第3章 Lebesgue可測函數
為了給下一章開始的Lebesgue積分的研究打下基礎，本章對可測函數進行研究.如同閉有界區間上的所有單調函數與階梯函數一樣，所有可測定義域上的連續實值函數是可測的.可測函數的線性組合是可測的.可測函數序列的逐點極限是可測的.我們證明用簡單函數和連續函數逼近可測函數的結果.
3.1 和、積與複合
本章考慮的所有函數取值于擴充實數，即集合R∪{±∞}.回憶一下，一個性質稱為在可測集E上幾乎處處（簡寫為a.e.）成立，若它在E~E0上成立，其中E0是E的滿足m（E0）=0的子集.
給定定義在Ｅ上的兩個函數h和g.為了記号上的簡潔，我們常寫“在Ｅ上，h≤g”來表示對所有x∈E，h（ｘ）≤g（ｘ）.我們說E上的函數序列{fn}是遞增的，若對每個名額n，在E上
.
命題1 令函數ｆ有可測定義域E.則以下叙述等價：
（i） 對每個實數c，集合{x∈Ef（x）>c}是可測的.
（ii） 對每個實數c，集合{x∈Ef（x）≥c}是可測的.
（iii） 對每個實數c，集合{x∈Ef（x）（iv） 對每個實數c，集合{x∈Ef（x）≤c}是可測的.
這些性質中的每一個都蘊涵着對每個擴充實數ｃ，
證明 如同（ii）和（iii）中的集合，由于（i）和（iv）中的集合在E中互為補集，而E的可測子集在E中的補集是可測的，是以（ii）和（iii）、（i）和（iv）是等價的.
現在（i）蘊涵（ii），這是由于
可測集的可數族的交是可測的.類似地，（ii）蘊涵（i），這是由于
可測集的可數族的并是可測的.
是以陳述（i）～（iv）是等價的.現在假設它們中的一個成立，是以它們中的所有成立.
若ｃ是實數，{x∈Ef（x）=c}={x∈Ef（x）≥c}∩{x∈Ef（x）≤c}，是以
是可測的，這是由于它是兩個可測集的交.另一方面，若ｃ是無窮的，即c=∞，
是以
是可測的，這是由于它是可測集的可數族的交.
定義 定義在Ｅ上的擴充的實值函數f稱為是Lebesgue可測的，或簡單地稱為可測的，若它的定義域Ｅ是可測的且它滿足命題1的四個陳述之一.
命題2 令f為定義在可測集Ｅ上的實值函數.則函數f是可測的當且僅當對每個開集O，O在ｆ下的原象
是可測的.
證明 若每個開集的原象是可測的，則由于每個區間（c，∞）是開的，函數f是可測的.反過來，假定f是可測的.令O為開的.則我們可将O表示為開有界區間的可數族
的并，其中每個Ik可表示為Bk∩Ak，而Bk＝（-∞，bk），Ak＝（ak，∞）.由于f是可測函數，每個
是可測集.另一方面，可測集是σ代數，是以
是可測的，這是由于
以下命題告訴我們初等分析中最為熟悉的連續函數是可測的.
命題3 在可測集定義域上連續的實值函數是可測的.
證明 令函數ｆ在可測集E上連續.令O為開的.由于f是連續的，
=E∩U，其中U是開的.是以
作為兩個可測集的交是可測的.從前一個命題得知ｆ是可測的.遞增或遞減的實值函數稱為是單調的.我們将下一個命題的證明留作練習（見習題24）.
命題4 定義在區間上的單調函數是可測的.
命題5 令f為E上的擴充的實值函數.
（i） 若f在E上可測，而在E上f=g a.e.，則g在E上可測.
（ii） 對于E的可測子集Ｄ，f在E上是可測的當且僅當f在D和E~D上的限制是可測的.
證明 首先假設f是可測的.定義A={x∈Ef（x）≠g（x）}.觀察到{x∈Eg（x）＞c}={x∈Ag（x）＞c}∪［{x∈Ef（x）＞c}∩［E~A］］由于在E上f=g a.e.，m（A）=0.是以｛ｘ∈Ａｇ（ｘ）＞ｃ｝是可測的，這是由于它是零測度集的子集.集合｛ｘ∈Ａf（ｘ）＞ｃ｝是可測的，這是由于ｆ在Ｅ上是可測的.由于E和A都是可測的，而可測集是一個代數，集合｛ｘ∈Eｇ（ｘ）＞ｃ｝是可測的.為驗證（ii），隻要觀察到對任何ｃ，
且又一次利用可測集是一個代數這一事實.
