第2章
PDN阻抗設計基本原理
2.1 關心阻抗的原因
最終，如果提供給晶片的電壓在規定的範圍内，即它是一些具有AC波紋的平均值，那麼這個PDN是可接受的。不幸的是，究竟這個電壓能否保持在可接受的水準依靠的不僅是PDN設計，還有不同晶片在系統中的行為，即它們執行的是什麼功能和它們拉出電流的頻譜。
在電路闆的某個位置上，當它運作在特别的代碼部分時，被測量的電壓是可接受的。可是，這不能保證運作在其他微碼時同樣會産生可接受的結果。在晶片焊盤上測量的電壓比在印制闆上的電壓有更多的噪聲。
這使得接受電源配置設定網絡的測試變得困難。作為初步近似，電壓噪聲是被不同晶片拉出的電流譜産生的，其中它流過電源配置設定網絡互相連接配接線的阻抗。
如果我們知道由晶片拉出的最差電流，例如，基于門的使用或者仿真，并知道由測量、仿真或計算得到的電源配置設定電絡的阻抗，那麼我們就能在最差情況且為實際條件下計算出預期噪聲。
雖然我們不能産生在終端使用者測試環境中被拉出的每一個電流波形，但基于它的阻抗行為評估PDN的可接受性是可能的。阻抗能成為PDN設計可接受性的替代測度。
提示:
如果你不知道片上電源電流的特殊頻譜，那麼你可以使用PDN阻抗曲線作為PDN設計中可接受性的替代測度。
如果阻抗是魯棒性PDN品質的測度，那麼PDN設計就可簡化為目标阻抗值的設計。這使得阻抗成為PDN性能中最重要的設計度量。我們應了解阻抗的各個方面資訊，了解選擇元件和實體設計如何影響阻抗成為PDN設計中重要的方面。我們從讨論阻抗和電容器的阻抗特性開始這個過程。
在一般的電子設計中阻抗是基本電量，是PDN設計中最為重要和基本的原理。
2.2 頻域中的阻抗
阻抗是指元件兩端電壓和流過它的電流之比：
式中，Z是元件兩端的阻抗；V是元件兩端之間的電壓；I是通過元件從一個端口進入從另外一個端口流出的電流。
這個基本的定義可用于時域和頻域，也能延伸到多端口元件中，例如，兩個平面中不同位置之間的電壓。這是在本章結尾處描述的轉換阻抗的基礎。
雖然阻抗在時域和頻域内都能很好地定義，但對理想元件（如電容器或電感器），在頻域内對阻抗的定義有更加簡單的描述。
提示
阻抗在時域和頻域都能很好地定義，在頻域其更為簡單和容易。這就是為什麼在這個域用于表示和分析PDN阻抗。
例如在時域，通過理想電容器的電流是：
式中，I是流過電容器的電流；C是電容器的電容值；V是電容器兩端的電壓。
使用阻抗的定義，在時域内電容器的阻抗是
正如我們預期的那樣：它是連續的，dV/dt越大，流過電容器的電流越大，阻抗越小。理想電容器的阻抗依賴于電容器兩端電壓波形的斜率。雖然這個表達式是絕對準确的，但是在實際應用中，使用它是令人尴尬的，因為阻抗與電容器兩端電壓波形形狀的依賴關系是很複雜的。
當我們将其轉換成頻域，它僅允許波形是正弦波，電容器的阻抗取簡單形式：
式中，Z是理想電容器的阻抗；C是理想電容器的電容值；j是－1的平方根；ω是角頻率為2πf。
同樣，在頻域内理想電感器的阻抗與時域相比也有簡單的形式：
式中，Z是理想電感器的阻抗；L是理想電感器的電感值；j是－1的平方根；ω是角頻率，為2πf。
因為在頻域内阻抗有簡單的形式，是以對于很多問題在頻域内都能很快得到答案。這使我們有目的地離開時域，工作在頻域。與阻抗有關的問題通常是在頻域上分析的。
雖然常常在時域評估性能，但我們有時通過頻域來走捷徑很快就能得到回答。這是考慮頻域分析的最重要理由。
阻抗中的“j”意味着阻抗是複數——在任意頻率下它都有兩個值。它可用幅度和相位或者實部和虛部來表示，在很多情況下，複數阻抗用幅度和相位表示更為普遍。
當阻抗在頻域内用實部和虛部分量描述時，虛部分量被稱為電抗。在由電阻（R）、電感（L）、電容（C）元件組成的電路中，電抗是由L和C的值決定的。例如，R和C元件串聯時，阻抗是：
電抗是虛部項，習慣上用字母“X”來表示：
對于單個理想電容C，電抗随頻率的增加而減小，頻率增加10倍，幅度減小到原來的1/10。由于阻抗幅度中因子10代表－20dB，我們稱電抗随頻率的滾降是每十倍頻程-20dB。這是典型的具有單個電容器元件的電路。
對于單個電感器，情況是類似的：
電抗随頻率的上升每十倍頻程上升20dB。
在頻域，電容器或電感器的阻抗随頻率的變化率是每十倍頻程20dB。在對數對數坐标系統中，這是直線，電感器的直線斜率是＋1，電容器的直線斜率為－1。這就是為什麼在垂直方向上繪制對數阻抗，在水準方向繪制對數頻率的原因。
2.3 阻抗的計算或仿真
雖然用紙和筆就可在頻域内計算單個元件的阻抗，但是随着電路中元件數量的增加，指數級增加的計算量令人乏味。
幸運地是，我們能應用SPICE或者類似的仿真器來計算任何理想、線性、時變電路元件集合的阻抗。這些仿真器一般容易使用、免費、能工作在各種流行的作業系統中。它們也有繪圖輸入和顯示，這使它們具有普遍的價值。
