第3章
電阻和直流電路
目标
學習完本章内容後，應具備以下能力：
●熟悉電流、電荷、電動勢、電勢差、電阻和功率等術語，并且能寫出相關的公式
●熟練運用歐姆定律、基爾霍夫電壓定律和電流定律
●為了分析電路，能夠求出電路網絡的等效電路
●掌握疊加原理及在電路分析中的應用
●熟悉節點電壓分析法和回路電流分析法，了解其用途和重要性
●用節點電壓分析法和回路電流分析法求出電路網絡中的電流、電壓
●電路各種分析方法的比較
3.1 引言
許多電路分析，以及一些電路設計，僅僅用歐姆定律就可以完成。但是，在有些情況下，還需要用到其他的分析方法，本章開始詳細地讨論電路分析。從回顧電路使用的一些基本元件開始，對其特征進行深入的分析。本章涉及多種電路模組化方法和分析方法。
3.2 電流和電荷
電流代表着電荷的流動，是以
這裡的I表示電流，機關是安培（A），Q是電荷，機關是庫侖（C），而dQ/dt表示電荷流動的速率（其機關是庫侖/秒（C/s））。通常，電流都假定為正電荷的流動。
在原子量級上看，電流表示電子在流動。每個電子都攜帶微小的負電荷，約1.6×10-19C。是以，習慣上的電流方向是電子流動方向的相反方向。當然，除非關注器件的實體工作，否則，電流到底是電子運動還是正電荷運動并不重要的。
由式（3.1）可以得到電流流動時流過的電荷數量為
如果電流是常數，則電荷的公式就很簡單，等于電流和時間的乘積。
Q=I×t
3.3 電壓源
電壓源産生電動勢（electromotive force，e.m.f.），進而在電路中産生電流。電動勢并不是一種力，而是代表着電源傳輸電荷所需要的能量。電動勢的機關是伏特，相當于兩點之間的電勢差，1V等于用1J的能量在兩點之間運送1C的電荷。
實際的電壓源，比如電池，是有内阻的，這限制了電池可以提供的電流大小。在電路分析中，經常使用理想電壓源的概念，理想電壓源是沒有内阻的。電壓源分為恒定電壓源和交流電壓源，以及受某些實體量控制的電壓源（受控電壓源）。圖3.1給出了代表不同形式的電壓源的符号。
在電路中用來表示電壓的符号有很多種。大部分北美出版的書采用的符号是用‘+’來代表電壓的極性。在英國和其他許多國家更常用的符号如圖3.1所示，即用一個箭頭表示電壓的極性。箭頭旁邊的标注表示箭頭頭部所對應的點相對于箭頭尾部所對應點之間的電壓。這種符号的好處在于其标注可以很明白地表示出正、負或者交流量。
3.4 電流源
除了理想電壓源的概念以外，理想電流源的模型也是很容易建立的。正如理想電壓源一樣，理想電流源也不是可實體實作的。但是，使用這樣一種概念上的模型會極大地簡化某些電路分析。正如理想電壓源會産生一定的電壓，與其所接負載無關一樣，理想電流源始終輸出特定值的電流。電流可以是恒定的，也可以是交流的（依賴于電流源的特性），或者受電路内的某實體量控制（受控電流源）。電流源的符号如圖3.2所示。
理想電壓源具有零輸出電阻，而理想電流源具有無窮大的輸出電阻。考慮到負載效應及無論負載如何變化，理想電流源的輸出電流都必須保持恒定，是以，理想電流源具有無窮大的輸出電阻。
3.5 電阻和歐姆定律
讀者都知道電子工程中最著名的關系式，即導體上的電壓正比于導體上的電流（歐姆定律）：
V∝I
關系式中的比例常數稱為導體的電阻（R），是以
電阻的機關是歐姆（Ω）。當一個電路兩端的電勢差為1V，而電路上的電流正好為1A時，電路電阻就為1Ω（見第1章）。
當電流流過電阻時，電阻上會産生功耗。功率的消耗方式是産生熱量。功率（P）與V、I及R的關系如下：