兩個可測的擴充實值函數ｆ和ｇ的和f+g在那些f和g取異号的無窮值的點不是恰當定義的.假設f和g在E上a.e.有限.定義集合E0為E中那些使得f和g都是有限的點的集合.若f+g在E0上的限制是可測的，則由前一個命題，f+g的任何到整個E的延拓，作為擴充的實值函數也是可測的.這是我們認為“兩個a.e.有限可測函數的和是可測”毫無歧義的道理.類似的說明适用于乘積.以下命題告訴我們實施在a.e.有限可測函數上的标準的代數運算仍然導出可測函數.
定理6 令f和g為E上的可測函數，在Ｅ上a.e.有限.
（線性）對任何α和β，
（乘積）
證明 根據以上的說明，我們可以假設f和g在整個Ｅ上有限.若α=0，則函數αｆ也是可測的.若α≠0，觀察到對于數c，
而
是以f的可測性蘊涵αｆ的可測性.是以為證明線性僅須考慮α=β=1的情形.
對于x∈E，若ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＜ｃ，則ｆ（ｘ）＜ｃ-ｇ（ｘ），進而根據有理數集Ｑ在Ｒ中的稠密性，存在有理數q使得
是以，
有理數是可數的.是以｛ｘ∈Ｅｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＜ｃ｝是可測的，這是由于它是可測集的可數族的并.是以ｆ＋ｇ是可測的.
為證明可測函數的乘積是可測的，首先觀察到
是以，由于我們已證明線性，為證明兩個可測函數的乘積是可測的，僅須證明可測函數的平方是可測的.對c≥0，
而對于ｃ＜０，
是以f^2是可測的.
初等分析中考慮過的許多函數性質，包括連續性和可微性，在函數的複合運算下依然成立.然而，可測函數的複合可以不是可測的.
例子 存在兩個可測實值函數，每個定義在整個Ｒ上，其複合不是可測的.根據第2章的命題21，存在定義在［０，１］上的連續嚴格遞增函數ψ和［０，１］的可測子集Ａ，使得ψ（A）是不可測的.延拓ψ為Ｒ映上Ｒ的連續嚴格遞增函數.函數ψ^-1是連續的，是以是可測的.另一方面，Ａ是可測集，進而它的特征函數（其定義見3.2節）χA是可測函數.我們宣稱複合函數
是不可測的.事實上，若I是任何包含１但不包含０的開區間，則它在f下的原象是不可測集ψ（A）.
盡管有該例子施加的阻礙，但存在關于在複合下可測性成立的如下有用的命題（也見習題１１）.
命題7 令g為定義在E上的可測實值函數，而f為定義在整個R上的連續實值函數.則複合ｆ·ｇ是Ｅ上的可測函數.
證明 根據命題2，實值函數是可測的當且僅當每個開集的原象是可測的.令O為開的.則
由于f是連續的且定義在開集上，集合U＝f-1（O）是開的.我們從函數ｇ的可測性推出
是可測的.是以原象
是可測的，因而複合函數f·g是可測的.
上面結果的一個直接的重要推論是：若具有定義域E的函數ｆ是可測的，則|f|是可測的，且事實上對每個p>0，具有共同的定義域E的|f|^p是可測的.
對于具有共同定義域E的函數的有限簇
，函數
在E上的定義為
以相同方式定義函數
命題8 對于具有共同定義域Ｅ的可測函數的有限簇
和
也是可測的.
證明 對任何c，我們有
是以該集合是可測的，這是由于它是可測集的有限并.是以函數
是可測的.用類似的方法可證明函數
對于定義在E上的函數f，我們有與之相聯系的定義在E上的函數|f|、f+和f-，|f|（x）=max{f（x）,-f（x）}, f+（x）=max{f（x）,0}, f-（x）=max{-f（x）,0}若f在E上可測，則根據前一個命題，函數|f|、f+和f-也可測.當我們研究積分時這是重要的，由于将f表示為E上的兩個非負函數的差
的表示方式在定義Lebesgue積分時起着重要作用.