特别要提到的是QUCS(Quite Universal Circuit Simulator)，它是一種免費、開放源、強大并且使用簡單的仿真器，你可将其用于阻抗計算或分析，在本書中有很多使用QUCS的例子。其他的例子則使用了最進階的終端電路仿真器工具之一，Advanced System Design (ADS)，它可由Keysight Technologies,formery Agilent Technologies得到。結果完全相同。
阻抗仿真的基本工具是SPICE-相容電路仿真器。最容易使用的免費版本是QUCS，而最進階的終端版本或許是Keysight的ADS。這些工具能用于任何電路組合中仿真阻抗曲線。
任何電路在SPICE中能建立阻抗分析器的奧秘是AC恒流源。在SPICE中，不管在任何負載下，理想恒流源總是輸出一個恒定電流。在輸出任何需要的電壓來驅動固定的電流，這樣即可保持恒流。
在AC模式中，恒流源輸出的是幅度保持恒定的正弦波電流，獨立于負載，圖2-1所示為這個電流波形。
為輸出這個AC電流的恒定幅度，這個正弦波電壓的幅度源輸出必須是特定值。在頻域，所有的波形都是正弦波。任何正弦波的頻率、幅度和相位即可完整地描述一切。
AC恒流源的正弦波輸出電壓總是與流過它的正弦波電流有關，關系為：
式中，V(ω)是每個頻率的正弦波電壓的幅度和相位；I(ω)是每個頻率的正弦波電流的幅度和相位；Z(ω)是每個頻率的負載阻抗的模和相位。
所有這些量都是複數。基于加到這個電流源上的負載，仿真得到的複數電壓從數值上說就是負載的複數阻抗。仿真電壓的幅度是阻抗的模，仿真電壓的相位就是負載阻抗的相位。
這個關系可簡單地說，如果我們用幅度為1A、相位角為0°的恒流正弦波，那麼以伏為機關輸出電壓的幅度，在數值上就是以歐姆為機關的阻抗。重要的還有，仿真電壓的相位在數值上就是阻抗的相位。
由恒流源仿真電壓的幅度和相位，就可在任何頻率下仿真加到這個恒流源負載上的複數阻抗。圖2-2所示為說明簡單阻抗分析器的電路和幾個理想元件的仿真結果的阻抗圖。
在阻抗分析器電路中，恒流源左邊的1GΩ的電阻器是為了保持仿真器的吸出通路而設定的。很多仿真器需要每個節點到地的DC通路。這個電阻器當輸出開路或是容性負載時對恒流源輸出提供DC通路。它限制了我們能仿真的最高阻抗是1GΩ，這對所有的PDN應用是完全合适的。
注意：理想電容器和電感器的阻抗模是在對數——對數坐标上标注的。理想電容器的阻抗随頻率而下降，理想電感器則随頻率而增加，其變化是每十倍頻程20dB。
當作阻抗與頻率關系圖時，對數對數坐标總是最有用的格式，因為它可直接指出電路行為是容性還是感性的。
理想電容器的阻抗随頻率下降，而理想電容器阻抗的相位為常數-90°。理想電感器的阻抗随頻率增加，而理想電感器阻抗的相位為常數＋90°。當然，理想電阻器阻抗的模是常數，阻抗相位為0°。
阻抗相位與阻抗曲線的形狀密切相關，潛在的根源是Kramers-Kronig關系式。本質上這個概念是：對頻域上的任何複數函數，它在時域描繪了一個真實世界的影響，這不妨害因果性——在仿真後總是有反應——在複數函數的實部和虛部必定存在特定的聯系。
Kramers-Kronig關系式說明，知道阻抗的實部就可知道其虛部。當描述阻抗的實體結構時，實部和虛部被這個關系所限制。這個關系的影響是阻抗曲線模的形狀與阻抗相位有關。知道阻抗曲線的形狀就可知道相位，在阻抗和相位圖上能尋找到這個行為。
在所有電路中，電容器阻抗的模每十倍頻程滾降－20dB，相位接近-90°。當阻抗的模每十倍頻程增加20dB時，相位接近＋90°。當阻抗曲線不随頻率變化時，相位将接近0°。這意味着：如果我們仔細地注意阻抗曲線的形狀，那麼當它畫在對數對數坐标上時，我們能推斷出它的相位。
知道阻抗的模就可知道阻抗的相位。當模随頻率下降時，相位接近－90°，當模随頻率增加時，相位接近＋90°。這是基本的本質，實體系統的因果關系。
因為可以推斷出它的形狀，是以用不着總是顯露阻抗相位，而應聚焦于阻抗的模，一般把它們畫在對數對數坐标上。
永遠不要把理想電容器和電感器的電容與電感與它們的阻抗相混淆。對于理想電路元件，由定義可知，理想電容器的電容值是常數，不随頻率的改變而變化。同樣，由定義可知，理想電感器的電感值是常數，不随頻率的改變而變化，正如理想電阻器的電阻值。L和C的阻抗随頻率而變化，但是它們的電容值和電感值是常數。
不要忘記，理想電容器的電容值不随頻率變化，是常數，但是它的阻抗随頻率而變化。電感器也是如此。
使用任何電路仿真器都可自動計算出這些特性。所有版本的SPICE都可用此法仿真任何電路阻抗。
2.4 實際電路元件與理想電路元件
