英國數學家戈弗雷·哈羅德·哈代(G.H. Hardy)有一句名言："...比起其他藝術或者科學，數學更像一個年輕人的遊戲。”這裡，他對"年輕人"的了解有多正确呢？
誠然，證明一個數學定理需要大量的創造力、重新認識問題的能力，還要用其他人沒有想到的方式來進行思考。
但，它也需要大量的經驗和知識儲備。畢竟，如果不了解一個問題，你也就無法證明它。很多未經證明的猜想都建立在一座概念堆積的山峰之上，登頂往往需要數年。
基于維基百科，我列出了1501~2015年數學發展的時間線，追溯了250 件數學領域的大事：定理的新證明、重要工作的釋出，或者核心數學概念的萌芽。
以下是其中的一些事件：
1540年，18 歲的洛多元科·費拉裡(Lodovico Ferrari)解出了四次方程。
1799年，22歲的卡爾·弗裡德裡希·高斯 (Carl Friedrich Gauss)證明了代數的基本定理（每個多項式方程在複數中都有一個解）。
1925年，24歲的維爾納·海森堡(Werner Heisenberg)和約爾當(Jordan)、 玻恩(Born)建立了量子力學的矩陣表示。
2004年，29 歲的陶哲軒(Terence Tao)和本·格林 (Ben Green)證明了格林-陶定理(Green–Tao theorem)。
1522年，30 歲的亞當·裡斯(Adam Ries) 解釋了阿拉伯數字的使用及其相對于羅馬數字的優勢。
2003年，37 歲的格裡高利·佩雷爾曼(Grigori Perelman)證明了龐加萊猜想。
2003年，41 歲的安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)證明了谷山志村猜想的一部分，進而證明了費馬大定理。
1929年，47 歲的艾米·諾特(Emmy Noether)首次引入了群和代數的通用的表示理論。
2013年，58 歲的張益唐證明了存在無窮多對間隙為有限的質數。
1618年，68 歲的約翰·納皮爾 (John Napier) 在一部關于對數的著作中首次提到了自然對數的底數e。
作者繪制
偉大數學家們的年齡
資料彙總：
他們的平均年齡為 37 歲；
年齡的中位數略低，為 35 歲；
數學大事記中 25 % 的數學家們在他們 30 歲以下做出了重要的數學成果；
42 %的數學家在30-39 歲之間做出了重要的成果；
33 %的數學家在40 歲或者以上做出了重要的成果；
其中最小的年齡是18 歲，1540年洛多元科·費拉裡(Lodovico Ferrari)推導出了四次方程的一般解；
最大的是73 歲，1825年阿德裡安-馬裡·勒讓德(Adrien-Marie Legendre)和約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷(Peter Gustav Lejeune Dirichlet)一起證明了對于 n=5 情況下的費馬大定理。
從20 歲到70 歲
我做了一個互動式的圖表《偉大的數學家時代》，讀者可以點選這裡或下圖來擷取詳細的資訊（使用滑塊來調查各個年齡段的數學家們的成就）。其中有一些亮點值得注意：
在20 歲到29 歲之間
1832年，法國數學家埃瓦裡斯特·伽羅瓦( variste Galois)在他21 歲時提出了代數方程可解性的一般條件，是以基本建立了群論和伽羅瓦理論，他也是第一個使用“群”這一個數學術語來表示一組置換的人，與尼爾斯·阿貝爾并稱為現代群論的創始人。但充滿悲劇和傳奇色彩的是，在他提出這些理論不久，就在一場決鬥中被殺。
1913年，年僅26 歲的印度數學家斯裡尼瓦瑟·拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)給哈代寫了一封信，信上是一長串沒有證明的定理，在信裡，拉馬努金同時懇請哈代幫他擺脫貧困的現狀。當然，拉馬努金在信中的發現一定早于他26 歲之前。
在30 歲到39 歲之間