在電路中産生阻抗的元件稱為電阻。材料的阻抗由材料尺寸和材料的電特性決定的。可以進一步地用其電阻率ρ表示，有時候也用電導率σ表示，電導率是電阻率的倒數。圖3.3給出了一種材料電阻，其兩端有産生電接觸用的接線。如果元件是粗細均勻的，其電阻可以直接與其長度（l）成正比，與其截面積（A）成反比。在這種情況下，元件的電阻為
電阻率的機關為歐［姆］·米（Ω·m）。銅在0℃時的電阻率為1.6×10-8Ω·m，而碳在0℃時的電阻率為6500×10-8Ω·m。
由于電流流過電阻時會産生熱量，就會導緻電阻的溫度升高。大多數材料的電阻值會随着溫度的變化而變化，變化量由電阻的溫度系數α決定。純金屬具有正的溫度系數，這意味着其電阻值會随着溫度的上升而增加。許多其他的材料（包括大部分絕緣體）則具有負的溫度系數。電阻所采用的材料應該是受溫度影響最小的材料。溫度的過度升高除了改變電阻值以外，還不可避免地會損傷電阻。是以，任何元件都不應該超過其最大的額定功率工作。大尺寸元件有大的表面積，是以可以有效地散熱。是以，額定功率随着電阻的實體尺寸變大而增加（盡管還受其他因素的影響）。體積小的通用電阻可能有18W或者14W的額定功率，而大尺寸的電阻可以承受數瓦的功率。
3.6 電阻串并聯
在第1章，我們注意到電阻串聯或者并聯後會有相應的等效電阻。在繼續後面的内容之前，我們需要了解其原理。
在圖3.4a給出的電路中，電壓V加在串聯電阻R1、R2、…、RN上。每個電阻上的電壓等于電流（I）和電阻的乘積。電壓V等于每一個電阻上的電壓之和，是以
V=IR1+IR2+…+IRN=I(R1+R2+…+RN)=IRR=R1+R2+…+RN。
是以，電路的行為就如同将串聯的電阻替換為阻值等于總電阻的單個電阻一樣。
圖3.4b給出了電阻并聯的電路。每個電阻上的電壓等于電壓V，是以每個電阻上的電流等于電壓V除以各自的電阻值。總電流I等于每個電阻上的電流之和，是以：
是以，電路的行為就如同将并聯的電阻替換為單個電阻一樣，該單電阻的倒數等于每一個電阻的倒數之和。
并聯符号
電阻的并聯在電路中很常見，是以有專門的符号來表示并聯電阻的等效電阻，即将電阻名或者電阻值用符号“∥”隔開。是以，R1∥R2是R1和R2并聯以後的等效電阻。與此相似，10kΩ∥10kΩ就表示兩個10kΩ的電阻并聯（即5kΩ）。
3.7 基爾霍夫定律
電路中兩個或者多個元件相連接配接的點稱為節點，而電路上任何閉合路徑，隻要沒有經過任何一個節點兩次或者兩次以上，就稱為回路。一個回路中如果沒有其他回路就稱為網孔。圖3.5給出了定義的例子。圖中A、B、C、D、E和F是電路中的節點，而路徑ABEFA、BCDEB和ABCDEFA表示回路。可以發現前兩個回路還是網孔，最後一個回路不是網孔（因為含有更小的回路）。
3.7.1 電流定律
基爾霍夫電流定律指出，在任意時間，流入電路中任意節點電流的代數和為零。如果定義流入節點的電流為正，流出節點的電流為負，則所有電流的總和必須為零，即
ΣI=0
圖3.6對此進行了舉例說明。在圖3.6a中，每一個電流都定義為流入節點，是以各個電流之和為零。顯而易見，其中的一個或者多個電流必然為負，這樣公式才能成立（除非電流全部為零）。流入節點的電流為-I就相當于流出節點的電流I。在圖3.6b中，一些電流定義為流入節點，一些電流定義為流出節點，如公式所示。
例3.1确定右圖電路中電流I4的大小。
