書寫，交叉相乘再相加，若其和等于一次項的系數，則分解成功；若其和不等于一次項的系數，則分解不成功，需要調整前邊的分解位置。具體解釋如下：

比如書寫為\(_1^2\) \(\Large{\times}\) \(_{\;\;1}^{-2}\)，驗證，\(2\times1+1\times(-2)=0\neq 3\)，故分解失敗，需要調整，如下再試，

\(_2^1\) \(\times\) \(_{\;\;1}^{-2}\)，驗證，\(1\times1+2\times(-2)=-3\neq 3\)，故分解失敗，需要調整，如下再試，

\(_2^1\) \(\times\) \(_{-1}^{\;\;2}\)，驗證，\(1\times(-1)+2\times 2=3\)，分解成功，

添加未知數，直接寫出兩個因式，即\(_{2\cdot x}^{1\cdot x}\) \(\times\) \(_{-1}^{+2}\)，然後橫行寫出，\((1x+2)(2x-1)\)；

故\(2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)\)。

十字相乘法的使用往往不是一次就能恰巧分解成功的，需要多次嘗試，以及一定的口算心算能力。

難點破解

在具體的教學實踐中，數字系數的十字相乘分解基本不成問題，難在字母系數的分解；

低階層次，常數項的兩個因式都是常數；

如\(x^2-3x+2<0\)，可以直接快速分解為\((x-1)(x-2)<0\)；

中階層次，常數項的兩個因式中有一個是常數，另一個為含有字母的代數式[整體思想]；

比如，\(x^2-(m+4)x+m+3<0\)，系數分解為\(_1^1\) \(\times\) \(_{\;\;-1}^{-(m+3)}\)，即可以分解為\((x-1)[x-(m+3)]<0\)；

高階層次，常數項的兩個因式都是含有字母的代數式[整體思想]；

比如，\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，先不改動二次項和一次項，隻将常數項做因式分解，

使用十字相乘法得到，\(x^2-(2m+1)x+(m+2)(m-1)\leq 0\)，

再次使用十字相乘法得到，\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；

再比如，\(x^2-(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，系數分解為\(_1^1\) \(\times\) \(_{-a}^{-a^2}\)，即可以分解為即\((x-a)(x-a^2)\leq 0\)；

常用分解

①\(x^2-5\sqrt{2}x+8\ge 0\)，即\((x-\sqrt{2})(x-4\sqrt{2})\ge 0\)；

②\(x^2-3mx+(m-1)(2m+1)\ge 0\)；即\([x-(m-1)][x-(2m+1)]\ge 0\)；

③\(x^2-(2m+1)x+m^2+m-2\leq 0\)，即\([x-(m+2)][x-(m-1)]\leq 0\)；

④\(x^2+(a+a^2)x+a^3\leq 0\)，即\((x+a)(x+a^2)\leq 0\)；

⑤\(x^2-(a+1)x+a\leq 0\)，即\((x-1)(x-a)\leq 0\)；

⑥\(x^2-(2a+1)x+a(a+1)\leq 0\)；即\((x-a)[x-(a+1)]\leq 0\)；

⑦\(\frac{x-2a}{x-(a^2+1)}<0(a\neq 1)\)；即\((x-2a)[x-(a^2+1)]<0\)，解集為\((2a，a^2+1)\)；

⑧\(x^2+(m+4)x+m+3<0\)，即\((x+1)[x+(m+3)]<0\)；

⑨\(x^2-(a+\cfrac{1}{a})x+1<0\)，即\((x-a)(x-\cfrac{1}{a})<0\)；

⑩\(x^2-2x+1-a^2 \geqslant 0(a>0)\)，即\([x-(1-a)][x-(1+a)]\geqslant 0\)；

⑪\(\cfrac{x-a}{x-a-1}>0\)，即\((x-a)[x-(a+1)]>0\)；

⑫\(2sin^2\alpha-\frac{6\sqrt{2}}{5}sin\alpha-\frac{7}{25}=0\)，即\((\sqrt{2}sin\alpha+\frac{1}{5})(\sqrt{2}sin\alpha-\frac{7}{5})=0\)