使用QUCS阻抗分析器電路可仿真由任何理想電路元件組合的電路的阻抗。
重要的是要意識到，理想電路元件和實際電路元件之間的差別。理想電路元件有明确的特性，可用在電路仿真中。實際電路元件具有包含寄生效應可測量阻抗的真實實體結構。不幸的是，我們對理想電路元件和實際實體結構使用相同的術語（如電容器），即使它們的行為和特性是非常不同的。
盡管我們稱這種“結構”為真實電容器，但它測量的阻抗在一些頻段與理想電容器的行為不會接近。
基于它的實體設計、材料特性和麥克斯韋方程，真實電路的行為與附加寄生效應的理想元件有些相同。理想電路元件是非理想實體元件的理想表現。
在特定場合，使用一些形式的行為模型（如依據S參數描繪的行為模型），真實元件的測量阻抗能歸并入電路仿真中。采用特殊的仿真器工具可允許S參數行為模型并入具有傳統的RLC和T元件的電路仿真中。即使如此，如果你不能完全了解測量裝置的詳情或S參數是如何産生的，那麼使用行為模型仍舊有點危險。
我們能使用雙端口技術的網絡分析儀測量實際電容器的阻抗，這在第3章中讨論。圖2-3所示為測量0603多層陶瓷晶片（MLCC）電容器直口阻抗。
在低頻時，實際電容器的阻抗與182nF的理想電容器的阻抗相當。圖2-4比較了實際電容器的測量阻抗和理想電容器的仿真阻抗。在這個例子中，一直到3MHz，它們完全一緻。
可是，描述這個實際電容器阻抗行為的較高頻帶模型是一個RLC電路。圖2-5指出：這個實際電容器的測量阻抗的模和相位和RLC串聯電路的仿真阻抗相一緻。使用在這個仿真電路中使用的數值是：R=18mΩ，C=182nF，L=1.3nH。
注意：雖然阻抗随頻率而改變，但理想的R、L和C的值不随頻率而改變。這個例子說明，實際結構的測量阻抗可以用理想電路元件的組合來很好地近似。從觀察和經驗可得，我們能以合适的拓撲組合幾個理想元件并且選擇合适參數值來近似實際實體元件的非理想寄生效應。本例子中，在高達200MHz的帶寬内，這個簡單模型和實際測量的性能相一緻。模型帶寬可能比200 MHz更高，隻是這不能通過測量來告訴你而已。
這是相當引人注目的，在非常高的帶寬内，實際上有時複雜結構的測量阻抗可用相當簡單的理想電路元件的組合來準确近似。
如何知道模型是否已很好地比對或者多寬的頻帶可達到測量性能，通常唯一的方法就是測量。這就是下一章聚焦于測量技術的原因。
與PDN關聯的大多數結構可以用兩個簡單的RLC電路和它們的組合來描述：R、L和C的串聯組合及R、L和C的并聯組合。
從測量或仿真源的角度看，術語串聯和并聯，是表示L和C如何連接配接在一起的。R元件與其中的一個電抗串聯或者并聯均可。
了解這些電路的特性将使我們了解PDN性能更為容易。
2.5 串聯RLC電路
圖2-5所示的例子也說明了RLC電路如此重要的原因。它是實際電容器行為的一個優秀模型。我們隻要用一些代數方法将每個元件的阻抗相加即可計算串聯RLC電路的阻抗。描述這個串聯阻抗可用以下公式：
我們也能使用SPICE中的阻抗分析器電路仿真這個阻抗。理想的R、L和C組合的仿真阻抗如圖2-6所示，圖中它與以模和相位表示阻抗的串聯RLC電路的仿真阻抗相比較。
3個重要的特性存在于串聯RLC電路模型的阻抗曲線中，在頻帶内，其行為像電容、電阻和電感。
在最低頻率時，RLC電路阻抗中占據主導地位的是電容器，RLC電路阻抗的相位可能達到－90°。這就如理想電容器，與Kramers-Kronig關系相一緻。電容僅影響低頻阻抗，如圖2-7所示。因為電容的改變，串聯RLC電路的阻抗僅在低頻端受到影響。
在高頻端，串聯RLC電路阻抗中占據統治地位的是理想電感的阻抗，RLC電路的相位可達到＋90°，與理想電感器相同。電感變化僅僅改變RLC電路的高頻阻抗（見圖2-8）。
在容性電抗和感性電抗的頻率交替地方，串聯組合的阻抗趨于0，串聯RLC電路阻抗中占據統治地位的是理想電阻元件的阻抗。我們可計算容性和感性電抗的模交替的角頻率，由相等可得：
和
最小阻抗處的頻率被稱為自或串聯諧振頻率（SRF），可推導：
式中，SRF是自或串聯諧振頻率（Hz）；ω是角頻率（rad/s）；L是電感（H）；C是電容（F）。
SRF更為習慣的是：
式中，SRF是自或串聯諧振頻率（MHz）；L是電感（nH）；C是電容（nF）。
例如在上面的RLC電路中，L＝1nH和C=1nF，計算得到的SRF=159MHz。這是最小阻抗的頻率。
在這個諧振頻率上，我們得到的容抗和感抗為
這個阻抗常常被稱為RLC電路的特性阻抗。這是沒有辦法的，它的名稱與傳輸線的特性阻抗相同，但是，它是RLC電路的阻抗“特性”，與L和C元件在諧振頻率時阻抗相等。
在串聯RLC電路中，低頻阻抗僅由電容器來确定而高頻阻抗僅由電感器來确定。
2.6 并聯RLC電路