解：對流入節點的電流進行求和，可以得到：I1-I2-I3+I4=0
8-1-4+I4=0
I4=-3（A）是以，I4等于-3A，即電流強度為3A，實際電流方向與圖中所标箭頭方向相反。
3.7.2 電壓定律
基爾霍夫電壓定律指出，在任意時間，任意回路電壓的代數和為零，即
ΣV=0
應用電壓定律唯一的困難是，在計算中要確定電壓極性正确。一個簡單的方法是在電路圖中用箭頭代表每一個電動勢和電勢差的極性（如之前電路一樣）。沿着順時針方向在環路中繞行，任意與繞行方向相同的箭頭表示正電壓，而與繞行方向相反的箭頭表示負電壓，如圖3.7所示。
在圖3.7a中，所有電動勢和電勢差均定義為順時針方向。是以，它們的和就必然為零。需要注意的是圖中的箭頭方向僅僅是電壓定義（或者測量）的方向，并不表示實際電壓的極性。在圖3.7a中，如果E的值為正，則電壓源的上端相對于其下端的電壓為正。如果E的值為負，則電壓的極性相反。同樣，E可以用來表示變化的電壓或者交流電壓，但是其在公式中的關系仍然不變。在圖3.7b中，有些電動勢和電勢差定義為順時針方向，另一些定義為相反方向。在給出的公式中可以看出，順時針方向的量是加上的，而逆時針方向的量是減去的。
例3.2确定右圖電路中V2的大小。
解：在回路ABCDA中，沿順時針方向将所有電壓相加，可得：E-V1+V2-V3=0
12-3+V2-3=0
V2=-6（V）是以，V2等于-6V，即電勢差為6V，節點B的電勢高于節點C的電勢。如果在定義V2的方向時取相反方向，則計算結果就是+6V，同樣是電勢差為6V，節點B的電勢高于節點C的電勢。
3.8 戴維南定理和諾頓定理
用簡單的等效電路模拟實際電路的行為對電路的分析很友善。例如，可以用一個理想電壓源和一個串聯電阻來代表一個實際電壓源（比如電池）。這就是戴維南等效電路的一個執行個體。基于戴維南定理的電路結構表述如下：
從外部看，任意由電阻和電源組成的雙端口網絡都可以用一個理想電壓源V和一個電阻R串聯所代替，V是網絡的開路電壓，R是在網絡兩個輸出端測量得到的電阻，測量時電源用其内阻代替。
這樣簡單的等效電路不僅可以代表電池，還可以代表任意由電阻、電壓源和電流源組成的雙端口網絡。有一點非常重要，即僅僅是從網絡的外部看才等效。等效電路并不能表示網絡的内部特征，比如其功耗。
盡管戴維南等效電路非常有用，但是在有些情況下用電流源等效電路比用電壓源等效電路更友善。諾頓定理就是關于電流源的等效電路。基于諾頓定理的電路結構表述如下：
從外部看，任意由電阻和電源組成的雙端口網絡都可以用一個理想電流源I和一個電阻R并聯所代替，I是網絡的短路電流，R是在網絡端口測量到的電阻，測量時将電源用其内阻代替。
這兩個定理表述在圖3.8中，表明這類電路可以表示為兩種等效電路中的任意一種。用哪一種等效電路需要根據具體的應用而定。對簡單的電池模組化時，用戴維南定理會比較友善。而在後續章節中，我們會發現在考慮器件問題時，如半導體，用諾頓定理會更友善。
圖3.8中的三種結構是等效的，是以在任何情況下的輸出也應該是相同的。如果輸出端口開路，輸出必然也相同：這就是開路電壓VOC。同樣，如果将輸出端口短路，每一種電路應該産生相同的電流：短路電流ISC。由此可以推出等效電路中各變量之間的關系。
從上述定理可以很明顯地看出每一種等效電路都有相同的電阻R。如果将戴維南等效電路的輸出端短路，根據歐姆定律，電流ISC由下式求出：
與之類似，對于諾頓等效電路，同樣根據歐姆定律，開路電壓由下式确定：
