用R語言用Nelson Siegel和線性插值模型對債券價格和收益率模組化
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債券基礎
- 鍵 是一個合同，作者與初始付款義務以預定的時間（s）（成熟）的錢付預定量。這類似于借入利息和付款結構的錢。
- 零息債券 是一種特殊類型的鍵，其在到期時支付出僅一次沒有中間付款。
- 債券的面額/票面金額/本金是發行人在到期時所支付的金額。标準價值通常為$ 1000。
- 債券可以參考價格或收益。例如，将支付$ 100的零息債券的價格可以是$ 90。但收益率将是（100-90）/ 90 = 11％（100-90）/ 90 = 11％，而不是10％10％。
- 債券價格的一個常見約定是，它們最終收于100。這就是為什麼當利率上升時，債券價格下降，反之亦然。另一種慣例是美分兌美元（例如，90美分兌美元）。
- 債券收益率被稱為年利率。例如，十年期政府債券的收益率為2％，這意味着它的年收益将為2％，而不是10年後。
- 債券可以在二級市場上交易（一級市場是債券發行過程）。如果利率增加，債券的價值就會增加，如果利率降低，債券的價值就會減少，這僅僅是因為該債券是在利率改變之前以便宜/昂貴的價格發行的。也可以做空債券。
- 即使不期望債券産生負利率，也不是完全看不見的。在危機時期，政府債券甚至公司債券可以負收益進行交易。
定價債券
債券價格是通過使用票面利率和現金流量确定債券的現值來确定的。
其中CFt是時間tt的現金流量，B（0，t）是美元的折扣率或時間00的價格。
其中R（0，t）是在時間為tt時在時間00的年度即期匯率。我們可以重新安排
B（0，t）也可以稱為零息債券的價格。大多數債券不是零息債券，但是有可能使用零息債券構造幾乎所有支付結構。
我們可以暗示與市場債券不同期限的零息票利率。然後，我們可以使用這些利率建立期限結構模型來對任何債券定價。嚴格違反期限結構可能是買賣機會，也可能是套利機會。
calculate_bond_price<-function(face_value=1000,coupon_rate=0.05,maturity=1,yearly_coupons=0){
#This function calculates the price of the bond B(0,t) given
#its face value, maturity, annual coupon rate and equidistant payment
#if yearly_coupons == 0, it only pays out at the maturity
#if yearly_coupons == 1, it pays out annually
#if yearly_coupons == 2, it pays out semiannually
if(yearly_coupons==0){
face_value/((1+coupon_rate)^maturity)
}else{
face_value/((1+coupon_rate/yearly_coupons)^(yearly_coupons*maturity))
}
}
calculate_bond_price() ## [1] 952.381 如果我們有适當的證券，我們也可以從付息債券中構造零息債券。從講義中假設我們有兩個紐帶。
- 1年期純貼現債券在$ 95出售。
- 兩年期8％的債券售價99美元。
2年期純折價債券的價格為99-0.08（95）= 91.499-0.08（95）= 91.4（通過買入兩年期債券多頭和買入一年期債券空頭0.08個機關（以抵消第一個債券的收益）年優惠券）。
複利類型
簡單複合
這是僅應用一次利率的方法。假設利率為0.05，期限為2年。100美元的價格在到期時将是多少。
定期複利
如果将利息永久添加到本金投資中，那麼我們的複利就是利率。假設相同的示例，但每半年複算一次。
産生的年名義利率為 。
連續複利
現在，假設複利的頻率很高，以至于在兩次加息之間的時間間隔是無限的（接近零）。然後在極限情況下
看起來很熟悉？
是以，以我們的示例為例，連續複利的年利率是
給定一組零息票債券價格，我們可以計算連續收益率
#Example bond price is 0.987 and maturity is half a year.
