| JIC講堂本期主講嘉賓曹則賢教授
繼上期“引力波”主題之後，2017年11月18日，“JIC講堂”第二季第十七期聚焦“量子力學”，由中國科學院實體所研究員，博士生導師曹則賢教授主講“量子力學：構造，哲學及影響”這一極具熱點的實體界課題，為我們系統回顧量子力學被建立的過程，講述那些天才們的非凡理念以及那些閃光思想得以産生的邏輯背景、互相間的内在關聯和賴以表述的數學，以及它作為近代實體兩大支柱之一所産生的影響。
量子力學與相對論并稱近代實體學的兩大支柱。量子力學在20世紀是天才頭腦中的智力風暴，在21世紀則必然要化為常識。本期JIC講堂，曹則賢教授循着量子力學發展的曆史脈絡，用關鍵的人物、實體事件與數學思想構築量子力學的知識體系，引導聽衆在體會如何創造知識的愉悅中不知不覺走進量子力學的世界。
| JIC講堂第十九期現場
曹則賢教授講述的量子力學是嚴肅的，但其着眼點不止在于量子力學知識體系的介紹，更着重強調量子力學在經典實體的基礎上被建立的過程細節，讓各智識階層的讀者都能走入到量子力學的世界。
Part
1
「 為什麼要學習量子力學 」
大約120年前，實體學的發展到了這樣一個階段，産生了對一些新現象解釋的必要，進而孕育了一門新的學科叫量子力學。
量子力學在傳播過程中可能包含了太多颠覆思維的内容，因而被很多人認為是一場思維的革命，評價這種有失偏頗的說法，可借用奧地利維也納大學著名實體學家、哲學家E.馬赫（Ernst Mach）說過的一句很著名的話：“如果你在實體學裡面看到了革命，那隻是因為你知道的太少。”曹則賢教授認為，“所有的思想都有它的前驅，都有别人在此之前曾經思考過，而每一個思想的誕生，都有它賴以産生的需求與前期準備。” 量子力學從來不是什麼革命，而是經典實體學邏輯的延續。
| 曹則賢教授坐在玻爾（Niels Bohr）的辦公桌前，2011
法國著名數學家、哲學家，同樣也是對相對論做出貢獻的龐加萊（Henri Poincaré）對科學做過這樣的解釋：“人們不會因為掌握科學而幸福，但如果沒有科學，今天的人就幸福不起來了。”曹則賢教授認為，龐加萊的這句話同樣可以作用于量子力學上，“一個人懂得量子力學，那他未必是個實體學家；但如果你說你是一個實體學家，卻不懂量子力學，那就有點尴尬了。”
有一種說法認為量子力學和相對論是最難學的兩門課，是我們當代實體的兩大基礎。如果從學術價值上而言，量子力學與相對論難以評價孰輕孰重；如果從實用價值上而言，相對論幾乎沒用，而量子力學到處都有用，如燈泡、雷射、筆記本……所有這些都是來自量子力學。
那什麼是量子力學？我們都知道“子”的意思，凳子、椅子、小孩子，“子”就是小的意思。中文的“量子”一詞是經日文而來的，是對拉丁語形容詞quantum的翻譯。Quantum其實就是“多少”的意思，英文的數量quality就是來自這個詞。如Quantum of rainfall（降雨量）,Quantum of solace（舒适度）。
| 007電影之<QUANTUM OF SOLACE>，被譯為《大破量子危機》，這個譯名值得商榷。
在日常生活中，我們常會遇到事物的量接近其基本機關的情形，這種時候事物可能就要表現出量子行為了。量子即是存在的最小基本機關。就好比魚群中（Fish school），魚就是魚群組成的基本組成單元，即量子。
如果是這麼簡單的道理的話，那麼量子力學為什麼會成為一門科學呢？因為我們會以此深入。有一種觀點認為，量子力學是描述微觀世界、描述原子的一個學問，這就牽扯到兩個很重要的詞atom和integer。Atom在希臘語中是“不可切”的意思，表示原子。Integer意即整數，本意是不相連。
知道不可分的存在，不相連的數，你就能了解量子力學，你就會發現一個不可分的東西，描述它的量是不相連的，就會發生違反你直覺的故事。
例如曆史上有“二桃殺三士”的故事。曆來文獻評論“二桃殺三士”總是偏向于“借刀殺人”的了解，卻看不到這裡面的量子力學問題。
步出齊東門，遙望蕩陰裡。
裡中有三墳，累累正相似。
問是誰家冢？田疆古治子。
力能排南山，文能絕地紀。
一朝中陰謀，二桃殺三士。
誰能為此者？相國齊晏子。
——諸葛孔明《梁父吟》
晏子的計謀能成功，關鍵在于當一個桃被當作是榮譽的時候，它是不可分的（atomic），三位勇士認可了桃的不可分，勇敢地直面隻有兩個桃的局面，結果就着了人家的道兒了。
| 二桃殺三士，選自《南陽漢畫像石精粹》