并聯RLC電路是同樣有用的理想電路模型。這裡，3個理想電路元件并聯，正如圖2-9所示。
在低頻端，阻抗由并聯的電感阻抗占統治地位。其行為像DC短路，然而其阻抗随着頻率的增加而增加。在高頻端，電容器的阻抗占據統治地位，但是它的阻抗随頻率的增加而下降。當L和C的并聯阻抗最大時，稱為峰值阻抗，電路阻抗受限于電阻元件的阻抗值。
阻抗峰是指并聯諧振峰。當容抗和感抗相等時，它們的并聯阻抗最大。如果不存在并聯電阻，隻有L和C的并聯諧振峰阻抗将為無窮大。電阻的作用是使這個并聯諧振峰下降。如串聯諧振頻率那樣，并聯諧振頻率（PRF）是感抗和容抗相等的頻率：
式中，PRF是并聯諧振頻率（Hz）；L是電感（H）；C是電容（F）。
圖2-9并聯RLC電路和阻抗行為，其中R=1kΩ，L=10nH和C=1nF
PRF更為友善的是：
式中，PRF是并聯諧振頻率（MHz）；L是電感（nH）；C是電容（nF）。
例如，若上面的并聯RLC電路中，L＝10nH、C＝1nF，那麼PRF＝50.3MHz，這個頻率就是峰值阻抗的頻率。
阻抗曲線的峰值幾乎總是由并聯RLC電路産生的。你可以利用你對特性的了解，來影響這個峰阻抗，使其降低。
2.7 串聯和并聯RLC電路的諧振特性
在串聯或并聯RLC電路中，有3個特征來描述阻抗特性：
- 諧振頻率
- 諧振時的最大或最小阻抗
- 凹坑或峰值的寬度
阻抗的凹坑或峰值發生在串聯或并聯諧振頻率時，這與L和C的值有關，可用式（2-18）計算：
式中,L是電感（nH）；C是電容（nF）。
在SRF或PRF時感抗或容抗就是電路的特性阻抗Z0，可用式（2-19）來計算：
式中，Z0是RLC電路的特性阻抗，不要與傳輸線的特性阻抗相混淆。
RLC電路的特性阻抗與均勻傳輸線的特性阻抗概念毫無關系，它就是RLC電路的阻抗特性。
求解角頻率：
電阻元件強烈地影響着并聯或串聯電路在諧振時的阻抗。在不存在阻尼的情況下，峰值或最小值趨向無限或者零。阻尼由電阻器的電阻來提供，使它們的峰值脫離極限值。
在串聯RLC電路中，阻抗的最小值幾乎就是電阻值。在SRF時，容抗和感抗互相抵消，結果是串聯阻抗正好等于R值。在并聯RLC電路中，阻抗的最大值是并聯電阻值。在PRF時，容抗和感抗互相抵消，結果是并聯阻抗值再次等于R值。
當遠離SRF時，在低頻阻抗曲線僅依靠C的值，而在高頻則依靠L的值。在諧振頻率附近，阻抗行為由于電阻而稍微有些改變。當使用較大的R時，最小阻抗值上升，在SRF時凹坑變淺，看起來似乎凹坑變得寬了。圖2-10所示為3個不同電阻值的阻抗曲線。
随着串聯電阻的增加，凹坑深度下降，但是外部的阻抗極值幾乎不受影響。這個例子也說明了阻抗曲線的形狀和相位之間的關系，就如同Kramers-Kronig關系的結果。阻抗平坦和接近為常數的頻率跨度越大，越類似于理想電阻器的行為，相位越靠近0°，這是理想電阻器阻抗的相位。
阻抗曲線的形狀非常依賴的不僅是Rseries值，也依賴L和C的值。在RLC諧振電路中，描述電阻及其影響的優值是q因子或電路的“品質”。有時，諧振電路的品質是用字母Q表示，由于在本書中，我們使用q因子，是以不要将其與電容器存儲的電荷相混淆，為此我們保留字母Q。
在諧振電路中，q因子被定義為：
它也是電路的特性阻抗與阻尼電阻之比和諧振頻率與最大值或最小值一半的全寬度的頻率跨度之比。在RLC串聯電路中，q因子是：
例如，在前面的電路中，L=10nH和C=10nF，q因子是：
當Rseries＝1Ω時，q因子是1。在圖2-10中，在仿真中使用的3個不同電阻值對應的q因子分别是10、1和0.1。
q因子是系統有關阻尼的測度。在高q因子系統中，峰值頻率中存儲的一小部分能量消失在每個周期中。系統連續地在時域中長時間振鈴，阻抗曲線顯示為尖銳和窄的傾斜。在低q因子系統中，存儲的能量大部分損耗在每一個周期中，系統快速地停止振鈴，阻抗曲線的凹坑是寬的。注意：這裡我們讨論的是串聯RLC電路，它有與q因子有關的阻抗凹坑。在這種情況下時域振鈴是電流。q因子的概念同樣也可用在具有阻抗峰值的并聯RLC電路中。在這種情況下時域振鈴是電壓。
作為振鈴的粗略測量，q因子的1/2是臨界阻尼，在最快的無振鈴建立時間之間有完美的平衡。更高的q因子值會顯示更多的振鈴，低的q因子有緩慢的響應。
串聯RLC電路的特性阻抗是發生在容抗和感抗交叉處，實際上它是RLC電路中非常有用的參數，因為它可直接決定Rseries，而Rseries是求解q因子第一需要的值。
在串聯RLC電路中，我們也可看阻抗凹坑的最小值，電阻Rseries與q因子的關系為：
串聯RLC電路中的q因子是阻抗凹坑的深度相較于串聯RLC電路特性阻抗的測度。在高q因子電路中，最小阻抗與特性阻抗相比是非常小的。諧振凹坑的外觀是一種展示，高q因子電路是尖銳的。