calculate_yield(0.987,0.5) ## [1] 0.02617048 遠期匯率
假設有兩個到期日不同的債券
可以重新排列成
imply_forward_rate<-function(R0t1=0.04,R0t2=0.045,t1=1,t2=2){
((1+R0t2)^t2/(1+R0t1)^t1)^(1/(t2-t1)) -1
}
imply_forward_rate() ## [1] 0.05002404 到期日的相關性
利率不僅随着到期日變化，而且随着時間變化。我們還将調用某些資料和計算。
讓我們加載庫并檢查美聯儲收益率曲線資料。
## R_3M R_6M R_1Y R_2Y R_3Y R_5Y R_7Y R_10Y
## 1981-12-31 12.92 13.90 14.32 14.57 14.64 14.65 14.67 14.59
## 1982-01-31 14.28 14.81 14.73 14.82 14.73 14.54 14.46 14.43
## 1982-02-28 13.31 13.83 13.95 14.19 14.13 13.98 13.93 13.86
## 1982-03-31 13.34 13.87 13.98 14.20 14.18 14.00 13.94 13.87
## 1982-04-30 12.71 13.13 13.34 13.78 13.77 13.75 13.74 13.62
## 1982-05-31 13.08 13.76 14.07 14.47 14.48 14.43 14.47 14.30 相關矩陣顯示出收益率沒有完全相關，是以時間形狀會發生變化。
| R_3M | R_6M | R_1Y | R_2Y | R_3Y | R_5Y | R_7Y | R_10Y | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1.0000000 | 0.9983390 | 0.9940045 | 0.9837559 | 0.9744780 | 0.9546189 | 0.9399504 | 0.9230412 | |
| 0.9981715 | 0.9899820 | 0.9817197 | 0.9632268 | 0.9491761 | 0.9332366 | |||
| 0.9959937 | 0.9900195 | 0.9746174 | 0.9621895 | 0.9478956 | ||||
| 0.9984844 | 0.9896811 | 0.9808896 | 0.9694621 | |||||
| 0.9958583 | 0.9896185 | 0.9804575 | ||||||
| 0.9983629 | 0.9936744 | |||||||
| 0.9981232 | ||||||||
債券價格和收益率
在這一部分中，我們将看到提取和建構債券價格和收益率的方法。
直接法
假設您得到以下債券利率。請記住，名義匯率是100。
| 優惠券 | 到期 | 價錢 | |
|---|---|---|---|
| 債券1 | 5.0 | 1個 | 101.0 |
| 債券2 | 5.5 | 2 | 101.5 |
| 債券3 | 3 | 99.0 | |
| 債券4 | 6.0 | 4 | 100.0 |
零息債券價格（B（0，t）B（0，t）
然後我們得到
get_zero_coupon() ## $B0t
## [1] 0.9619048 0.9119386 0.8536265 0.7890111
##
## $R0t
## [1] 0.03960396 0.04717001 0.05417012 0.06103379 線性插值
R03<-0.055
R04<-0.06
R03p75<-((4-3.75)*0.055+(3.75-3)*0.06)/(4-3)
R03p75 ## [1] 0.05875 ##Or use the R function
yield_interpolate<-approxfun(x=c(3,4),y=c(0.055,0.06))
yield_interpolate(3.75) ## [1] 0.05875 三次插值
假設我們的費率如下：
#Interpolate for a bond of 2.5 years
t_val<-2.5
sum(abcd_vec*((2.5)^(3:0))) ## [1] 0.0534375 ## [1] 0.0534375 間接方法（Nelson Siegel）
代替引導技術，我們将使用模型。尼爾森·西格爾（Nelson Siegel）模型是模拟利率收益率曲線的一種流行方法。
其中θ是到期日，β0是級别參數（長期收益率），β1是斜率參數（長期/短期擴充），β2是曲率參數，τ是比例參數。
ns_data <-
data.frame(maturity=1:30) %>%
mutate(ns_yield=nelson_siegel_calculate(theta=maturity,tau=3.3,beta0=0.07,beta1=-0.02,beta2=0.01))
head(ns_data) ## maturity ns_yield
## 1 1 0.05398726
## 2 2 0.05704572
## 3 3 0.05940289
## 4 4 0.06122926
## 5 5 0.06265277
## 6 6 0.06376956 ggplot(data=ns_data, aes(x=maturity,y=ns_yield)) + geom_point() + geom_line() 可以使用參數來更好地估計收益曲線。
Nelson Siegel參數的估計
YieldCurve
上述R包 具有Nelson Siegel曲線估計功能。
## beta_0 beta_1 beta_2 lambda
## 1981-12-31 14.70711 -5.3917409 3.269125 0.5123605
## 1982-01-31 14.35240 -0.7602066 2.834508 0.1887807
## 1982-02-28 13.74481 -0.9247232 2.681840 0.1236869 注意：我們将lambda稱為tau（ττ）（形狀參數）。
Beta靈敏度
考慮提供Fi未來現金流的債券價格 。是以，帶有beta參數的價格變化如下。
nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=2) ## Beta0 Beta1 Beta2
## -192.51332 -141.08199 -41.27936 nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=7) ## Beta0 Beta1 Beta2
## -545.4198 -224.7767 -156.7335 nelson_siegel_sensitivities(coupon_rate=0.05,maturity=15) ## Beta0 Beta1 Beta2
## -812.6079 -207.1989 -173.0285 - 這些R講義也将遵循固定收益證券：Martellini，Priaulet和Priaulet撰寫的“估值風險管理和投資組合政策”。
- 債券可以在收益率之上額外溢價或折價購買或出售。純折扣意味着沒有額外的折扣或溢價。
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