2008年，伊朗德黑蘭數學家瑪麗安·米爾劄哈尼在她31 歲時證明了一個長期以來沒有解決的猜想：威廉·瑟斯頓(William Thurston)提出，泰希米勒空間(Teichmüller)上的地震流(Earthquake map flow)都是周遊系統。六年後，她被授予菲爾茲獎，以表彰她"對黎曼曲面及其模空間下的動力學和幾何學的傑出貢獻"。2017年7月14日，米爾劄哈尼因乳腺癌去世，終年40 歲。
1837年，32 歲的德國數學家約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷(Gustav Lejeune Dirichlet)在一篇關于給定算術級數中存在素數的論文中發展了解析數論。這是狄利克雷在數學時間線上的第四個工作，前三件工作分别在他20 歲，27 歲和32 歲時發生。
1915年。36 歲的理論實體學家阿爾伯特·愛因斯發表了他的廣義相對論，十年前，他的狹義相對論發表，當時他還是瑞士專利局的職員。
在40 歲到49 歲之間
1993年，在秘密研究費馬大定理幾年之後，40歲的安德魯·懷爾斯(Andrew Wiles)宣布證明了費馬大定理。衆所周知，在審查的過程中，該證明中存在錯誤，但在次年，該錯誤被糾正。懷爾斯在46歲時擴充了他的工作，完成了谷山志村(Taniyama Shimura)全部的猜想。
1918年，41歲的戈弗雷·哈羅德·哈代(G.H. Hardy)和斯裡尼瓦瑟·拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)一起為分割函數開發了一個漸近公式。也許他與年輕的創意天才拉馬努金的合作是他哀歎數學是"年輕人的遊戲"的原因之一。
50 歲以上
2013年，美籍華裔數學家張益唐首次證明了存在無窮多對間隙為有限的質數，進而在孿生素數猜想這一數論難題上取得質的突破。1991年張益唐獲得博士學位之後未拿到導師的推薦信，學術道路坎坷，有段時間靠打雜來糊口過日，曾經做過幾年會計師，在地鐵的快餐店打過工。（來源）
1722年，法國數學家亞伯拉罕·棣莫弗(Abraham de Moivre)将複數和三角學聯系起來，提出了棣莫弗公式；66 歲時，引入了正态分布來近似二項分布。
關于這位年邁的數學家，有一則幽默轶事：
人們常說，一直對數列感興趣的棣莫弗曾經預言，他每天需要比前一天多睡15 分鐘，當睡眠總數達到24 小時的時候，他就會死亡，這個時間是1754年11月27日，這也正是他死亡的時間。（來源）
資料和方法
大部分資料是從維基百科上的數學時間線獲得的，從"現代"(16世紀)開始。如果能從古希臘時代的阿基米德(Archimedes)和希帕蒂娅(Hypatia)開始，那就太好了，但曆史記錄不夠精确，是以這裡從“現代”開始。
我還用其他一些著名的結果擴充了維基百科時間軸上提供的資料，例如愛因斯坦，玻爾和海森堡等數學實體學家的工作。
令人驚訝的是，最近數學界的一些的大事件也存在一些資料收集問題。我想包括黃浩（Hao Huang，音譯）2019年對布爾函數的靈敏度猜想的證明，但我找不到他的出生日期。從他的教育經曆推斷，他可能已經30多歲了。
同樣，我想把瓊·泰勒(Joan Taylor)包括在内，她是一位業餘數學家，與約書亞·索科拉爾(Joshua Socolar)一起發現了索科拉爾-泰勒(Socolar-Taylor)瓷磚拼貼，解決了羅傑·彭羅斯(Roger Penrose)提出的問題。但我找不到她的出生日期，但在她的網站上，她說她從1990年開始思考這個問題，比2011年發表的結果早了20年。
最後的思考
從統計資料來看，雖然大多數令人矚目的成就是數學家們在20至40歲之間取得的，但這個年齡範圍仍然很廣。随着年齡的增大，數學家們傾向于書籍和概要類型的成果，當然，仍然有一些老數學家們做出的突破性創新證明的例子。
每個數學家的故事都是不同的。這其中，有英年早逝的神童，有覆寫各個領域的多産博學者，還有堅持鑽研一個問題20年的人。
對于我們這些業餘數學愛好者來說，我們也許并不想改變世界，而隻是樂于了解它，知道我們的大腦一直在思考，可以繼續享受數學帶來的快樂，這一點就足以令人開心了。
作者：Afiq Hatta
翻譯：Nuor
審校：xux