習題
1.假定f和g是［a,b］上的連續函數.證明：若在［a,b］上f=g，a.e.，則事實上在［a,b］上f=g.若［a,b］換成一般的可測集E，類似的斷言是否成立？
2.令D和E為可測集，而f是以D∪E為定義域的函數.我們證明f在D∪E上是可測的當且僅當它限制在D和E上是可測的.若“可測的”換作“連續的”，同樣結論是否成立？
3.假定函數f有可測定義域且除有限個點外是連續的.f是否必然可測？
4.假定f是R上的實值函數，使得對每個數c，
是可測的.f必然是可測的嗎？
5.假定函數f定義在可測集E上且有性質：對每個有理數c，｛ｘ∈Ｅｆ（ｘ）＞ｃ｝是可測集.F必然是可測函數嗎？
6.令ｆ為具有可測定義域Ｄ的函數.證明f是可測的當且僅當Ｒ上的定義如下的函數g：對x∈D，ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ），而對x∉D，ｇ（ｘ）＝０是可測的.
7.令函數f為定義在可測集E上的函數.證明f是可測的當且僅當對每個Borel集A，
是可測的.（提示：具有性質
是可測的集合A的族是一個σ代數.）
8.（Borel可測性）函數f稱為是Borel可測的，若它的定義域E是Borel集，且對每個c，集合{x∈Ef（x）>c}是Borel集.證明若我們用“Borel集”代替“Lebesgue可測集”，命題１和定理６仍然成立.證明：（i）每個Borel可測函數是Lebesgue可測的；（ii）若f是Borel可測的且B是Borel集，則
是一個Borel集；（iii）若f和g是Borel可測的，則f·g也是；（iv）若f是Borel可測的且ｇ是Lebesgue可測的，則f·g是Lebesgue可測的.
9.令｛fn｝為定義在可測集E上的可測函數序列.定義E0為E中那些使得｛fn（x）｝收斂的點x所組成的集合.集合E0是可測的嗎？
10.假定f和g是定義在整個R上的實值函數，f是可測的，而g是連續的.複合ｆ·ｇ必然是可測的嗎？
11.令f為可測函數而g是從R映上R的具有Lipschitz逆的一對一的函數.證明複合ｆ·ｇ是可測的.（提示：參考第2章的習題37.）
3.2 序列的逐點極限與簡單逼近
對于具有共同定義域E的函數序列｛fn｝和Ｅ上的函數ｆ，存在幾個不同的方式叙述“序列｛fn｝收斂于f”，有必要考慮每一種方式意味着什麼.
本章我們考慮具有共同定義域E的函數序列｛fn｝逐點收斂和一緻收斂的概念，這些概念在初等分析中是熟知的.在後面的幾章我們考慮許多其他模式的函數序列收斂.
定義 對具有共同定義域Ｅ的函數序列｛fn｝，Ｅ上的函數ｆ，以及E的子集A，我們說
（i） 序列｛fn｝在A上逐點收斂于ｆ，若
（ii） 在A上序列｛fn｝a.e.逐點收斂于ｆ，若它在Ａ～Ｂ上逐點收斂到ｆ，其中ｍ（Ｂ）＝0.
（iii） 序列｛fn｝在A上一緻收斂于ｆ，若對每個ε＞０，存在名額Ｎ，使得
當考慮函數序列｛fn｝和它們收斂到的函數f時，我們常常隐含假設所有函數有共同的定義域，我們寫“在A上逐點｛fn｝→f”以表明在A上｛fn｝逐點收斂到f，且對一緻收斂用類似的記号.
連續函數的逐點極限不一定是連續的.Riemann可積函數的逐點極限不一定是Riemann可積的.以下命題首次顯示了可測函數有好得多的穩定性.
命題９ 令｛fn｝為Ｅ上的a.e.逐點收斂于函數f的可測函數序列.則ｆ是可測的.
證明 令E0為E的子集使得m（E0）=0而｛fn｝在E~E0上逐點收斂于ｆ.由于m（E0）=0，從命題5得知f是可測的當且僅當它在E~E0上的限制是可測的.是以，通過可能地用E~E0替代E，我們可以假設序列在整個E上逐點收斂.
