P3577-[POI2014]TUR-Tourism【狀壓dp】

正題

題目連結:https://www.luogu.com.cn/problem/P3577

題目大意

給出\(n\)個點\(m\)條邊的一張圖，每個點有費用\(C_i\)，求選出費用和最小的點使得每個點都至少有一個相鄰的點（或自己）被選擇。保證圖上不存在超過\(10\)個點的簡單路徑。

\(1\leq n\leq 20000,1\leq m\leq 25000\)

解題思路

突破點肯定在于不超過\(10\)個點的簡單路徑，可以了解為任意一個點為根時的深度都不超過\(10\)，因為\(dfs\)樹上所有邊都是返祖邊，是以考慮狀壓。

設\(f_{i,s}\)表示節點\(i\)所在到根節點的鍊上的節點狀态為\(s\)時的最小貢獻，因為選過的點會影響到下面的節點，是以兩維的狀态不能夠轉移，設\(0/1/2\)表示這個節點選擇了/沒有選擇且沒有覆寫/沒有選擇且被覆寫。

然後轉移挺好寫的，但是會\(MLE\)，因為同深度之間的轉移相同，是以之間設\(f_{d,s}\)表示深度為\(d\)的某個點狀态為\(s\)即可。

時間複雜度：\(O(3^{10}n)\)

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e4+10,S=59059;
struct node{
	int to,next;
}a[N<<2];
int n,m,tot,cnt,ans,ls[N],q[N];
int dep[N],c[N],f[11][S],pw[11];
bool v[N];
void addl(int x,int y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x,int fa){
	int cnt=0;v[x]=1;
	dep[x]=dep[fa]+1;
	int d=dep[x],MS=pw[dep[x]];
	if(fa){
		for(int i=ls[x];i;i=a[i].next)
			if(v[a[i].to])q[++cnt]=a[i].to;
		memset(f[d],0x3f,sizeof(f[d]));
		for(int s=0;s<MS;s++){
			int No=1,Yes=s;
			for(int i=1;i<=cnt;i++){
				if(s/pw[dep[q[i]]]%3==0)No=2;
				if(s/pw[dep[q[i]]]%3==1)Yes+=pw[dep[q[i]]];
			}
			f[d][s+No*pw[d]]=min(f[d][s+No*pw[d]],f[d-1][s]);
			f[d][Yes]=min(f[d][Yes],f[d-1][s]+c[x]);
		}
	}
	else f[0][0]=c[x],f[0][1]=0,f[0][2]=1e9;
	for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
		int y=a[i].to;
		if(v[y])continue;dfs(y,x);
		for(int s=0;s<MS*3;s++)
			f[d][s]=min(f[d+1][s],f[d+1][s+2*pw[d+1]]);
	}
	return;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);pw[0]=1;
	for(int i=1;i<=10;i++)pw[i]=pw[i-1]*3;
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&c[i]);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	dep[0]=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!v[i]){
			dfs(i,0);
			ans+=min(f[0][0],f[0][2]);
		}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}