整理上述公式，可以得到兩個等效電路中的電阻均為
是以，電阻由開路電壓和短路電流決定。或者，電阻也可以通過以下方法求出，也就是，将電路中的電壓源或電流源移走以後，從電路輸出端口看進去的電阻。
對于用來描述等效電路模型的元器件值，可以分析電路圖得到，也可以測量實際電路得到。下面舉例說明。
例3.3求出右圖電路的戴維南等效電路和諾頓等效電路。
解：如果輸出端不連接配接，電阻R2上就不會有電流流過，也不會有電壓降。是以，輸出電壓僅僅由電壓源以及R1和R3組成的分壓器決定。兩個電阻的阻值相等，輸出電壓就等于電壓源電壓的一半，是以VOC=30/2=15（V）如果将輸出端短路，R2實際上是和R3并聯的，是以其并聯電阻為R2∥R3＝10kΩ∥10kΩ＝5kΩ。是以，與電壓源所連接配接的總電阻為R1＋5kΩ＝15kΩ，從電源流出的電流為30V/15kΩ＝2mA。既然R2和R3并聯，并且其電阻值同樣大，則流過每個電阻的電流應該是一樣的。是以，每個電阻上的電流為2mA/2＝1mA。電阻R2上的電流也是輸出電流（本例中是短路輸出電流），是以ISC=1（mA）根據式（3.4），我們知道戴維南和諾頓等效電路中的電阻由VOC和ISC的比值決定，是以R=VOC/ISC=15/1=15（kΩ）或者，R可以通過如下方法得到：将電路的電壓源用其内阻替換，從電路輸出端往内看得到的有效電阻就是R。理想電壓源的内阻為零，是以電路中R1實際上是和R3并聯的。在輸出端觀察得到的電阻為R2＋(R1∥R3)＝10kΩ＋(10kΩ∥10kΩ)＝15kΩ，與前面得到的結果一緻。
是以，等效電路如下。
為了從實際電路求出其等效電路（不是指從電路圖得到等效電路），可以對電路特性進行測試。既然可以從開路電壓VOC和短路電流ISC求出等效電阻值，簡單的方法就是直接測量開路電壓VOC和短路電流ISC。用高内阻的電壓表在電路輸出端進行測量，如果電壓表的輸入電阻比電路的輸出電阻大很多，就可以得到可靠的開路電壓值。但是，直接測量短路電流很困難，這是因為電路短路有可能損壞電路。可以用其他代替方法，測量其他值，并用測量結果推算VOC和ISC。
例3.4一個雙端口網絡的内部電路未知，采用在輸出端加不同負載并測量其輸出電壓的方法進行研究。當輸出端所接電阻為25Ω時，輸出電壓為2V。當負載為400Ω時，輸出電壓為8V。求出該未知電路的戴維南等效電路和諾頓等效電路。
解：方法1
一種方法就是畫出輸出電流相對于輸出電壓的圖。當輸出電壓為2V時，輸出電流為2V/25Ω＝80mA；當輸出電壓為8V時，輸出電流為8V/400Ω＝20mA。由此可得右圖。
由此可以推導，當輸出電流為零時，輸出電壓為10V（即開路電壓）；當輸出電壓為零時，輸出電流為100mA（即短路電流）。根據式（3.4），有R=VOCISC=10/100=100（Ω）是以，等效電路如下。
方法2
不用圖形的方法同樣可以解決這個問題。例如，假設将電路替換為由電壓源VOC和電阻R組成的戴維南等效電路，則可以得到下面的電路。
對圖a和b運用分壓公式可得：VOC25R+25=2 和 VOC400R+400=8再得聯立方程組：25VOC=2R+50
400VOC=8R+3200可以解得VOC=10和R=100。而ISC的值可以由式（3.4）得到，和之前得到的結果相同。
3.9 疊加
當電路包含多個電源時，通常用疊加原理進行簡化。每個電壓源和電流源獨立進行計算，然後對計算值進行疊加，就可以得到多個電源作用的結果。疊加原理的準确描述如下：