量子是最小的存在單元，那麼量子力學為什麼會成為一門了不起的學問？“學問是由人創造的，那麼讓我們一起來看看，一些人遇到了什麼事情才會想到要去創造這樣一門學問。”曹則賢教授随即為我們引入了十分重要的部分——量子力學英雄譜。
2
「 量子力學英雄譜 」
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量子力學關健人物與事件
玻爾茲曼
Ludwig Boltzmann,1844-1906
1877年，玻爾茲曼（Ludwig Boltzmann）假設氣體分子的動能是一份一份的，進而得到了玻爾茲曼分布：給定溫度下氣體的分子數随動能或運動速率的分布。他是這麼做的：假設一個 n個粒子的體系，每個粒子具有（0，1，2……p）個能量機關的能量，則總能量一定的平衡态是什麼樣子？
這個問題就轉化成了在條件（1）之下，求（2）的最大值，其結果為（3），這裡的β是一個參數。
（1）
（2）
（3）
| 早期的白熾燈
1879年，愛迪生（Thomas Alva Edison）發明了電燈，人類從此進入了電燈照明的時代。白熾燈要發光就要給燈絲加熱， 那怎樣讓電燈多發光少發熱？這就需要研究發光和發熱的關系。
人們發現，越是溫度低的時候黑的東西，溫度高的時候就越亮。是以，黑體——把所有照到其上的光都吸收的物體——輻射就成了科學家們關切的問題。德語的說法是空腔輻射。
實驗實體學家測量了黑體在不同溫度下處于熱平衡時能量密度相對其中光的波長（或者頻率）的分布。
（見上圖）我們可以看到，對于每一個溫度，曲線都是單峰結構的，從零波長時的強度為零，上升到一個最大值，然後強度又随着波長的增大而減弱，直至為零。研究峰值處的波長與溫度的關系，或研究每條曲線下面的面積同溫度的關系，都可以得出Wien位移定律和Stefan-Boltzmann定律。許多實體學家嘗試着給出這些曲線的函數，但是都沒有成功。
普朗克
Max Planck，1858-1947
1900年，在德國柏林，研究熱力學的普朗克（Max Planck）教授從熵與能量的關系——一個他虛構的熵與内能的關系——出發，導出了黑腔中能量密度與溫度T以及光的頻率v之間的關系：
進一步地，普朗克假設可以把能量分成一份一份的，進而把一個體系的熱力學平衡态的問題轉化成求p個小球放到N個盒子裡共有多少種方式的數學問題，同樣得出了上述的公式。這套把戲是玻爾茲曼在1877年首次引入的。
愛因斯坦
Albert Einstein，1879-1955
1905年，愛因斯坦（Albert Einstein）利用輻射被吸收時也是一份一分地吸收的假說，成功解釋了光電效應。這為愛因斯坦赢得了1921年度諾貝爾實體獎。至此，光有能量機關一事塵埃落定！
巴爾末
Johann Balmer,1825 -1898
1885年，瑞士數學教師巴爾末（Johann Balmer）給出了統一表達氫原子可觀察的四條譜線波長的公式， 後來被總結為經驗公式
其中λ是譜線的波長，B=3.6546×10-7m，是一個常數。由于巴爾末公式的發現，光譜成因的神秘大門被打開了，人們研究原子内部結構，又有了一個新的依據。氫原子發光光譜的普适公式為
玻爾
Niels Bohr, 1885-1962
鑒于此，1913年，玻爾（Niels Bohr）成功地引入了量子躍遷的概念，把發光譜線的問題轉化成了原子中電子能級的問題，進而提出了氫原子的模型，首次給出了氫原子中電子軌道的量子化條件。
玻爾的原子發光模型給出了氫原子譜線的位置，即譜線的頻率或波長。
| 譜線的特征：位置，亮度，寬度，精細結構，簡并度
1925年，海森堡（Werner Heisenberg）試圖回答譜線的強度問題，建立了矩陣力學。
海森堡
Werner Heisenberg, 1901－1976
海森堡認為，既然發光涉及兩個狀态，可能引起它的電場振動就應該由兩個狀态加以标記，其傅裡葉分析中的分量應該隻有一個頻率，即對應兩個狀态能量差的頻率。這樣，這個振動随時間的變化，海森堡猜測應該為
的形式。
随後，海森堡把他的這套理論用到諧振子問題上，最終發現無法解釋譜線的強度，于是乎，海森堡把他的結果寫了下來，交給了指導老師波昂（Max Born）。
波昂
Max Born, 1882-1970
問題擺到了玻恩的桌上，學養深厚的玻恩馬上認識到這個公式涉及的是矩陣的乘法。順着海森堡的思路，玻恩發現諧振子問題給出的矩陣 Xnm 和 Pnm ，滿足關系
