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這篇文章讨論了自回歸綜合移動平均模型 (ARIMA) 和自回歸條件異方差模型 (GARCH) 及其在股票市場預測中的應用。
介紹
一個 ARMA (AutoRegressive-Moving Average) 有兩部分，AR(p)部分和MA(q)部分，表示如下
其中 L 是滞後算子，ϵi 是白噪聲。它可以通過 Box-Jenkins method. 我們可能會使用 PACF 繪制識别 AR 滞後階數 p，和 ACF 圖以識别 MA 滞後階數 q；或使用資訊，例如 AIC 和 BIC 做模型選擇。
ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average) 是 ARMA 的拓展，通過為非平穩過程添加階數為 d 的積分部分。
ARIMA是針對價格水準或收益率的，而GARCH（廣義自回歸條件異方差）則試圖對波動率或收益率平方的聚類進行模組化。它将ARMA項擴充到方差方面。
作為随機波動率模型的離散版本，GARCH也能捕捉到股票市場的厚尾效應。是以，将ARIMA和GARCH結合起來，預計在模拟股票價格時比單獨一個模型更适合。在這篇文章中，我們将把它們應用于标普500指數的價格。
ARIMA
首先，衆所周知，股票價格不是平穩的；而收益可能是平穩的。ADF機關根檢驗結果。
- # 價格是已知的非平穩的；收益是平穩的
- import adfuller
- rsut = aduler(close)
- prnt(f'ADF Satitic: {reslt[]}, pale: {rslt1]}') # null 假設：機關根存在；不能拒絕 null。
- relt = adfler(histet)
- prnt(f'ADF Statistic: {reut[0]}, pvaue: {rslt[1]}') # 拒絕機關根的空假設 ==> 平穩
收益序列的 ADF p 值為 0，拒絕機關根的原假設。是以，我們在 ARIMA(p, d, q) 中接受 d=1，下一步是識别滞後 p 和 q。ACF 和 PACF 圖表明滞後最多 35 個工作日。如果我們按照圖表進行拟合，将有太多參數無法拟合。一種解決方案是使用每周或每月圖表。在這裡，我們将最大滞後時間限制為 5 天，并使用 AIC 選擇最佳模型。
- for p in rage(6):
- for q in rage(6):
- ry:
- mft = fit(disp=0)
- ic[(p, q)] = fiaic
- except:
- pass
下一步是拟合模型并通過殘差統計評估模型拟合。殘差仍然顯示出一些自相關，并且沒有通過正态性檢驗。由于滞後階數限制，這在某種程度上是預料之中的。
盡管如此，讓我們繼續最後一步并使用模型進行預測。下面比較了對測試集的收益率預測和實際收益率。
收益率預測以 0% 為中心，置信區間在 ±2% 之間。結果并不是特别令人印象深刻。畢竟，市場正在經曆一個動蕩的階段，在預測時間視窗内甚至下跌了 6%。
GARCH
讓我們看看加入GARCH效果是否會産生更好的結果。模組化過程類似于ARIMA：首先識别滞後階數；然後拟合模型并評估殘差，最後如果模型令人滿意，就用它來預測。
我們将 AR 滞後和 GARCH 滞後都限制為小于 5。結果最優階為 (4,2,2)。
- for l in rage(5):
- for p in rage(1, 5):
- for q in rage(1, 5):
- try:
- mdl = arch(is_et, man='ARX', vol='Garch', p=p, o=0, q=q, dist='Nomal')
- fit(last_obs=spldat)
- dc_ic[(l, p, q)] =aic
- except:
- pass
接下來讓我們根據選擇的最佳參數來拟合模型，如下所示。證明了均值模型是AR(4)，方差模型是GARCH(2, 2)。一些系數在統計上不顯着。
最後但并非最不重要的是，預測區間從±4%下降到±3%，然後又反彈到±5%，這清楚地表明了模型的波動性叢集。請注意，這裡是單步滾動預測，應該比靜态的多期預測要好。
趨勢平穩和差分平穩
趨勢平穩，即确定性趨勢，具有确定性均值趨勢。相反，差分平穩具有随機趨勢。前者可以用OLS估計，後者需要先求差分。
考慮一個簡單的過程
如果 φ<1，則過程是趨勢平穩的；也就是說，如果我們減去趨勢 at，則過程變得平穩。若φ=1，則差分平穩。将第二個方程代入第一個方程很容易看出随機性，并将方程改寫為
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