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Abstract. The quaternions are members of a noncommutative division algebra first invented by William Rowan Hamilton. The idea for quaternions occurred to him while he was walking along the Royal Cannal on his way to a meeting of the Irish Academy, and Hamilton was so pleased with his discovery that he scratched the fundamental formula of quaternion algebra. There are several different ways we can express orientation and angular displacement in 3D. Here we discuss the three most important methods-matrices, Euler angles, and quaternions.
Key Words. OpenCASCADE, Quaternion, Euler angles, Rotation, Transformation
1. Introduction
物體在三維空間中經常需要進行一些變換操作，如移動、旋轉等。在CAD軟體中如果提供的便利的互動方式來對模型的位置進行編輯，則軟體的使用者體驗就很好。對模型位置編輯的結果需要在計算機中儲存起來，這就需要用一種方式來記錄模型的變換。如下圖所示：
Figure 1.1 Modify the location of a Valve
上圖所示為三維工廠軟體PDMS中使用互動的方式來修改一個閥件的位置，直接使用滑鼠拖動高亮的箭頭即可實作對閥件位置的編輯。
物體在三維空間中的旋轉變換操作常見的有三種表示方法：Matrix、Euler Angles、Quaternion。每種表示方式各用利弊，根據需要選擇合适的旋轉的表示方式。本文詳細介紹了這三種方式及在OpenCASCADE中使用Quaternion和在這三種表示方式之間進行轉換。
2.Rotation in Matrix Form
在3D空間中描述坐标系的方位（orientation）的一種方法就是列出這個坐标系的基向量，這些基向量是用其他的坐标系來描述的。用這些基向量構成一個3X3矩陣，然後就能用矩陣的形式來描述方位了。換句話說，能用一個旋轉矩陣來描述這兩個坐标系之間的相對方位，這個旋轉矩陣用于把一個坐标系中的向量變換到另一個坐标系中，如下圖所示：
Figure 2.1 Defining an orientation using a matrix
Figure 2.2 A Valve Orientation in PDMS
由上圖可知，在PDMS中對模型的方位的儲存也是采用了矩陣形式，其中X is E，Y is N 60U， Z is S 30 U這其實是三個向量。下面給出繞任意軸旋轉一定角度的矩陣表示的證明：
Figure 2.3 Rotating a vector about an arbitrary axis
根據向量的運算規則容易推出：
則繞軸旋轉的矩陣形式如下：
其中在OpenCASCADE的類gp_Mat中實作代碼如下所示：
void gp_Mat::SetRotation (const gp_XYZ& Axis,
const Standard_Real Ang)
{
// Rot = I + sin(Ang) * M + (1. - cos(Ang)) * M*M
// avec M . XYZ = Axis ^ XYZ
// const Standard_Address M = (Standard_Address)&(matrix[0][0]);
gp_XYZ V = Axis.Normalized();
SetCross (V);
Multiply (sin(Ang));
gp_Mat Temp;
Temp.SetScale (1.0);
Add (Temp);
Standard_Real A = V.X();
Standard_Real B = V.Y();
Standard_Real C = V.Z();
Temp.SetRow (1, gp_XYZ(- C*C - B*B, A*B, A*C ));
Temp.SetRow (2, gp_XYZ( A*B, -A*A - C*C, B*C ));
Temp.SetRow (3, gp_XYZ( A*C, B*C, - A*A - B*B));
Temp.Multiply (1.0 - cos(Ang));
}
3.Rotation with Euler Angles
用Euler角的方式來表示旋轉這項技術是以著名數學家Leonhard Euler(1707~1783)來命名的，他證明了角位移序列等價于單個角位移，即可以用一個合成的變換來表示多個連續的變換，證明過程詳見蘇步青《應用幾何教程》。
Euler Angles的基本思想是将角位移分解為繞三個互相垂直的三個旋轉組成的序列。這聽起來有點複雜，其實是非常直覺的，這也正是Euler Angle易于使用的優點之一。Euler Angle将方位Orientation分解為繞三個垂直軸的旋轉，那麼是哪三個軸？按什麼順序？其實任意三個軸和任意順序都可以，但最有意義的是使用笛卡爾坐标系按一定順序所組成的旋轉序列。最常用的約定是所謂的“heading-picth-bank”，如下圖所示為給定heading，picth和bank角度後，可以用四步法來确定Euler Angle對應的Orientation：
Figure 3.1 Step 1: An object in its identity orientation
Figure 3.2 Step 2: Heading is the first rotation and rotates about the vertical axis(y-axis)
Figure 3.3 Step 3: Pitch is the second rotation and rotates about the object laterial axis(x-axis)