同樣的分析可準确地應用在并聯RLC電路中。圖2-11所示為同樣的RLC元件并聯後的阻抗曲線，q因子分别是0.1、1和10。
并聯諧振的阻抗峰值粗略地說是與電路的q因子有關，電路的特性阻抗可用式（2-27）計算
在式（2-27）中，電阻是與L和C并聯的，如果電阻與并聯諧振電路中的電容或電感串聯，那麼方程将是：
在上面電路的L和C的值下，特性阻抗是1Ω，對于3個不同的q因子，峰值阻抗分别是10、1和0.1Ω。
降低并聯RLC電路峰值阻抗的一個重要方法是增加阻尼，即降低電路的q因子。實作的方法是增加串聯電阻值或降低并聯電阻值。
為了減小諧振頻率時PDN阻抗峰值高度，我們可使q因子接近1。即讓R靠近RLC電路的特性阻抗，其方法是較高的R、較低的L或較大的C。在本章和後面的章節中，我們将指出，這些值是如何成為重要的設計目标的。
串聯或并聯RLC電路中兩個重要的名額是特性阻抗和q因子。并聯電路的峰值阻抗與Z0×q因子有關，串聯電路的最小阻抗與Z0/q因子有關。
2.8 RLC電路和真實電容器的例子
在任何并聯或串聯RLC電路中，有4個重要的名額，它們分别是諧振頻率、特性阻抗、q因子和分别對應并聯或串聯電路的最大或最小阻抗。它們描述了這些電路的特性，值得牢記。
或者
式中，SRF是串聯諧振頻率（MHz）；Z0是電路的特性阻抗（Ω）；q因子是電路的品質因子；Zmin是串聯RLC電路的最低阻抗；Zmax是并聯RLC電路的最大阻抗；Rseries是串聯電阻器的電阻值（Ω）；C是電容器的電容值（nF）；L是電感器的電感值（nH）。
每一個RLC電路都有描述其特性和性質的四個名額。分析任何RLC電路的第一步就是計算這4個名額。
例1有一個大的钽電容，它的模型是串聯RLC電路，具有的典型值為：C=1000μF=106nF、L=8nH、R=0.05Ω：
在這個例子中，我們看到非常大的钽電容有低的q因子，可預期其有平坦的阻抗曲線。由AVX提供了類似的電容器，但其具有較低的L和較高的SRF，它的阻抗曲線顯示在圖2-12中，可見它有非常寬和平坦的曲線。
例2一個典型的大MLCC（多層陶瓷晶片）電容器的尺寸為1206，使用X5R媒體材料，其參數為C=10μF=10 000nF、L=3nH、Rseries=0.003Ω。
對這種取值大的MLCC電容器來說，由于q因子相對要大些，是以可預期有尖銳的諧振曲線。由AVX提供的阻抗曲線顯示在圖2-13之中。它被安裝在印制闆上并使用通孔吸附，L的值是1nH，這比這種尺寸的電容器可實作的典型值更加具有侵略性。與我們早先估計的值比較，AVX計算的SRF稍微高一些。
例3一個小值的MLCC電容器的尺寸為0402，為X7R媒體類型，其參數為C=1nF、L=1nH、Rseries=0.16Ω。
對于取值小的電容器來說，電阻值大約是大電容器的50倍，這主要是由于有很少的并行導體闆。可是，由于有較高的特性阻抗，是以q因子的值仍舊差不多。
2.9 從晶片或電路闆的角度觀察PDN
術語并聯或串聯是指L和C元件的電路拓撲。它們連接配接的拓撲決定了諧振時阻抗是最小還是最大。并聯電路具有的阻抗是從并聯的電感器和電容器測量得到的，損耗元件（電阻器）可與并聯諧振電路串聯或者并聯。當電感器和電容器是并聯時，它常表示為ESR(等效串聯電阻)。串聯電路具有的阻抗是測量串聯的電感器和電容器的阻抗。
當L和C是并聯時，阻抗最大；當L和C是串聯時，阻抗最小。
第一步是決定電路的類型，預期是阻抗峰或是凹坑，識别電路中需要測量或仿真的地方。從這個角度來說，我們識别L和C元件的電路拓撲，最後識别電阻與L或C和電源是串聯還是并聯的。圖2-14所示為L和C元件串聯或并聯，串聯或并聯電阻的4種組合。
一個典型的PDN電路會顯示出不同，這依賴于我們觀察的角度。從晶片端看低阻抗印制闆時，PDN看上去就如同具有串聯電阻的并聯LC電路。當從印制闆端看晶片時，電路看上去就如同具有串聯電阻的串聯LC電路。圖2-15說明了同一電路的兩個角度。
從印制闆的角度看，通過封裝看向晶片時，封裝引線電感是與片上電容串聯的。看向晶片的阻抗顯示為具有低阻抗凹坑的串聯RLC電路。在高頻端，阻抗随頻率連續增加，封裝引線電感占據主導地位。
提示這意味着我們僅能從印制闆角度看到片上環境的低頻阻抗。從印制闆觀點看，晶片局部PDN環境的高頻特性被封裝引線電感和片上電容較低的阻抗所阻隔。
從晶片的角度看向印制闆平面PDN的其餘電路，片上電容與封裝引線電感并聯，結果是産生阻抗峰值。在高頻時，阻抗随頻率下降，占據統治地位的是片上電容，最終的限制是晶片的金屬化。
在低頻，晶片看自己的阻抗被連接配接到低阻抗印制闆的封裝引線電感所短路。包含VRM的印制闆級阻抗，在低頻方向有阻抗下降。從晶片的角度看，低頻阻抗最終受限于封裝引線的串聯電阻和其餘印制闆路徑的電阻。