在任何一個由電壓源、電流源和電阻組成的線性網絡裡，電路中每個點的電壓或電流等于電路中每個電源單獨作用時在該點産生的電壓或電流值的代數和。計算每個電源單獨作用的效果時，其餘電源均用其内阻代替。
通過下面例子可以更容易地了解疊加原理。
例3.5計算下圖電路的輸出電壓V。
解：首先考慮15V電壓源單獨作用時的情況。将其餘電壓源用其内阻代替，對于理想電壓源來說，其内阻為零（将電壓源換成短路線即可）。于是，得到了下面的電路。
在該電路中，R2和R3并聯，然後和電阻R1組成分壓器，可得：V1=15×200//50/100+200//50=15×40/(100+40)=4.29（V）然後，再來考慮20V電壓源，将15V電壓源短路，可以得到下圖：
在該電路中，R1和R3并聯得，然後和電阻R2組成分壓器，可得：V2=20×100//50/(200+100//50)=20×33.3/(200+33.3)=2.86（V）注意，R1和R3是并聯的，是以在畫圖的時候也可以将這兩個電阻并排畫在一起。
原電路的輸出就是對上述結果進行相加得到：V=V1+V2=4.29+2.86=7.15（V）
計算機仿真練習3.1
用計算機仿真的方法研究例3.5中的電路，求出電壓V的幅值，并且證明其與預期結果一緻。
電流源的有效内阻為無窮大。是以，在去除電流源的影響時，直接将電流源移去，使其開路即可。通過下面的例子對此加以說明。
例3.6計算下圖電路的輸出電流I。
解：首先考慮電壓源的作用。是以先将電流源用其内阻替換，由于理想電流源的内阻為無窮大，直接将其開路，可得到下圖電路。
是以I1=5/(10+5）=0.33（A）然後，考慮電流源的作用，将電壓源短路以後得到右圖。
其中兩個電阻實際上是并聯的，電阻值為10Ω//5Ω=3.33Ω，兩個電阻上的電壓為2A×3.33Ω=6.66V。是以，電流I2由下式給出：I2=6.665=1.33（A）原電路的輸出就是上述結果相加得到的值：I=I1+I2=0.33+1.33=1.66（A）
計算機仿真練習3.2
用計算機仿真的方法研究例3.6中的電路，求出電流I的幅值，并且證明其與預期結果一緻。
3.10 節點分析法
在3.7節中，我們可以将基爾霍夫電流定律應用于電路中的任意節點，将基爾霍夫電壓定律應用于電路中的任意回路。在實際電路分析中，往往要将這兩個定律應用于一組節點和回路。這樣就會産生一個聯立方程組，求解該方程組可以得到電路中各個節點電壓和回路電流。但是，電路越複雜，電路中的節點數和回路數就越多，分析就變得更加複雜。為了簡化分析過程，常常采用兩種系統分析法中的一種，生成方程組，這就是節點分析法和回路分析法。在本節我們讨論節點分析法，下一節讨論回路分析法。
節點分析法是一種在電路節點上運用基爾霍夫電流定律的系統分析方法，其目的在于産生一方程組。這一方法由六個步驟組成：
1） 在電路中選擇一個節點作為參考節點。參考節點的選擇是任意的，但是一般都會選擇地作為參考節點，所有的電壓都是相對于參考節點進行測量的。
2） 電路中其餘節點的電壓用V1、V2、V3等符号表示。同樣，這些節點電壓的序号是任意選擇的。
3） 如果某些節點的電壓是已知的（存在恒定電壓源），将這些節點電壓值标注在電路圖相應節點上。
4） 對未知電壓的節點運用基爾霍夫電流定律，會得到一方程組。
5） 由方程組可以解出未知的節點電壓。
6） 如果需要，由節點電壓可以計算出電路中的電流。