固定數c.我們必須證明{x∈Ef（x），
ｆ（ｘ）＜ｃ
當且僅當存在自然數n和k使得對所有j≥k，fj（x）＜ｃ-１／ｎ.
但是對于任何自然數n和j，集合{x∈Efj（x）
也是可測的.是以，由于可測集的可數族的并是可測的，
若A是任意集合，A的特征函數
是定義為
Ｒ上的函數.
顯然函數
是可測的當且僅當集合A是可測的.是以不可測集的存在性蘊涵着不可測函數的存在性.可測集的特征函數的線性組合在Lebesgue積分中所起的作用類似于階梯函數在Riemann積分中所起的作用，因而我們将對這些函數命名.
定義 定義在可測集Ｅ上的實值函數φ稱為簡單的，若它是可測的且僅取有限個值.我們強調簡單函數僅取實值.簡單函數的線性組合與乘積是簡單的，這是由于它們中的每個僅取有限個值.若φ是簡單的，具有定義域Ｅ且取不同值c1，…，cn，則在E上
φ的特征函數的線性組合的特定的表示稱為簡單函數φ的典範表示.
簡單逼近引理 令ｆ為E上的可測實值函數.假設ｆ在Ｅ上有界，即存在M≥0，使得在Ｅ上|ｆ|≤Ｍ.則對每個ε＞０，存在定義在E上的簡單函數φε和ψε具有以下逼近性質：在Ｅ上，
證明 令（ｃ，ｄ）為包含E的象f（E）的開有界區間，且
為閉有界區間［ｃ，ｄ］的一個劃分，使得對
定義
由于每個Ik是區間而函數ｆ是可測的，每個集合Ek是可測的.定義E上的簡單函數φε和ψε為
令x屬于E.由于
，存在唯一的k（１≤ｋ≤ｎ），使得
，是以
但
，是以φε和ψε有所要求的逼近性質.
我們添加以下定理到我們已建立的可測函數的刻畫中.
簡單逼近定理 定義在可測集Ｅ上的擴充實值函數ｆ是可測的當且僅當存在E上的簡單函數序列{φn}，它在E上逐點收斂到f且具有性質：
若ｆ是非負的，我們可選取{φn}為遞增的.
證明 由于每個簡單函數是可測的，命題９告訴我們若一個函數是簡單函數序列的逐點極限，則它是可測的.剩下來要證明逆命題.
假設ｆ是可測的.我們也假設在Ｅ上f≥0.一般情形通過将f表示為非負可測函數的差（見習題２３）得到.令ｎ為自然數.定義En={x∈E|f（x）≤ｎ}.則En是可測集而f在En的限制是非負有界可測函數.将簡單逼近引理用于f在En的限制，且選取ε=1/n，我們可以選取定義在En上的簡單函數φn和ψn，它們具有以下逼近性質：
觀察到
若f（x）>n，通過設φn（x）＝ｎ，将φn延拓到整個Ｅ.函數φn是定義在Ｅ上的簡單函數且在Ｅ上０≤φn≤ｆ.我們宣稱序列{φn}在Ｅ上逐點收斂于ｆ.令ｘ屬于Ｅ.
情形１：假設f（x）是有限的.選取一個自然數Ｎ使得f（x）
情形2：假設f（x）=∞.則對所有n，φn（ｘ）=n，是以
通過用ｍａｘ{φ1，…，φn}代替每個φn，我們有{φn}是遞增的.
12.令ｆ為Ｅ上的有界可測函數.證明存在Ｅ上的簡單函數序列{φn}和{ψn}，使得{φn}是遞增的而{ψn}是遞減的，且這些序列的每個在Ｅ上一緻收斂于ｆ.
13.實值可測函數稱為半簡單的，若它僅取可數個值.令ｆ為Ｅ上的任意可測函數.證明存在E上的半簡單函數序列｛fn｝，它在Ｅ上一緻收斂于ｆ.
14.令ｆ為Ｅ上的可測函數，其在E上a.e.有限且ｍ（Ｅ）＜∞.證明對每個ε>0，存在包含于E的可測集F，使得f在F上是有界的且m（E~F）<ε.