在封裝和晶片中，對串聯電阻的貢獻有兩種。片上金屬化的PDN軌是與片上電容串聯的電阻，封裝的引線電阻和通孔至電路闆的電阻，它們與封裝引線電感串聯。從印制闆方向看入，當串聯時，4個元件的等效串聯電阻恰恰是片上金屬化電阻和封裝引線電阻的總和。4個元件的串聯阻抗與它們在電路中的次序無關。
從晶片的角度看，并聯電路的等效串聯電阻稍微複雜一些。在低頻，晶片上的短路電容，通過低阻抗的封裝引線變成了高阻抗。在低頻，占統治地位的封裝引線電阻與電路闆其餘的電阻串聯。從片上電容的角度看上去高頻阻抗是低的，從晶片的角度看上去，占據統治地位的是片上金屬化的串聯電阻。
在諧振附近，環路電流流過并聯LC組合，包括封裝引線電阻和片上電阻。這些損耗的加入和諧振附近的電路看上去就像一個并聯RLC電路，它具有的等效電阻為引線電阻和片上金屬化電阻串聯後的阻值。
對于相同的電路，從晶片邊看上去，互相連接配接的結構像一個具有峰值阻抗的并聯RLC電路；當從印制闆邊看去，就像具有最小阻抗的串聯RLC電路。
PDN從兩個角度觀察這種特殊情況，可看到串聯和并聯的RLC電路有相同的優值，隻要R被峰值引線和片上金屬化電阻串聯組合代替即可，這是等效串聯回路電阻。
對于一個小晶片，典型的值可能為：Cdie=50nF、Lpackage=0.5nH、Rleads=0.01Ω、Rmetalization=0.005Ω、Requivalent=0.015Ω。
我們預期的優值為
注意：這些電路的q因子是高的，這表示有峰值響應。我們可以使用圖2-16所示的電路對這兩種情況進行仿真。這兩個電路的阻抗曲線是不同的，即使它們由相同的元件組成。
使用前面定義的元件值，對圖2-16所示的阻抗進行仿真，結果顯示在圖2-17中。從阻抗曲線來看，我們可将優值與估計值相比較，一緻性非常好。
在測量PDN時，這個電路是重要的。阻抗曲線和測量的準确内容是如何阻抗測量與相聯系的。
2.10 瞬态響應
如果電流流過這個電路的話，那麼電路的阻抗曲線是對與其混合在一起的電壓噪聲的直接訓示［7］。當電流的頻率分量流過這個阻抗時，在這個頻率處産生的電壓與電流的振幅和阻抗有關。
注意：當進行時域分析時，我們僅僅評估穩态時不變響應。實際上我們假設每個電流的頻率分量是連續的，電壓響應是穩态響應。可是，這常常是希望的響應。有幾種情況常常适用于惡劣波，正如第9章讨論的那樣，這裡的瞬态響應揭示了不會在頻域内出現的新行為。
頻域響應是好的一階評估，能幫助我們快速地估算PDN的電壓響應。可是它不是完整的響應，特别是當電流源有複雜行為時。這就是分析瞬态響應總是很重要的原因。
雖然面對任意電流波形的複雜的阻抗曲線時，要解析計算瞬時電壓是困難的，但對與任意阻抗曲線相聯系的電壓噪聲進行仿真是容易的。圖2-18所示為SPICE電路的例子，它用于仿真瞬時電流源産生的瞬時電壓噪聲。
在這個例子中，電路模型左邊的R和L元件已加入到電壓調整子產品（VRM）的仿真中。兩個串聯的RLC電路
圖2-19前面例子中電路的阻抗曲線，已加入了VRM模型。注意：并聯諧振發生在25MHz左右
已被加入到實際的去耦電容器的仿真中。作為仿真瞬時響應的序曲，我們首先要看這個電路在頻域内的阻抗曲線如圖2-19所示。
當PRF為25MHz的頻率分量流過這個電路時，可看到大的阻抗，電路在兩端産生了大的電壓。
在時域，由PRF産生的噪聲在PRF時出現振鈴。在時域仿真中，振鈴幅度依賴于在電流波形中當為PRF時有多大的振幅存在。
電流波形的頻帶寬度揭示了最高預期的正弦波頻率和與有關電流上升時間之間的粗略關系
式中，BW是信号的頻帶寬度（GHz）；RT是波形10%～90%的上升時間（ns）。
例如，電流波形在10ns的上升時間内給出的頻帶寬度為：
對于10ns上升時間的電流階躍，預期的頻率分量高達35MHz，但是超過這個頻率後分量就很小了。如果這個階躍電流流過圖2-18所示的電路且具有25MHz的PRF，那麼我們可能看到由于高阻抗而在25MHz處産生的振鈴。
如果電流階躍的上升時間增加到30ns，那麼頻帶寬度下降到大約10MHz。在25MHz處電流分量的振幅很小，可看到預期的電壓噪聲下降。這個例子顯示在圖2-20中，圖上顯示了10ns和30ns上升時間的瞬态電流波形，産生的瞬時電壓噪聲如圖2-18所示。
注意：即使電流波形有平滑的高斯邊緣，電路兩端産生的電壓，在阻抗有峰值的PRF處仍舊顯示大的振鈴。
這個電路的PRF是25MHz，振鈴的周期是40ns，這些圖和PRF是對應的。雖然上升時間發生了改變，但振鈴頻率不變。振鈴頻率是電路固有的，與PRF有關但與電流波形無關。
在PDN中測量的振鈴電壓噪聲常常是阻抗曲線峰值的訓示。振鈴的幅度與峰的高度和振鈴頻率時電流波形内的能量有關。這就是并聯諧振在PDN設計中如此重要的原因。
