資料庫索引B+樹

面試時無意間被問到了這個問題：資料庫索引的存儲結構一般是B+樹，為什麼不适用紅黑樹等普通的二叉樹？

經過和同學的讨論，得到如下幾個情況：

　　1. 資料庫檔案是放在硬碟上，每次讀取資料庫都需要在磁盤上搜尋，是以需要考慮磁盤尋道時間，我們都知道磁盤尋道開銷是非常大的。同時，索引一般也是非常大的，記憶體不能放下，是以也會放在磁盤上。（另外，還與局部性原理與磁盤預讀有關系）。

　　2. B+樹所有的關鍵字都出現在葉子節點的連結清單（稠密索引）中，且連結清單中的關鍵字是有序的。非葉子節點隻起索引作用（稀疏索引）。

　　　　葉子節點相當于存儲了關鍵字的資料層。

是以，我們得出結論，由于資料存數在磁盤上，是以應該盡量減少磁盤I/O次數。恰好，B+樹的葉子節點存儲了關鍵字的資料層（我們可以稱為主鍵），是以我們可以直接通過主鍵來查詢資料。若是使用二叉樹，二叉樹索引的隻是主鍵的位置，我還需要根據二叉樹索引主鍵的位置，進行一次I/O操作來擷取主鍵。

沒有研究過資料庫，隻是和同學讨論之後做了一個總結，錯誤在所難免。

下面，在學習一下B樹、B-樹、B+樹、B*樹

B樹

       二叉搜尋樹：

       1.所有非葉子結點至多擁有兩個兒子（Left和Right）；

       2.所有結點存儲一個關鍵字；

       3.非葉子結點的左指針指向小于其關鍵字的子樹，右指針指向大于其關鍵字的子樹；

       如：

       B樹的搜尋，從根結點開始，如果查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等，那麼就命中；否則，如果查詢關鍵字比結點關鍵字小，就進入左兒子；如果比結點關鍵字大，就進入右兒子；如果左兒子或右兒子的指針為空，則報告找不到相應的關鍵字；

　　如果B樹的所有非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差不多（平衡），那麼B樹的搜尋性能逼近二分查找；但它比連續記憶體空間的二分查找的優點是，改變B樹結構（插入與删除結點）不需要移動大段的記憶體資料，甚至通常是常數開銷；

　　但B樹在經過多次插入與删除後，有可能導緻不同的結構：

　　右邊也是一個B樹，但它的搜尋性能已經是線性的了；同樣的關鍵字集合有可能導緻不同的樹結構索引；是以，使用B樹還要考慮盡可能讓B樹保持左圖的結構，和避免右圖的結構，也就是所謂的“平衡”問題；      

　　實際使用的B樹都是在原B樹的基礎上加上平衡算法，即“平衡二叉樹”；如何保持B樹結點分布均勻的平衡算法是平衡二叉樹的關鍵；平衡算法是一種在B樹中插入和删除結點的政策；

B-樹

　　  一種多路搜尋樹（并不是二叉的）：

       1.定義任意非葉子結點最多隻有M個兒子；且M>2；

       2.根結點的兒子數為[2, M]；

       3.除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[M/2, M]；

       4.每個結點存放至少M/2-1（取上整）和至多M-1個關鍵字；（至少2個關鍵字）

       5.非葉子結點的關鍵字個數=指向兒子的指針個數-1；

       6.非葉子結點的關鍵字：K[1], K[2], …, K[M-1]；且K[i] < K[i+1]；

       7.非葉子結點的指針：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向關鍵字小于K[1]的子樹，P[M]指向關鍵字大于K[M-1]的子樹，其它P[i]指向關鍵字屬于(K[i-1], K[i])的子樹；

       8.所有葉子結點位于同一層；

       如：（M=3）

       B-樹的搜尋，從根結點開始，對結點内的關鍵字（有序）序列進行二分查找，如果命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指針為空，或已經是葉子結點；

B-樹的特性：

       1.關鍵字集合分布在整顆樹中；

       2.任何一個關鍵字出現且隻出現在一個結點中；

       3.搜尋有可能在非葉子結點結束；

       4.其搜尋性能等價于在關鍵字全集内做一次二分查找；

       5.自動層次控制；

由于限制了除根結點以外的非葉子結點，至少含有M/2個兒子，確定了結點的至少使用率，其最底搜尋性能為：

       其中，M為設定的非葉子結點最多子樹個數，N為關鍵字總數；

       是以B-樹的性能總是等價于二分查找（與M值無關），也就沒有B樹平衡的問題；

       由于M/2的限制，在插入結點時，如果結點已滿，需要将結點分裂為兩個各占M/2的結點；删除結點時，需将兩個不足M/2的兄弟結點合并；

B+樹

　　  B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜尋樹：

       1.其定義基本與B-樹同，除了：

       2.非葉子結點的子樹指針與關鍵字個數相同；

       3.非葉子結點的子樹指針P[i]，指向關鍵字值屬于[K[i], K[i+1])的子樹（B-樹是開區間）；

       5.為所有葉子結點增加一個鍊指針；

       6.所有關鍵字都在葉子結點出現；

   B+的搜尋與B-樹也基本相同，差別是B+樹隻有達到葉子結點才命中（B-樹可以在非葉子結點命中），其性能也等價于在關鍵字全集做一次二分查找；

       B+的特性：

       1.所有關鍵字都出現在葉子結點的連結清單中（稠密索引），且連結清單中的關鍵字恰好是有序的；

       2.不可能在非葉子結點命中；

       3.非葉子結點相當于是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當于是存儲（關鍵字）資料的資料層；

       4.更适合檔案索引系統；

B*樹

B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針；

   B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3（代替B+樹的1/2）；

       B+樹的分裂：當一個結點滿時，配置設定一個新的結點，并将原結點中1/2的資料複制到新結點，最後在父結點中增加新結點的指針；B+樹的分裂隻影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，是以它不需要指向兄弟的指針；

       B*樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那麼将一部分資料移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，并各複制1/3的資料到新結點，最後在父結點增加新結點的指針；

       是以，B*樹配置設定新結點的機率比B+樹要低，空間使用率更高；

 轉自:http://blog.csdn.net/manesking/archive/2007/02/09/1505979.aspx

小結

       B樹：二叉樹，每個結點隻存儲一個關鍵字，等于則命中，小于走左結點，大于走右結點；

       B-樹：多路搜尋樹，每個結點存儲M/2到M個關鍵字，非葉子結點存儲指向關鍵字範圍的子結點；

       所有關鍵字在整顆樹中出現，且隻出現一次，非葉子結點可以命中；

       B+樹：在B-樹基礎上，為葉子結點增加連結清單指針，所有關鍵字都在葉子結點中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引；B+樹總是到葉子結點才命中；

       B*樹：在B+樹基礎上，為非葉子結點也增加連結清單指針，将結點的最低使用率從1/2提高到2/3；