或者記為
至此，一個把人類的實體學知識提高一個層次的公式出現了。海森堡的半截文章經過玻恩的完善後順利發表，不久，玻恩和海森堡合作發表了一篇文章，他們倆加上玻恩的助手約當(Pascual Jordan)也合作發表了一篇文章。這三篇文章構成了量子力學的第一種形式——矩陣力學。
約當
Ernst Pascual Jordan, 1902 – 1980
值得一提的是，這一年，天才的約當才23歲。他從關系式
出發計算 xpn - pnx，所得到的關系
即動量相當于對坐标的微分，是後來量子力學應用的前提。
光與電子是量子力學初期舞台上的兩個主角。在人類有意識之時就知道光的存在。到了20世紀初，由于玻爾茲曼、普朗克、愛因斯坦等人的工作，人們認識到光不僅其能量具有最小機關hv，動量具有最小機關hv/c，甚至其本身作為存在也有基本的機關。
1926年，化學家劉易斯創造了一個新詞，光子（photon），來強調光是粒子（particle）的特性。與此相對，自18世紀初就不斷有證據指向電子這種粒子的存在，其身份的正式确立要等到1896年。“既然原來被當作波的光既是波也是粒子，那麼電子呢？它也是波嗎？”曹教授的提問引出了下一位重要的實體學家。
路易·德·布羅意
Luis De Broglie, 1892-1987
1924年，法國的貴族青年路易·德·布羅意（Louis de Broglie）在博士論文中大膽建議電子也是波，這就是物質波的概念。參照普朗克的光子能量表達式E=hv和愛因斯坦相對論性粒子的能量表達式E=pc，德布羅意指出對于能量為E，動量為p的電子，其對應的物質波的波長和頻率分别為
德布羅意的物質波概念，給了玻爾的量子化條件式一個直覺的圖像：電子軌道的長度隻能是其物質波波長的整數倍。
物質波的概念不是很容易令人信服。不過愛因斯坦對這個概念很感興趣。1927年，美國貝爾實驗室的戴維森（Clinton Davission）和革未（Lester Halbert Germer）讓電子通過了因為碰巧熔化進而得到的結晶品質還算好的鎳晶體，發現透過去的電子形成了衍射花樣——如同X射線穿過晶體時得到的那種衍射花樣。電子衍射實驗證明了電子的波動性。如今，利用電子波動性的電子衍射技術是分析晶體（包括準晶）的正常技術。
戴維森和革未
繼續剛才講到的德布羅意，他認為所有物質都有波動的想法在當時十分标新立異。他的這篇論文受到了答辯委員會郎之萬（Paul Langevin）教授的賞識，郎之萬教授随即把這篇論文寄給了愛因斯坦和德拜 (Peter Debye)各一份。
愛因斯坦對德布羅意的想法給予了很高的評價。而德拜在1925年底的某天，把德布羅意的論文交給了薛定谔（Erwin Schrödinger），說道：“如果要當成波處理的話，總該有個波動方程吧。”
薛定谔
Erwin Schrödinger，1887-1961
幾周後，即1926年新年後，薛定谔在研讨會上興奮地宣稱：“我的同僚德拜建議應該有個波動方程，嗯，我找到了一個！”薛定谔找到的方程即是
如今被稱為薛定谔方程。薛定谔方程是量子力學的标志，是現代量子理論的基礎；是實體學最美的方程之一，一個所有學實體的人都要了解的方程。
此外，薛定谔把還算粗糙的波動方程之定态形式應用于氫原子問題，竟然也得到了玻爾和索末菲等人此前得到的三個量子數（n,ℓ,m）。
| 維格納（Eugene Wigner, 1902 – 1995）（圖左）和外爾（Hermann Weyl，1885－1955）
1922-1925年，維格納 (Eugene Wigner) 在其博士論文中首次提到分子激發态有能量展寬Δε, 它同平均壽命Δt 通過關系式Δε. Δt ~h，相聯系，而海森堡提出Δx. Δp ~h是在1927年。維格納還和外爾（Hermann Weyl）一起把群論引入了量子力學。有了群論的量子力學才能了解光譜的各種特征。
到了1926年，人們有了兩套不同的理論體系來處理量子現象：海森堡的矩陣力學和薛定谔的波動力學。
這兩者的數學看似不一樣，其賴以出現的出發點和構造方法也不同，但感覺上它們似乎又是等價的。薛定谔自己先注意到了這個問題，他在1926年5月證明了波動力學被包含在矩陣力學中，任何算符在一個完備正交系的空間中都可以被表示為一個矩陣。但是，他無法證明矩陣力學意義下的矩陣一定對應一個波動力學的算符。