振鈴幅度依賴于電流階躍在振鈴頻率時的相關能量。上升時間越長，在25MHz處的能量越少，噪聲幅度越低。
2.11 進階主題：阻抗矩陣
阻抗的基本定義是電壓與電流之比。當應用于雙端口時可普遍地來看問題，具有雙端口的歸一化電路如圖2-21所示。
不管黑匣子内的電路是什麼樣的，電路可能是單個的R、L或C，或者是25個元件連接配接成的複雜網絡，隻要連接配接到外部世界的僅是兩個端口，就是雙端口電路。
電路阻抗由它的端口特性來定義，這種情況下的端口标記為端口1。阻抗的基本定義基于出現在端口的電壓V1與進入或出來的電流I1之比：
式中，V1是端口1之間電壓；I1是進入端口1或從端口1出來的電流。
當隻有兩個端口時，電路阻抗的定義是很平常的。當有多個端口時，阻抗仍舊能定義，但是其具有更為複雜的意義，包含電路行為更多的資訊。随着端口數量的增加，電路複雜性呈指數增加。為了簡化不同阻抗的描述和更有效地處理掩蓋在這些阻抗下的資訊，采用了矩陣的形式，這是緊湊、有效地描述多端口的方法。
原理上，阻抗最初是為雙端口器件定義的，可擴充為很多個的端口。為減小随端口數量增多時增加的複雜性，矩陣形式是很重要的。
在這種形式中，每一對端子被稱為一個端口。在每一個端口的兩個端子之間定義電壓。電壓是兩個點之間的電位差。電流定義為從一個端子進入，從另外一個端子出來。
在n個端口電路中，有n個電壓和n個電流。作為電壓與電流之比的阻抗可定義為任意電壓和電流的組合。為了跟蹤每個不同的比值，矩陣可用于存儲阻抗值。矩陣中的每個元素對應于不同的比值。行是電壓被選擇的端口，列是電流被選擇的端口，以這種方法，阻抗矩陣定義為：
式中，Vj是第j個端口的電壓；Ik是流入第k個端口的電流。
這種形式适用于線性、無源、時不變系統。這意味着黑盒子内的電路元件不會改變，沒有新的連接配接，電路是固定的。在加入的正弦波信号周期内，每個矩陣元素的阻抗是常數。這就是所有無源元件互相連接配接的情況。
線性網絡要求以頻率f進入的單個正弦波僅在該正弦波頻率處産生響應，并且不産生諧波，線性疊加亦适用。這意味着任何元件的阻抗完全獨立于與任何端子相關的電壓或電流。除了一些鐵氧體之外，所有互連結構都屬于這種情況。
阻抗矩陣定義了電壓和電流連接配接的所有組合：
每個阻抗矩陣中的元素與端口上産生的電壓與通過端口的電流之比相關。
在頻域中，電壓和電流是複數，是以阻抗矩陣為複數并且通常随頻率而變化。每個阻抗矩陣元素都是複數且與頻率相關。明确地寫出有助于記住其複數性質：
用一個簡單的例子說明阻抗矩陣的功能。圖2-22表示了一個雙端口通用電路。
這個電路有兩個電壓和兩個電流，是以電壓和電流有四種組合，它們的比就是阻抗。每一個都有獨立和重要的意義。
所有阻抗矩陣元素的組合能歸類為簡單的2×2矩陣：
這個矩陣定義了每個節點電壓和進入每個節點的電流之間的關系。使用矩陣形式，每個節點的電壓和進入該節點電流的關系是：
我們寫出由這個矩陣定義的方程，它為
這些方程進一步改善了阻抗矩陣元素的定義。一個特定的阻抗矩陣元素可從其他的元素中提取出來，隻要設定所有電流為零，除了進入一個端口的電流外。例如，為了得到對角線矩陣元素，設定所有其他的電流為零，除了對角線端口。我們可計算為
這個對角線元素被稱為“自”阻抗。它們代表了沒有電流流入其他端口時，從一個端口看入的電壓和進入這個端口的電流之比。
阻抗矩陣的對角線元素是自阻抗。當所有進入其他端口的電流是0時，自阻抗與雙端阻抗是相同的。
我們提取非對角線元素，它們被稱為互阻抗、轉移阻抗或傳輸阻抗。使用同樣的方法，設定所有進入其他端口的電流為0。這個很容易實作，隻要保持開路時端口的電流為0。當I1=0，端口1的電壓變成：
從這個關系中可計算出一個非對角線元素為：
用同樣的方法可計算出第二個非對角線元素或轉移阻抗為：
術語轉移阻抗也能用于描述導體的屏蔽效果，如電纜的屏蔽和圍繞物體。在這個應用中，轉移阻抗是導體一個邊産生的電壓與另外一邊的電流之比。它是外表面到内表面能量轉移的測度。
術語傳輸阻抗與器件有關，它把電流變換成為電壓。一個簡單的電阻器能完成這個功能，傳輸阻抗是電壓與電流之比，即相當于電阻。傳輸阻抗放大器使用一個運算放大器，并把電阻器作為回報。開始時它的傳輸阻抗非常高，但是随頻率而降低，這是因為放大器的增益帶寬超過了限制。
當用于描述阻抗矩陣的非對角線元素時，轉移阻抗和傳輸阻抗也與某個區域的電流在另外區域産生的電壓有關。
阻抗矩陣中的轉移阻抗描述了進入一個端口的電流在另外端口産生電壓之間的耦合關系。如果兩個端口之間的轉移阻抗為0，一個端口的電流在另外一個端口産生的電壓為0，那麼這就不存在耦合關系。
圖2-23具有不同轉移阻抗的兩個不同的雙端口電路
