一、什麼是pagerank
PageRank的Page可是認為是網頁，表示網頁排名，也可以認為是Larry Page(google 産品經理)，因為他是這個算法的發明者之一，還是google CEO（^_^）。PageRank算法計算每一個網頁的PageRank值，然後根據這個值的大小對網頁的重要性進行排序。它的思想是模拟一個悠閑的上網者，上網者首先随機選擇一個網頁打開，然後在這個網頁上呆了幾分鐘後，跳轉到該網頁所指向的連結，這樣無所事事、漫無目的地在網頁上跳來跳去，PageRank就是估計這個悠閑的上網者分布在各個網頁上的機率。
二、最簡單pagerank模型
網際網路中的網頁可以看出是一個有向圖，其中網頁是結點，如果網頁A有連結到網頁B，則存在一條有向邊A->B，下面是一個簡單的示例：
這個例子中隻有四個網頁，如果目前在A網頁，那麼悠閑的上網者将會各以1/3的機率跳轉到B、C、D，這裡的3表示A有3條對外連結，如果一個網頁有k條對外連結，那麼跳轉任意一個對外連結上的機率是1/k，同理D到B、C的機率各為1/2，而B到C的機率為0。一般用轉移矩陣表示上網者的跳轉機率，如果用n表示網頁的數目，則轉移矩陣M是一個n*n的方陣；如果網頁j有k個對外連結，那麼對每一個對外連結指向的網頁i，有M[i][j]=1/k，而其他網頁的M[i][j]=0；上面示例圖對應的轉移矩陣如下：
初試時，假設上網者在每一個網頁的機率都是相等的，即1/n，于是初試的機率分布就是一個所有值都為1/n的n維列向量V0，用V0去右乘轉移矩陣M，就得到了第一步之後上網者的機率分布向量MV0,（nXn）*(nX1)依然得到一個nX1的矩陣。下面是V1的計算過程：
注意矩陣M中M[i][j]不為0表示用一個連結從j指向i，M的第一行乘以V0，表示累加所有網頁到網頁A的機率即得到9/24。得到了V1後，再用V1去右乘M得到V2，一直下去，最終V會收斂，即Vn=MV(n-1)，上面的圖示例，不斷的疊代，最終V=[3/9,2/9,2/9,2/9]‘：
三、終止點問題
上述上網者的行為是一個馬爾科夫過程的執行個體，要滿足收斂性，需要具備一個條件：
圖是強連通的，即從任意網頁可以到達其他任意網頁：
網際網路上的網頁不滿足強連通的特性，因為有一些網頁不指向任何網頁，如果按照上面的計算，上網者到達這樣的網頁後便走投無路、四顧茫然，導緻前面累計得到的轉移機率被清零，這樣下去，最終的得到的機率分布向量所有元素幾乎都為0。假設我們把上面圖中C到A的連結丢掉，C變成了一個終止點，得到下面這個圖：
對應的轉移矩陣為：
連續疊代下去，最終所有元素都為0：
四、陷阱問題
另外一個問題就是陷阱問題，即有些網頁不存在指向其他網頁的連結，但存在指向自己的連結。比如下面這個圖：
上網者跑到C網頁後，就像跳進了陷阱，陷入了漩渦，再也不能從C中出來，将最終導緻機率分布值全部轉移到C上來，這使得其他網頁的機率分布值為0，進而整個網頁排名就失去了意義。如果按照上面圖對應的轉移矩陣為：
不斷的疊代下去，就變成了這樣：
五、解決終止點問題和陷阱問題
上面過程，我們忽略了一個問題，那就是上網者是一個悠閑的上網者，而不是一個愚蠢的上網者，我們的上網者是聰明而悠閑，他悠閑，漫無目的，總是随機的選擇網頁，他聰明，在走到一個終結網頁或者一個陷阱網頁（比如兩個示例中的C），不會傻傻的幹着急，他會在浏覽器的位址随機輸入一個位址，當然這個位址可能又是原來的網頁，但這裡給了他一個逃離的機會，讓他離開這萬丈深淵。模拟聰明而又悠閑的上網者，對算法進行改進，每一步，上網者可能都不想看目前網頁了，不看目前網頁也就不會點選上面的連接配接，而上悄悄地在位址欄輸入另外一個位址，而在位址欄輸入而跳轉到各個網頁的機率是1/n。假設上網者每一步檢視目前網頁的機率為a，那麼他從浏覽器位址欄跳轉的機率為(1-a)，于是原來的疊代公式轉化為：
現在我們來計算帶陷阱的網頁圖的機率分布：
重複疊代下去，得到：
六、用Python實作Page Rank算法