通過圖3.9a來說明這一方法，其是一個相對簡單的電路，沒有特别标注為地的節點，我們可以選擇低電勢點作為參考點。将其餘3個節點電壓标注為V1、V2和V3，如圖3.9b所示。顯然，與電壓源相連接配接的V1等于E，将其标注在圖上。下一步就是對所有電壓未知的節點用基爾霍夫電流定律列出方程。在本例中，隻有V2和V3電壓未知，是以隻需要考慮這兩個節點。
首先考慮V2節點。圖3.9c用IA、IB和IC标注了流入該節點的電流。運用基爾霍夫電流定律可得：
IA+IB+IC=0
這些電流可以很容易地根據電路圖進行确定。每個電流都可以根據相應電阻上的電壓求出，電壓就是兩個節點間的電勢差，即
由于需要得到的是流入電壓為V2的節點的電流，在計算中均用其他節點的電壓減去V2。對電流求和可得：
用同樣的方法，可以求出V3節點的電流公式：
這樣就得到了兩個公式，可以解出V2和V3的值。根據V2和V3，就可以解出需要的電流值。
圖3.9中的電路隻包含了一個電壓源，用節點分析法可以分析包含多個電壓源或者電流源的電路。在電壓源中，其輸出電壓是确定的，而其輸出電流是未知的。在電流源中，其輸出電流是确定的，而其兩端電壓是未知的。
例3.7計算下圖電路中的電流I1。
解：首先選擇參考節點，并且對各個節點的電壓用符号标注，标明其中的已知電壓值。
然後，對于電壓未知的節點，對流入節點的電流進行求和，可以得到：
（50－V2）/10+(V3－V2)/20+(0－V2)/15=0
和
(V2－V3)/20+(100－V2)/30+(0－V3)/25=0
解這兩個方程（留給讀者練習）可得：V2=32.34（V）
V3=40.14（V）
電流I1為
I1=V3/25=40.14/25=1.6（A）
計算機仿真練習3.3
用計算機仿真的方法研究例3.7中的電路，求出電壓V2和V3以及電流I1的值，并且證明其與預期結果一緻。
3.11 回路分析法
與節點分析法一樣，回路分析法也是一種用描述電路行為的方程組進行分析的系統分析方法。在回路分析中，基爾霍夫電壓定律會用在電路中的每一個回路中。分析步驟如下：
1） 确定電路中的回路，給每一個回路配置設定一個順時針方向的電流，分别用I1、I2、I3等符号表示。
2） 對每一個回路用基爾霍夫定律計算順時針方向的電壓之和，其值為零。這樣會生成方程組（每個回路産生一個方程）。
3） 解方程組，求出電流I1、I2、I3等。
4） 用求得的電流值 圖3.10 網孔分析法計算所需要的電壓值。
用圖3.10來說明回路分析法。圖3.10a包含兩個回路，在圖3.10b進行了标注。然後需要确定電路中各個電壓的極性。在這個階段，極性是任意給定的，隻要在計算時可以明确電壓的極性即可。注意在一個方向上的正電流會在電阻上産生另外一個方向的電壓降。是以，在圖3.10c中，如果I1是正的，則VA也是正的。
定義了電壓和電流的方向之後，就可以根據定義的方向寫方程了。可以在每一個回路中沿順時針方向對電壓求和，并且令其等于0。對于第一個回路，可得：
E－VA－VC=0
E－I1RA－(I1－I2)RC=0
隻有I1流過RA，是以VA就等于I1RA。而在電阻RC上，電流I1流過RC的方向與I2流過RC的方向相反。是以，該電阻上的電壓為(I1－I2)RC。對第二個回路采用同樣的步驟可得：
VC－VB－VD=0
(I1－I2)RC－I2RB－I2RD=0
是以得到兩個與I1和I2相關的方程。聯立方程組可以解出相應的電流，并可進一步計算出各電壓值。