Figure 3.4 Step 4: Bank is the third and rotates about the object longitudinal axis(z-axis)
heading-pitch-bank系統不是唯一的Euler Angle系統。繞任意三個互相垂直的任意旋轉序列都能定義一個方位orientation。是以多種選擇導緻了Euler Angle約定的多樣性。如常用的術語roll-pitch-yaw，其中roll等價于bank，yaw基本上等價于heading，他的順序與heading-pitch-bank相反。
因為Euler Angle的易用性，隻需要約定旋轉序列和三個角度即可表示方位了。可以仿照上述變換過程應用Euler Angle來實作模型旋轉編輯的互動操作，實作互動方式友好的操作。即當滑鼠移動到高亮的旋轉handle上時，就可以繞一個軸旋轉一定角度，不一定是按heading-pitch-bank的順序來旋轉。如下圖所示：
Figure 5. Model Editor in PDMS
Figure 6. Euler Angle in Model Editor
由上圖可知，對模型進行旋轉時，實時顯示的角度正是Euler Angle。如果約定了Euler Angle的順序，如為heading-pitch-bank，隻需要三個實數即可表示方位orientation，這在将方位資料儲存到檔案時有很大優勢，可以節省大量存儲空間。如下圖所示：
Figure 7. Orientation Properties in AVEVA Plant/PDMS
由上圖可知，PDMS的資料庫中儲存orientation的方式使用了Euler Angle的方式，這樣與矩陣的方式相比，資料量要少兩倍，因為一般的模型都有這個屬性，這樣下來，節省的存儲空間比較可觀。
因為Euler Angles的方式最簡單直覺，就是三個角度，是以一般都是将Euler Angle轉換到其他的形式，如Matrix和Quaternion。
4.Quaternions
一個Quaternion包含一個标量分量和一個3D向量分量，一般記标量分量為w，向量分量為V或分開的x,y,z，如Q=[w, V]或Q=[w,(x,y,z)]。
Quaternion能被解釋為角位移的軸－角對方式。然而，旋轉軸和角度不是直接存儲在Quaternion的四個數中，它們的确在Quaternion中，但是不是那麼直接，其關系式為：
根據這個關系式即可實作繞軸旋轉一定角度的Quaternion，其中OpenCASCADE中的實作代碼如下所示：
//=======================================================================
//function : SetVectorAndAngle
//purpose :
void gp_Quaternion::SetVectorAndAngle (const gp_Vec& theAxis,
const Standard_Real theAngle)
gp_Vec anAxis = theAxis.Normalized();
Standard_Real anAngleHalf = 0.5 * theAngle;
Standard_Real sin_a = Sin (anAngleHalf);
Set (anAxis.X() * sin_a, anAxis.Y() * sin_a, anAxis.Z() * sin_a, Cos (anAngleHalf));
為了将Quaternion轉換到矩陣形式，可以利用繞任意軸旋轉的矩陣，公式如下所示：
矩陣是由旋轉軸n和旋轉角度θ表示的，但是Quaternion是由下述分量表示的：
将R(n,θ)變換到R(w,x,y,z)是一個技巧性很強的推導，如果隻是為了使用矩陣，那麼就不必了解矩陣是如何推導的。如果對推導過程感興趣，可參考Fletcher Dunn,Ian Parberry.所著《3D Math Primer for Graphics and Game Development》，其中有詳細推導說明。下面就直接給出推導結果：
Figure 4.1 Converting a quaternion to a 3x3 matrix
在OpenCASCADE中取得Quaternion的矩陣資料是通過函數GetMatrix，其實作代碼如下所示：
//function : GetMatrix
gp_Mat gp_Quaternion::GetMatrix () const
Standard_Real wx, wy, wz, xx, yy, yz, xy, xz, zz, x2, y2, z2;
Standard_Real s = 2.0 / SquareNorm();
x2 = x * s; y2 = y * s; z2 = z * s;
xx = x * x2; xy = x * y2; xz = x * z2;
yy = y * y2; yz = y * z2; zz = z * z2;
wx = w * x2; wy = w * y2; wz = w * z2;
gp_Mat aMat;
aMat (1, 1) = 1.0 - (yy + zz);
aMat (1, 2) = xy - wz;
aMat (1, 3) = xz + wy;
aMat (2, 1) = xy + wz;
aMat (2, 2) = 1.0 - (xx + zz);
aMat (2, 3) = yz - wx;
aMat (3, 1) = xz - wy;
aMat (3, 2) = yz + wx;
aMat (3, 3) = 1.0 - (xx + yy);
// 1 division 16 multiplications 15 addidtions 12 variables
return aMat;
由代碼可知，即是對上述轉換公式的直接實作。如其注釋中所言，轉換涉及到了1個除法、16個乘法、15個加法和12個變量。
OpenCASCADE中還實作了從Euler Angles轉換到Quaternion的功能，實作代碼如下所示：
//function : GetEulerAngles
void gp_Quaternion::GetEulerAngles (const gp_EulerSequence theOrder,
Standard_Real& theAlpha,
Standard_Real& theBeta,