15.令ｆ為Ｅ上的有界可測函數，其在E上a.e.有限且ｍ（Ｅ）＜∞.證明對每個ε>0，存在包含于E的可測集F和Ｅ上的簡單函數序列{φn}使得在F上一緻地{φn}→f且m（E~F）<ε.（提示：見前一個習題.）
16.令I為閉有界區間而E是I的可測子集.令ε>0.證明存在I上的階梯函數ｈ和I的可測子集F，使得
（提示：用第2章的定理12.）
17.令I為閉有界區間而ψ是定義在Ｉ上的簡單函數.令ε>0.證明存在I上的階梯函數h和I的可測子集F，使得在F上， h=ψ且m（I~F）<ε（提示：用簡單函數是特征函數的線性組合的事實以及前一個習題.）
18.令I為閉有界區間而f是定義在I上的有界可測函數.令ε>0.證明存在I上的階梯函數h和I的可測子集Ｆ，使得
19.證明如同max與min，兩個簡單函數的和與積是簡單的.
20.令A和B為任意集.證明
21.對于具有共同定義域的可測函數序列｛fn｝，證明以下函數都是可測的：
22.（Dini定理）令｛fn｝為［ａ，ｂ］上的連續函數的遞增序列，它在［ａ，ｂ］上逐點收斂于［ａ，ｂ］上的連續函數f.證明該收斂在［ａ，ｂ］上是一緻的.（提示：令ε>0.對每個自然數n，定義En={x∈［ａ，ｂ］f（x）-fn（x）<ε}.證明{En}是［ａ，ｂ］的開覆寫并用Heine-Borel定理.）
23.将可測函數表示為非負可測函數的差，進而基于非負可測函數的特殊情形證明一般的簡單逼近定理.
24.令I為區間而f：I→R是遞增的.通過首先證明對每個自然數n嚴格遞增的函數xf（x）+x/n是可測的，接着取逐點極限，證明f是可測的.
3.3 Littlewood的三個原理、Egoroff定理以及Lusin定理
談到一進制實變量的函數論，J.E.Littlewood說：“所要求的知識範圍不像有時料想的那麼多.有三個原理，大緻可用術語表述如下：每個可測集接近于區間的有限并，每個可測函數接近于連續函數；每個逐點收斂的可測函數序列接近于一緻收斂的函數序列.實變函數論中的大部分結果是這些思想相當直覺的應用.學生們掌握了這些等于掌握了大多數情況下實變函數理論所要求的(知識).若其中一個原理是解決一個十分真實的問題的明顯的方法，那麼自然要問這個‘接近’是否足夠，而實際上對于一個可以解決的問題，這個‘接近’一般是足夠的.”
第2章的定理12是Littlewood第一原理的精确闡述：它告訴我們給定有限測度的可測集Ｅ，則對每個ε>0，存在開區間的有限不交族，其并集U在
的意義下“接近等于”E.
Littlewood的最後原理的精确實作是以下令人驚訝的定理.
Egoroff定理 假設E具有有限測度.令｛fn｝為Ｅ上的逐點收斂于實值函數f的可測函數序列.則對每個ε>0，存在包含于E的閉集F，使得在F上
為證Egoroff定理，首先建立以下引理是友善的.
引理10 在Egoroff定理的假設下，對每個η＞０和δ>0，存在Ｅ的可測子集Ａ和名額N，使得對所有ｎ≥Ｎ和ｍ（Ｅ～Ａ）＜δ，在Ａ上|fn-ｆ|＜η.
證明 對每個k，函數|f-fk|是恰當定義的，這是由于ｆ是實值的，它是可測的，是以集合{x∈E|f（x）-fk（x）<η}是可測的.可測集的可數族的交集是可測的.是以
是一個可測集.則
是上升的可測集族，且
，這是由于{fn｝在Ｅ上逐點收斂于f.我們從測度的連續性推出
由于m（E）<∞，我們可以選取名額Ｎ使得m（EN）>m(E)-δ.定義A=EN且觀察到，根據測度的分割性質，m（E~A）=m（E）-m（EN）<δ.
