摘要Abstract：本文簡要介紹了幾何造型中的邊界表示法（BRep），并結合程式說明OpenCascade中的邊界表示的具體實作，即拓樸與幾何的聯系。對具有幾何資訊的拓樸結構頂點（vertex）、邊（edge）、面（face）進行了詳細說明。本文僅對面（Face）進行說明。 關鍵字Key Words：OpenCascade、BRep、Topology、Geometry、Face
Topology and Geometry in OpenCascade-Face
摘要Abstract：本文簡要介紹了幾何造型中的邊界表示法（BRep），并結合程式說明OpenCascade中的邊界表示的具體實作，即拓樸與幾何的聯系。對具有幾何資訊的拓樸結構頂點（vertex）、邊（edge）、面（face）進行了詳細說明。本文僅對面（Face）進行說明。
關鍵字Key Words：OpenCascade、BRep、Topology、Geometry、Face
面（Face）由一個外環和若幹個内環來表示，内環完全在外環之内。根據環（Wire）的定義，在面上沿環的方向前進，左側總在面内，右側總在面外。面有方向性，一般用其外法矢方向作為該面的正向。若一個面的法矢向外，稱為正向面；反之，稱為反向面。面的形狀（surface）由面的幾何資訊來表示，可以是平面或曲面，平面可用平面方程來描述，曲面可以用控制多邊形或型值點來描述（NURBS曲面），也可用曲面方程（隐式、顯式或參數形式）來描述。對于參數曲面，通常在其二維參數域上定義環，這樣就可以由一些二維的有向邊來表示環，集合運算中對面的分割也可在二維參數域上進行。
OpenCascade中的面結構如下圖所示：
Figure 1.1 OpenCascade Face
根據其類圖可知，面除了其參數曲面mySurface外，還包含顯示曲面的剖分（由三角形組成）。當面在着色顯示模式下時會計算出面的三角形。可視化的算法是由BRepMesh::Mesh()來為每個面三角剖分後用來顯示。
面（Face）是用來描述三維實體邊界的拓樸實體。面是由底層的曲面及一個或多個環（Wire）來描述。例如，一個圓柱體包含三個面：底面、頂面和側面。每個面都是無限的（無界的）（Geom_Plane和Geom_CylindricalSurface），通過邊界來限定無限的面得到面。即用位于Geom_Circle上的邊形成的環，限定出底面和頂面。側面包含四條邊：其中兩條邊與頂面和底面其享，剩下的兩條邊是縫合邊（seam edge），參看之前的讨論。限定側面的環包含縫合邊兩次，兩個縫合邊具有不同的朝向。
讓我們簡要回顧一下什麼是曲面（surface）。如果你在高中時學過數學分析（mathematical analysis），那麼你可能對這個概念已經熟記于心。如果沒學過，那麼可能需要讀些文章來自學。在wikipedia上有關于參數曲面的簡單例子。
曲面将二維參數空間{u, v}映射到三維空間。如下圖所示：
Figure 2.1 Map parameter space{u, v} into 3D space
參數區間可以有界，也可以是無界的，也可以隻在一個方向上有界。如平面（Plane）的參數空間是無界的；NURBS是有界的；圓柱面（Cylindrical Surface）在U方向上有界（U∈[0，2π]），在V方向上是無界的。
Geom_Surface::Value()傳回一個對應于參數空間中的參數（U，V）的空間點（X，Y，Z）。例如：地球上的任意一點都由緯度（V）和經度（U）表示，但是在世界坐标系中可以看作三維點（假如地球的中心定義為原點）。這個函數是純虛函數，所有派生自Geom_Surface的類都有對這個函數的實作，使計算各種曲面上對應參數的空間點的方式統一。
讓我們回想一下，邊必須具有三維曲線（3D Curve）和曲面空間中的參數曲線（pcurve）。而OpenCascade要求面的邊界（環wire）在三維和二維空間中必須是閉合的。是以，圓柱的側面是采用前面我們讨論的那樣來描述的。
面的朝向表示面的法向與曲面法向之間的關系（Face orientation shows how face normal is aligned with its surface normal）。若面的朝向是TopAbs_FORWARD（向前），則面的法向與曲面的法向一緻；若面的朝向是TopAbs_REVERSED（反向），則面的法向與曲面的法向相反。面的法向表示材質的位置，材料位于面的背面。在正确描述的實體中，所有面的法向都是向外的，如下圖所示：
Figure 2.2 In a correct solid body all face normals go outward
面上的材料是由邊的朝向确定的。方向是由曲面不是面（）的法向和邊的微分的叉積确定。若邊的朝向向前，則邊的導數等于它的三維曲線的導數；若邊的朝向反向，則邊的導數與它的三維曲線的導數相反。也許考慮邊的參數曲線會更易于了解：假如邊是向前的，材料在它的左側，假如是反向的，則材料在它的右側。這讓我想起了格林公式中對平面區域的邊界曲線正向的規定：對平面區域D的邊界曲線L，我們規定L的正向如下：當觀察者沿L的這個方向行走時，D内在他附近處的那一部分總在他的左邊。
Figure 2.3 Orientation of the edge
當用積分區域的概念來了解邊的朝向時好像要容易些。把參數空間看作積分區域D，其中藍色的邊表示材料在參數曲線的右側；紅色的邊表示材料在邊的左側。
面的容差的幾何意義是包圍面的一個具有厚度的闆。如下圖所示：
Figure 2.4 Face Tolerance
與邊和頂點的容差相比，模組化算法中用到面的容差的情況相對要少。通常都使用預設值Precision::Confusion()。通常情況下，OpenCascade要求注意以下條件：
當邊位于面上，頂點位于邊上時，面的容差<=邊的容差<=頂點的容差。
除了面的參數表示，為了面的顯示，需要對面進行三角剖分，剖分得到的三角形也儲存在面的資料結構中。當在着色渲染模式下時，可視化算法内部調用了BRepMesh::Mesh()來對每個面進行三角剖分，并将三角剖分得到的三角形加到面的資料結構中。
與邊和頂點不同，面有附加位置資訊（TopLoc_Location），它是面（BRep_TFace）的成員變量。是以，在使用底層曲面或三角剖分得到的三角形時，不要忘了将其考慮進去。
3.1 底層建立面并通路其資料 Creating a face bottom-up and accessing the data
與建立邊和頂點一樣，需要類BRep_Builder和Brep_Tool來從底層建立面和通路面中的資料。代碼如下所示：
一定要考慮面的附加位置資訊。
面是邊界表示法BRep中有幾何資料的最後一個拓樸結構。為了面的顯示，需要對其進行三角剖分，三角剖分後的資料也是儲存在面的資料結構中。面還有附加位置資料需要考慮，若不考慮附加位置，剖分後的三角形都是相對于原點的。
從底層建立面和通路面的屬性資料，與頂點和邊一樣，使用類BRep_Builder和類BRep_Tool來實作。
1. Roman Lygin, OpenCascade notes, opencascade.blogspot.com
2. 孫家廣等. 計算機圖形學. 清華大學出版社
3. OpenCascade source code.
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