跟節點分析法一樣，回路分析法也可以分析具有多個電壓源或者電流源的電路。
例3.8計算下圖電路中10Ω電阻上的電壓。
解：該電路有三個回路。設定回路電流分别為I1、I2和I3，如下圖所示。電路圖中還定義了各個電壓，為了便于解釋，并給出了各個電阻的名稱。
下一步是對每一個回路用基爾霍夫電壓定律寫方程。通常，在寫方程的時候會直接使用元件值和電流。為了有助于了解分析過程，首先用元件的符号來寫方程。依次考慮三個回路，可得：
E－VA－VC－VF－VH=0
VC－VB－VD+VE=0
VF－VE－VG－VJ=0
由此得到下面的方程組：
50－70I1－20(I1－I2)－30(I1－I3)－40I1=0
20(I1－I2)－100I2－80I2+10(I3－I2)=0
30(I1－I3)－10(I3－I2)－60I3－90I3=0
整理可得：
50－160I1+20I2+30I3=0
20I1－210I2+10I3=0
30I1+10I2－190I3=0
解該方程組可得：
I1=326（mA）
I2=34（mA）
I3=53（mA）10Ω
電阻上的電壓降可以用流過該電阻的電流與電阻相乘得到：
VE=RE(I3－I2)
=10×(0.053－0.034)
=0.19（V）
計算出的電壓值為正，就表明電壓的極性跟箭頭所示的方向一緻，即電阻左端的電勢高于右端電勢。
計算機仿真練習3.4
用計算機仿真的方法研究例3.8中的電路，求出三個電流I1、I2和I3以及電壓VE的值，并且證明其與預期結果一緻。
電流方向的定義和電壓求和方向的定義是任意的。當然，如果始終選擇常用的方向，就會最大限度地避免犯錯。這就是為什麼我們在前面的所有例子中始終指定順時針方向為正方向的原因。
3.12 電路聯立方程組的求解
我們發現用節點分析法和回路分析法都會産生一組聯立方程組，求解方程組可以得到所需的電壓和電流。當分析的是僅僅包含幾個節點和回路的簡單電路時，方程組的方程個數足夠少，可以用手工計算，例如前面的例題。但是，對于複雜的電路，手工解方程組的方法就很煩瑣。
一種更好的方法是将方程組用矩陣的形式表示，并且用矩陣代數的方法求解。例如，在例3.8中，有下面的方程組：
可将此整理成下面的形式：
160I1－20I2－30I3=50
用矩陣形式表示如下：
這個矩陣可以用克萊默法則或者其他矩陣代數方法進行求解。或者，也可以用自動化工具求解。當方程的數量較少時，可用很多科學電腦求解。當聯立方程組的方程個數很多時，将其表示為矩陣形式，就可以用如MATLAB或者Mathcad的計算機程式包求解。
3.13 方法的選擇
在本章中，我們學習了幾種分析電路的方法。存在一個問題，對一個給定的題目，究竟該選用哪一種方法來分析。遺憾的是，對選擇哪種分析方法并沒有簡單的法則。通常要根據具體的電路形式以及哪一種方法更适用來選擇。像節點分析法和回路分析法，在很多情況下都适用，但并不是在每種情況下都是最簡單的方法。對于給定情況下的方法選擇問題，可以參考“進一步學習”。
在一些給定的電路中，某種方法會比其他方法更易于使用。并且随着所做練習題數量的增加，讀者可以提高選擇最簡單方法的能力。簡單電路的分析通常是簡單明了，而複雜電路的分析可能會耗費很多時間。在這種情況下，我們通常會用基于計算機的網絡分析工具。基于計算機的網絡分析工具通常采用節點分析法，可以分析非常複雜的電路。當然，在很多情況下，本章闡述的手工分析方法已經完全夠用了。