狄拉克
P.A.M. Dirac, 1902-1984
1926年秋，狄拉克（P.A.M Dirac）構造了一般線性變換的理論，給出希爾伯特空間的幺正變換。狄拉克第一個指出，矩陣隐含的本征矢量實際上對應波動力學裡的本征态。是以，矩陣力學和波動力學明面上的不一緻，即矩陣力學中隻有矩陣而波動力學裡有态函數和算符兩類對象，被消除了。
1928年，狄拉克構造了滿足案因斯坦狹義相對論的量子力學方程，即狄拉克方程。利用這個方程研究氫原子能級分布時，考慮有自旋角動量的電子作高速運動時的相對論性效應，給出了氫原子能級的精細結構，與實驗符合得很好。
從這個方程還可自動導出電子的自旋量子數應為1/2。電子的這些性質都是過去從分析實驗結果中總結出來的，并沒有理論的來源和解釋。狄拉克方程卻自動地導出這些重要基本性質，指出自旋是相對論性的，是理論上的重大進展。更重要的是，狄拉克方程導緻了反粒子概念的提出。
至此，我們有了一個大緻完備的描述原子中電子行為的量子力學。簡單地說，電子行為由波函數表述，波函數是個複（值）函數，它的模平方代表電子在空間某處被找到的幾率密度。波函數由四個量子數（n,ℓ,m,ms）表征。這樣的量子力學要顯示它解釋世界的威力了。
在量子力學中有個關鍵的原理叫泡利不相容原理（Pauli exclusion），謂不可能有兩個粒子占據同一個量子态，或者說一個量子态上隻能容納一個粒子。這可類比于自行車賽事裡的自行車和運動員之間的關系：一輛自行車上隻能容許一個選手。在這裡不得不提一下天才實體學家泡利（Wolfgang Pauli）。
泡利
Wolfgang Pauli, 1900-1958
1924年泡利推斷電子還存在一個二值的自由度，并提出了‘不相容原理’。泡利矩陣是描寫自旋角動量的數學工具。
1930年，泡利預言了中微子的存在。泡利的主要成就是在量子力學、量子場論和基本粒子理論方面，特别是泡利不相容原理的建立和β衰變中的中微子假說等，對理論實體學的發展做出了重要貢獻。
具有類似電子行為的粒子有個統一的标簽：費米子（Fermion），與之相對應的是玻色子（Boson），即自旋為整數的粒子，包括光子、聲子（固體中原子集體振蕩的量子）等。
玻色子可以多個粒子占據同一個狀态，類似雜技團裡的自行車和演員之間的關系。
在系統溫度足夠低的條件下，所有的玻色子可能都擠到能量最低的狀态上，此時玻色子發生了玻色-愛因斯坦凝聚。玻色-愛因斯坦凝聚體裡所有的粒子處于同一個量子态，是展現量子力學奇異現象的新舞台。
玻色 (Satyendra Nath Bose)是印度實體學家， 他在假設光子的能級具有子能級的前提下于1924年導出了黑體輻射公式。
玻色
Satyendra Nath Bose, 1894 –1974
1926年，馮·諾依曼（John von Neumann）指出，算符的本征态張成一個矢量空間并名之為希爾伯特空間，量子态可以看成希爾伯特空間中的一個矢量。
進一步地，馮·諾依曼認為測量一個力學量得到的值應該是該力學量的某個正本值；測量後的狀态坍縮到對應的本征态上。1932年撰寫《量子力學的數學基礎》是量子力學測量理論的基礎，雖然未必正确。
馮·諾依曼
John von Neumann, 1903-1957
“馬上就要接近尾聲了，但是還有一個偉大的人物不得不提，他就是索末菲（Arnold Sommerfeld）。”曹則賢教授說道。
索末菲是舊量子論的創始者之一，提出了氫原子中電子行為的第一和第三量子數。他為理論實體的時代培養了大批的學生，是學生獲得諾貝爾獎最多的導師。
索末菲
Arnold Sommerfeld, (1868 – 1951)
「 尾聲 」
“量子力學是一夥兒天才們的頭腦風暴的産出。這些天才們之是以能有這樣偉大的成就，隻不過是因為他們确實是天才，也确實很早就學了數學與實體，也恰巧在那個時空點上。”面對那些實體天才們為量子力學作出的煌煌業績，曹則賢教授對當下的實體學習與研究依舊充滿信心。“科學需要思想的自由，還需要思想激情碰撞的機會。”
曹則賢教授希望，能有更多的職業教師和科學家能夠思考“教師”這兩個字所意味的責任，努力滋養孩子們的好奇心，在老師的指導下，成長為明日的科學家——至少它們會成為用科學武裝了頭腦的未來公民。
— 完 —
原文釋出時間為：2017-03-17
本文作者：建投書局
本文來源：
九州量子，如需轉載請聯系原作者。