⑬\(x^2-4x-a(a-4)\leqslant0\)，即\((x-a)[x-(4-a)]\leqslant0\);

⑭\(ax^2+(2a+1)x+2\geqslant0\)，即\((ax+1)(x+2)\geqslant 0\)

⑮\(\sqrt{3}a^2+16a+16\sqrt{3}=0\)，即\((a+4\sqrt{3})(\sqrt{3}a+4)=0\)

⑯\(12\tan^2\theta+25\tan\theta+12=0\)，即\((3\tan\theta+4)(4\tan\theta+3)=0\)

特殊情形

⑯\(ab-a-b+1\geqslant 0\)，即\((a-1)(b-1)\geqslant 0\)；

⑰\(a^2-3ab+2b^2\leqslant 0\)，即\((a-b)(a-2b)\leqslant 0\)；或\((\cfrac{a}{b})^2-3(\cfrac{a}{b})+2\leqslant 0\)；

• 當系數裡包含有無理數時，盡量不要嘗試用十字相乘法分解，應該考慮公式法。

引例，如解不等式\(t^2-20\sqrt{2}t+175\leqslant 0\)，

不應該考慮十字相乘法分解，應該考慮公式法。

對方程\(t^2-20\sqrt{2}t+175=0\)而言，其求根公式為

\(t=\cfrac{20\sqrt{2}\pm\sqrt{(20\sqrt{2})^2-4\times 175}}{2\times1}=\cfrac{20\sqrt{2}\pm 10}{2}=10\sqrt{2}\pm 5\)

解得\(10\sqrt{2}-5\leqslant t \leqslant 10\sqrt{2}+5\)

高階情形

在高三的常見題目中，可能更多見的是這樣的：\(x\)的本質為代數式，\(x\rightarrow e^x\)

\(f'(x)=e^x(e^x-a)+e^x\cdot e^x-a^2\)

\(=2e^{2x}-e^xa-a^2=2(e^x)^2-(e^x)a-a^2\)

\(=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，

其中\(2(e^x)^2-(e^x)a-a^2=2t^2-at-a^2\)(令\(e^x=t\))的分解形式如下：

\[\huge{_{2\cdot e^x}^{1\cdot e^x}{\times}_{\;a}^{-a}}\]

故\(f'(x)=(t-a)(2t+a)=(e^x-a)\cdot (2e^x+a)\)，

【國中教師數學能力測試題目】已知關于\(x\)的方程\((6-k)(9-k)x^2-(117-15k)x+54=0\)的根都是整數，則\(k\)的個數為

$A.5$ $B.4$ $C.3$ $D.2$

分析：關于\(x\)的方程\((6-k)(9-k)x^2-(117-15k)x+54=0\)，

對其因式分解，可以分解為\([(6-k)x-9][(9-k)x-6]=0\)，

則方程的兩個根為\(x_1=\cfrac{9}{6-k}\)，\(x_2=\cfrac{6}{9-k}\)，

由于方程的根都是整數，則\(6-k\)和\(9-k\)是\(6\)和\(9\)的公約數[含正負]，

故\(6-k\)和\(9-k\)的值可能分别為\(\pm 1\)和\(\pm 3\)，以下檢驗，

當\(\cfrac{9}{6-k}=1\)，則\(k=-3\)，此時\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9+3}=\cfrac{1}{2}\not\in Z\)，故舍去；

當\(\cfrac{9}{6-k}=-1\)，則\(k=15\)，此時\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-15}=-1\in Z\)，滿足題意；

當\(\cfrac{9}{6-k}=3\)，則\(k=3\)，此時\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-3}=1\in Z\)，滿足題意；

當\(\cfrac{9}{6-k}=-3\)，則\(k=9\)，此時\(\cfrac{6}{9-k}=\cfrac{6}{9-9}\)無意義，舍去；

故滿足題意的\(k=-1\)或\(k=3\)，故選\(D\)。

關聯素材

完成用十字相乘法的因式分解後，下一步就與解含參二次不等式，二次不等式習題，二次方程或根的分布，二次函數等相關聯。