Standard_Real& theGamma) const
gp_Mat M = GetMatrix();
gp_EulerSequence_Parameters o = translateEulerSequence (theOrder);
if ( o.isTwoAxes )
{
double sy = sqrt (M(o.i, o.j) * M(o.i, o.j) + M(o.i, o.k) * M(o.i, o.k));
if (sy > 16 * DBL_EPSILON)
{
theAlpha = ATan2 (M(o.i, o.j), M(o.i, o.k));
theGamma = ATan2 (M(o.j, o.i), -M(o.k, o.i));
}
else
theAlpha = ATan2 (-M(o.j, o.k), M(o.j, o.j));
theGamma = 0.;
}
theBeta = ATan2 (sy, M(o.i, o.i));
}
else
double cy = sqrt (M(o.i, o.i) * M(o.i, o.i) + M(o.j, o.i) * M(o.j, o.i));
if (cy > 16 * DBL_EPSILON)
theAlpha = ATan2 (M(o.k, o.j), M(o.k, o.k));
theGamma = ATan2 (M(o.j, o.i), M(o.i, o.i));
theBeta = ATan2 (-M(o.k, o.i), cy);
}
if ( o.isOdd )
theAlpha = -theAlpha;
theBeta = -theBeta;
theGamma = -theGamma;
if ( ! o.isExtrinsic )
{
Standard_Real aFirst = theAlpha;
theAlpha = theGamma;
theGamma = aFirst;
下面給出在OpenCASCADE中使用Quaternion的具體示例，代碼如下所示：
/*
* Copyright (c) 2013 to current year. All Rights Reserved.
*
* File : Main.cpp
* Author : [email protected]
* Date : 2014-11-29 10:18
* Version : OpenCASCADE6.8.0
* Description : Test OpenCASCADE quaternion.
* Key Words : OpenCASCADE, Quaternion
*
*/
#define WNT
#include <gp_Quaternion.hxx>
#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")
void TestQuaternion(void)
gp_Quaternion aQuaternion;
// create quaternion by axis-angle.
aQuaternion.SetVectorAndAngle(gp_Vec(1.0, 0.0, 0.0), M_PI_2);
// convert quaternion to matrix.
gp_Mat aMatrix = aQuaternion.GetMatrix();
Standard_Real aYaw = 0.0;
Standard_Real aPitch = 0.0;
Standard_Real aRoll = 0.0;
// convert quaternion to Euler Angles.
aQuaternion.GetEulerAngles(gp_YawPitchRoll, aYaw, aPitch, aRoll);
int main(int argc, char* argv[])
TestQuaternion();
return 0;
5.Conclusions
綜上所述，Euler Angles最容易被使用，當需要為世界中的物體指定方位時，Euler Angles能大簡化人機互動，包括直接的鍵盤、滑鼠輸入及在調試中測試。
如果需要要坐标系之間進行轉換向量，那麼就選矩陣形式。當然這并不意味着你不能使用其他格式來儲存方位，并在需要的時候轉換到矩陣形式。另一種方法是用Euler Angles作為方位的“主拷貝”，并同時維護一個旋轉矩陣，當Euler Angles發生變化時矩陣也同時進行更新。
當需要大量儲存方位資料時，就使用Euler Angles或Quaternion。Euler Angles将少占用25%的空間，但它在轉換到矩陣時要稍微慢點。如果動畫資料需要進行坐标系之間的連接配接，Quaternion可能是最好的選擇了。
平滑的插值隻能用Quaternion來完成，這在OpenSceneGraph中有大量的應用。如果你使用其他形式，也可先轉換成Quaternion再進行插值，插值完成後再轉換回原來的形式。
OpenCASCADE的Quaternion類中實作了Matrix, Euler Angles的轉換，即通過gp_Quaternion即可将旋轉操作在這三種形式之間進行轉換。
6. References
2. Ken Shoemake. Conversion between quaternion and Euler angles. Graphics Gems IV, P222-22
<a href="http://tog.acm.org/resources/GraphicsGems/gemsiv/euler_angle/EulerAngles.c">http://tog.acm.org/resources/GraphicsGems/gemsiv/euler_angle/EulerAngles.c</a>
3. 蘇步青, 華宣積. 應用幾何教程. 複旦大學出版計. 2012
4. 丘維聲. 解析幾何. 北京大學出版社. 1996
5. 同濟大學應用數學系編. 線性代數（第四版）. 高等教育出版社. 2003
6. Fletcher Dunn,Ian Parberry. 3D Math Primer for Graphics and Game Development. CRC Press
7. 史銀雪,陳洪,王榮靜. 3D數學基礎：圖形與遊戲開發. 清華大學出版社. 2005
8. 蘇步青. 神奇的符号. 湖南少年兒童出版社. 2010