輾轉相除法

2018-03-11 17:39:22

一、輾轉相除法

在數學中，輾轉相除法，又稱歐幾裡得算法（英語：Euclidean algorithm），是求最大公約數的算法。

證明：

記gcd(a, b) = d

r = a - bk，r 是b對a的餘數，由于a是d的倍數，b是d的倍數，k是整數，那麼r必是d的倍數。

是以gcd(a, b) == gcd(b, a % b)

private int gcd(int x, int y) {
        return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
    }
      

二、擴充歐幾裡得 / 貝祖定理

定理：等式 ax + by = c (其中a，b，c均是整數）存在整數解的充要條件是c % gcd(a, b) == 0，也就是說c是a，b最大公約數的倍數。

輾轉相除的過程如下

a / b = s1 ... r1

b / r1 = s2 ... r2

r1 / r2 = s3 ... r3

...

rn - 1 / rn = sn + 1 ... rn + 1

rn / rn + 1 = sn + 2 ... d

現在開始反代，

d = rn - rn + 1 * sn +2

此時，d是可以通過rn，rn + 1組合得到。

将rn + 1消掉

d = rn - (rn - 1 - rn  * sn + 1) 

此時，d是可以通過rn - 1，rn 組合得到。

同理消除，最後d可以通過a，b組合得到。

三、Water and Jug Problem

問題描述：

有兩個容量分别為 x升 和 y升 的水壺以及無限多的水。請判斷能否通過使用這兩個水壺，進而可以得到恰好 z升 的水？

如果可以，最後請用以上水壺中的一或兩個來盛放取得的 z升 水。

你允許：

裝滿任意一個水壺

清空任意一個水壺

從一個水壺向另外一個水壺倒水，直到裝滿或者倒空

示例 1: (From the famous "Die Hard" example)

輸入: x = 3, y = 5, z = 4

輸出: True

示例 2:

輸入: x = 2, y = 6, z = 5

輸出: False

問題求解：

如果單純的去思考兩個杯子之間的倒來倒去，那麼問題就會變得非常複雜。有一種簡化思路是，考慮有一個大的杯子，而x，y隻是向大杯子中添加或者取出水，如果最終大杯子中數目等于給定的數，那麼傳回true。

public boolean canMeasureWater(int x, int y, int z) {
        if (x + y < z) return false;
        if (x == z || y == z || x + y == z) return true;
        return z % gcd(x, y) == 0;
    }
    
    private int gcd(int x, int y) {
        return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
    }