進一步學習
考慮下圖所示的電路可以用多少種分析方法來分析。
該電路可以使用之前闡述的節點分析法和回路分析法加以分析。或者，每個電源的作用可以根據疊加原理獨立進行分析（用歐姆定律）。另外的方法是使用戴維南定理和諾頓定理簡化電路。研究這些方法并且确定哪種方法最簡單。
關鍵點
●電流是電荷的流動。
●電壓源會産生電動勢，它可以使電流在電路中流動。理想電壓源的輸出電阻為零。但是，所有實際電壓源都有内阻。
●理想電流源不管接什麼樣的負載都輸出恒定的電流。理想電流源具有無窮大的輸出電阻。
●電阻上的電流與電壓成正比（即歐姆定律）。電壓除以電流可以得到電阻值。
●多個電阻串聯的電阻值等于串聯電阻之和。
●多個電阻并聯的電阻值的倒數等于各電阻的倒數之和。
●任意時刻，電路中流入任意節點的電流和為零（基爾霍夫電流定律）。
●任意時刻，電路中任意回路的電壓和為零（基爾霍夫電壓定律）。
●由電阻和電源組成的雙端口網絡都可以用一個電壓源和一個電阻的串聯代替（戴維南定理）。
●由電阻和電源組成的雙端口網絡都可以用一個電流源和一個電阻的并聯代替（諾頓定理）。
●在包含多個電源的線性網絡中，其電壓或電流等于每個電源單獨作用時在該處産生的電壓或者電流之和（疊加原理）。
●節點電壓分析法和回路電流分析法會産生一個方程組，解方程組可以求出電路中的電壓和電流。
●對于特定的電路，多種電路分析法都可以使用。分析方法的選擇基于電路性質。
習題
3.1 寫出電流與電荷的關系式。
3.2 一個5A的電流經過10s可以傳輸多少電荷？
3.3 理想電壓源的内阻是多大？
3.4 受控電壓源的含義是什麼？
3.5 理想電流源的内阻是多大？
3.6 求出下面電路中的各電壓V，注意每個電路中電壓的極性。
3.7 習題3.6的電路中，電阻的功耗分别是多少？
3.8 估算一根截面積為1mm2，長度為1m的銅線在0℃時的電阻。
3.9 求出下面電路的電阻值。
3.10 求出并聯電阻10kΩ//10kΩ的值。
3.11 給出節點、回路和網孔的定義。
3.12 導出下面電路的戴維南等效電路和諾頓等效電路。
3.13 一個雙端口網絡采用以下方式進行分析：網絡連接配接不同的負載，并測量其輸出電壓。當輸出端連接配接一個12Ω的電阻時，輸出電壓為16V。當輸出端連接配接一個48Ω的電阻時，輸出電壓為32V。采用畫圖法求出網絡的戴維南等效電路和諾頓等效電路。
3.14 采用非圖形的方法重做習題3.13。
3.15 用疊加原理求出下面電路中的電壓V。
3.16 用節點分析法求出下面電路中的電壓V。
3.17 對習題3.16中的電路進行仿真，并據此證明題解是正确的。
3.18 用節點分析法求出下面電路中的電流I1。
3.19 對習題3.18中的電路進行仿真，并證明題解是正确的。
3.20 用節點分析法求出下面電路中的電流I1。
3.21 對習題3.20中的電路進行仿真，并證明題解是正确的。
3.22 用回路分析法求出下面電路中的電壓V。
3.23 對習題3.22中的電路進行仿真，并證明題解是正确的。
3.24 用網孔分析法求出下面電路中的電壓V。
3.25 對習題3.24中的電路進行仿真，并證明題解是正确的。
3.26 用網孔分析法求出下面電路中的電流I。
3.27 對習題3.26中的電路進行仿真，并證明題解是正确的。
3.28 用一種恰當的分析方法求出下面電路中的電壓V0。
3.29 對習題3.28中的電路進行仿真，并證明題解是正确的。