Ｅｇｏｒｏｆｆ定理的證明 對每個自然數n，令An為Ｅ的可測子集而Ｎ（ｎ）是滿足前一個引理結論的名額，其中
，即
與
根據De Morgan等式、測度的可數次可加性以及式（２），
我們宣稱｛fn｝在Ａ上一緻收斂于f.事實上，令ε>0.選取名額n0使得1/n0<ε.則由（3），
然而，
是以在Ａ上｛fn｝一緻收斂于f且m（E~A）<ε／２.
最後，根據第2章的定理11，我們可以選取包含于A的閉子集F，使得m（A~F）<ε/2.是以m（A~F）<ε且在F上一緻地｛fn｝→f.
若收斂是a.e.逐點的且極限函數是a.e.有限的，顯然Egoroff定理也成立.
我們現在在可測函數是簡單的情形下給出Littlewood第二原理的精确版本，接着用這個特殊的情形去證明該原理的一般情形——Lusin定理.
命題11 令ｆ為定義在Ｅ上的簡單函數.則對每個ε>0，存在Ｒ上的連續函數g和一個包含于Ｅ的閉集F，使得
證明 令a1，a2，…，an為ｆ取的有限個不同的值，并且令它們分别在集合E1，E2，…，En上被取到.由于這些ak是不同的，族
是不交的.根據第2章的定理11，我們可以選取閉集F1，F2，…，Fn使得對每個名額k（1≤k≤n），
則
作為閉集的有限族的并集是閉的.由于{Ek}nk=1是不交的，
在F上定義g為在Fk上取值ak的函數，1≤k≤n.由于族{Fk}nk=1是不交的，g是恰當定義的.此外，g在F上是連續的，這是由于對點x∈Fi，存在包含x的開區間，它與閉集
不交，因而函數g在該區間與F的交集上是常數.但g可從閉集F上的連續函數延拓為整個R上的連續函數（見習題25）.R上的連續函數g有我們所要的逼近性質.
Lusin定理 令f為定義在E上的實值可測函數.則對每個ε>0，存在R上的連續函數g和一個包含于Ｅ的閉集Ｆ，使得
證明 我們考慮m(E)<∞的情形，而将推廣到m(E)=∞作為練習.根據簡單逼近定理，存在定義在E上的簡單函數序列｛fn｝在E上逐點收斂于ｆ.令ｎ為自然數.根據前一個命題，其中用fn代替f且用ε/2n+1代替ε，我們可以選取R上的連續函數gn和包含于E的閉集Fn，使得
根據Egoroff定理，存在包含于E的閉集F0使得｛fn｝在F0上一緻收斂到f且m（E~F0）<ε/2.定義
.根據De Morgan等式和測度的可數次可加性，觀察到
由于集合Ｆ是閉集的交，它是閉的.由于
且在Fn上fn=gn，每個fn在Ｆ上是連續的.最後，由于
，｛fn｝在Ｆ上一緻地收斂于ｆ.然而，連續函數的一緻極限是連續的，是以f在F上的限制是連續的.最後，存在定義在整個R上的連續函數g，它在F上的限制等于f（見習題25）.函數g有我們所要的逼近性質.
25.假定f是在實數的閉集F上連續的函數.證明ｆ有到整個R的連續延拓.這是即将介紹的Tietze延拓定理的特殊情形.（提示：将R~F表示為開區間的可數不交族的并集，且定義ｆ在這些區間的每個的閉包上是線性的.）
26.對于Lusin定理叙述中的函數ｆ和集合Ｆ，證明f在F上的限制是連續函數.是否一定存在一些點，當考慮f為E上的函數時，它在這些點是連續的？
27.證明：若去掉定義域具有有限測度的假設，Egoroff定理的結論可能不成立.
28.證明：若收斂是a.e.逐點的而f是a.e.有限的，Egoroff定理仍然成立.
29.證明Lusin定理可推廣到E具有無窮測度的情形.
30.證明Lusin定理可推廣到f不必是實值，但是可以為a.e.有限的情形.
31.令｛fn｝為Ｅ上的可測函數序列，它在Ｅ上逐點收斂于實值函數ｆ.證明
，其中對每個名額ｋ，Ek是可測的，且若ｋ＞１，在每個Ek上｛fn｝一緻收斂于ｆ，且m（E1）=0.