另外一種極端情況，如果兩個端口耦合得很緊，它們差不多連接配接在一起，那麼流入一個端口的電流在兩個端口上産生相同的電壓。轉移阻抗将與每個端口的自阻抗相同。這些是轉移阻抗的兩個極端情況，0意味着端口之間沒有耦合，等于兩個端口的自阻抗意味着100%的耦合。
轉移阻抗的概念是微妙和易混淆的，因為我們具有阻抗的直覺。轉移阻抗并不直接連接配接兩個端口，它不是在兩個端口間使用歐姆計測量的阻抗。它可解釋為一個端口的電流和在另外一個端口産生電壓之間的關系，它是耦合的測度。
轉移阻抗不是兩個端口之間的連接配接，它不是兩個端口間使用歐姆計測量的阻抗。它可解釋為一個端口的電流和在另外一個端口産生電壓之間的關系，它是耦合的測度。
在圖2-23的頂部電路中，電阻的中心端用電線連接配接到傳回路徑。根據自阻抗的定義可知，每個端口的自阻抗就是這個電阻：
這個電路的轉移阻抗都為0。進入端口1的電流為0，端口1開路，沒有電流流過端口1中的電阻，端口1上沒有電壓降。不管電流是否流入節點2，節點1的電壓V1=0：
同樣，其他的轉移阻抗也為0:
這個電路的阻抗矩陣為：
這個矩陣描述的是端口之間的電流沒有耦合。
在圖2-23所示的底部電路中，我們看到對角線阻抗元素為：
在這個電路中，我們對轉移阻抗更感興趣。當端口1的電流為0時，端口1開路。在這種情況下，流入端口2的電流I2在電阻器C的兩端産生電壓，這個電壓又出現在端口1，轉移阻抗項為：
由此而得，這個電路的阻抗矩陣為：
轉移阻抗描述了端口之間的耦合量。轉移阻抗越大，耦合越大。極限是轉移阻抗等于自阻抗。随着RC的增加，RA和RB保持相等，轉移阻抗趨于接近自阻抗。
提示轉移阻抗描述端口之間的耦合量。轉移阻抗越大，耦合越大，直到轉移阻抗等于自阻抗。
這些例子使用電阻元件來說明阻抗矩陣，通常情況下，每個元素都很複雜且随頻率而變化。當雙端口之間的電路為複雜的黑匣子時，抽取阻抗矩陣元素隻有依靠仿真才有可能。
使用本章前面概括出的原理，我們能仿真任意電路阻抗矩陣中的每一個元素。例如，我們能容易地仿真具有公共引線電感的雙RLC電路，這個電路如圖2-24所示。可知若想進入一個端口的電流為0，則僅需這個口開路。
在左邊的電路中，電流強制進入端口1，仿真端口1和2的電壓。端口1的電壓和流入端口1的電流之比就是自阻抗Z11，端口2的電壓和流入端口1的電流之比就是轉移阻抗Z21。強制進入端口1的電流有1A的幅度，其他端口的電壓在數值上就是阻抗：
同樣對于右邊電路，當端口1設定為開路且進入電流為0時，電流強制進入端口2對端口1和2的電壓進行仿真，得到的數值就是阻抗：
用這種方法，我們可以使用任何版本的SPICE來仿真任何電路的阻抗矩陣元素。在這個例子中，兩個RLC電路有相同的L和R值，分别是5nH和0.005Ω。加在端口1的電容器C的值是1000nF，加在端口2的電容器C的值是100nF，公共引線電感是5nH。仿真的阻抗矩陣元素如圖2-25所示。
由于具有公共引線電感的RLC電路在每個電路中是串聯的，是以自阻抗是各自的。雖然每個電路有不同的電容，但每個電路的等效電感是相同的，每個端口在高頻時自阻抗的極限是相同的。
轉移阻抗是一個端口上的電壓與強制進入另外端口上的電流之比。在這個例子中，在另外端口上的電壓是由于電流流過5nH的公共引線電感而産生的。無論哪個端口的轉移阻抗都是與5nH的電感相關聯的。在仿真響應中，我們看到Z12和Z21就是5nH的電感器的阻抗。
本章給出的阻抗矩陣形式可用于所有電路。後面的章節将擴充這個概念，使其不僅用于集總參數元件，也可用于分布參數元件和由可用功率和地平面定義的波導腔。
2.12 總結
1.PDN的電壓噪聲與片上電流頻譜和PDN的阻抗曲線組合有關。
2.無論是頻域還是時域，阻抗總是為V/I。包含C或L元件的電路阻抗，在頻域有較簡單的形式，頻域内的電壓和電流都是正弦波。
3.不要混淆實際電路元件和理想電路元件，實際元件的作用是被測量而理想元件的作用是用于仿真。
4.很多複雜、實際結構的阻抗可用理想RLC電路元件的簡單組合來描述。
5.兩個最重要且需了解的電路結構是串聯RLC電路和并聯RLC電路，對實際的PDN而言，它們是強大的模型。
6.每一個RLC電路有4個重要名額：串聯或并聯諧振頻率、特性阻抗、q因子、最小或最大阻抗。評估每一個RLC電路時，它們總是首要考慮的量。
7.PDN阻抗曲線最重要的特性是由并聯諧振引起的峰值。它們與RLC電路的特性阻抗Z0和q因子有關。
8.當對瞬時電流仿真時，電路的振鈴頻率由PDN的峰值阻抗頻率決定。
9.阻抗矩陣是多端口電路阻抗概念的強大擴充。這時，每一對端子被稱為端口。
10.在阻抗矩陣中，對角線元素（稱為自阻抗）與每個端口看入的阻抗有關。非對角線元素（稱為轉移阻抗）與端口之間的耦合有關。小的轉移阻抗意味着有非常小的耦合。
參考文獻