數學理論基礎

理論基礎

下面該欄目列出一些可能會用到的已經證明的理論! 大多數的理論均來自[1].

對于 \(\forall x,y,z \in X\), 若存在映射

\[\begin{aligned}

d:\; &X \times X \rightarrow \mathbb{R}^1\\

&(x,y) \mapsto d(x,y)

\end{aligned}

\]

定義如下幾個性質:

非負性: \(d(x,y)\geq 0, d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\)

對稱性: \(d(x,y) = d(y,x)\)

三角不等式: \(d(x,y)\leq d(x,z) + d(z,y)\)

定義 1.1 設 \(X\) 是非空集合, 對于 \(\forall x,y,z \in X\), 若存在映射

同時滿足非負性, 對稱性, 三角不等式, 則稱 \(d(x,y)\) 是元素 \(x\) 與 \(y\) 之間的距離. 在集 \(X\) 中定義了距離 \(d\) 之後, 就稱 \(X\) 為距離空間, 記作 \((X,d)\). \((X,d)\) 中的元素又稱為點.

設 \(A\) 是距離空間 \((X,d)\) 的子集, 則 \(A\) 按 \(X\) 中定義的距離 \(d\) 也形成一個距離空間 \((A,d)\), 稱為 \((X,d)\) 的子空間, 有時我們也簡稱 \(A\) 是 \(X\) 的子空間.

設 \(X = (X,d)\) 為距離空間, \(x_0 \in X, r > 0,\) 則

\[B(x_0,r) = \{x\in X: d(x,x_0) < r\}

稱為以 \(x_0\) 為中心, \(r\) 為半徑的 \(r\) 球形鄰域; 而

\[\overline{B}{(x_0,r)} = \{x\in X: d(x,x_0) \leq r\}

稱為以 \(x_0\) 為中心, \(r\) 為半徑的 \(r\) 閉球.

\(S(x_0,r)=\{x\in X: d(x,x_0) = r\}\) 稱為球面. 設 \(A,B \subset X,\) 則 \(d(x,B) = \inf\; \{d(x,y):y \in B\}\) 稱為 \(x\) 與集 \(B\) 之間的距離; \(d(A,B) = \inf\; \{d(x,y):x, \in A,y \in B\}\) 稱為集 \(A\) 與 \(B\) 之間的距離.

\(\operatorname{diam} A = \sup \{d(x,y):x,y\in A\}\) 稱為集 \(A\) 的直徑. 設 \(A\subset X\), 若存在球 \(B(x_0,r) \supset A,\) 則稱 \(A\) 為 \(X\) 中的有界集.

定義 1.2 設 \(x_n, x_0 \in X,\) 若

\[\lim_{n\rightarrow \infty} d(x_n,x_0) = 0

即 \(\forall ε > 0, ∃ N,\) 使得 \(∀ n \geq N,\) 有 \(d(x_n,x_0) < ε\), 則稱點列 \(\{x_n\}\) 收斂于 \(x_0\), 記作 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x_0\) 或 \(x_n \rightarrow x_0\,(n\rightarrow \infty)\).

定義 1.3 設 \(\{x_k\}\) 是距離空間 \((X,d)\) 中的點列, 若 \(∀ε>0,∃N,\) 使得 \(∀m,n \in N,\) 有 \(d(x_m,x_n) < ε,\) 則稱 \(\{x_k\}\) 是 \((X,d)\) 中的柯西點列或基本點列.

定義 1.4 設 \((X,d)\) 為距離空間, \(E ⊂ X,\) 若 \(E\) 中每個柯西點列都收斂于 \(E\) 中的點, 則稱 \(E\) 為完備集, 特别, 當 \(E=X\) 時, 稱 \((X,d)\) 為完備距離空間.

由實數的完備性, 我們可得 \(\mathbb{R}^n\) 是完備的.

在高等代數課程中, 已經熟悉在集合 \(X\) 中引入線性運算 (\(X\) 中元素的加法和數乘運算) 就形成了線性空間. 設 \(x_1. x_2, \cdots,x_n\) 是數域 \(K\) 上線性空間的一組元素, 若存在不全為 \(0\) 的數 \(\alpha _k \in K\), 使得 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k = 0\), 則稱 \(x_1. x_2, \cdots,x_n\) 是線性相關的, 否則, 稱 \(x_1. x_2, \cdots,x_n\) 線性無關, 即若 \(\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k = 0\), 則 \(\alpha _k=0\). 設 \(X\) 的子集 \(A\) 中任何有限個向量都線性無關, 則稱 \(A\) 為線性無關集; 若 \(A\) 對 \(X\) 中的線性運算是封閉的, 則稱 \(A\) 為 \(X\) 的線性子空間, 簡稱子空間.

稱

\[\operatorname{span}A = \{y = \displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k:x_k\in A,\alpha _k\in K, ∀n\}

為由 \(A\) 張成的子空間, 或稱 \(A\) 的線性包. 設 \(A\) 是 \(X\) 的線性無關子集, 若 \(\operatorname{span}A=X\), 即對 \(∀x\in X,∃x_k \in A, \alpha _k\in K,\) 使得 \(x = \displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha _kx_k\), 則稱 \(A\) 為 \(X\) 的一組線性基 (或 Hamel 基), 稱 \(A\) 的基數為 \(X\) 的維數, 記作 \(\operatorname{dim} A\).

設 \(X, Y\) 為數域 \(K\) 上的線性空間. 若 \(T: X \rightarrow Y\) 是滿單射且為線性映射, 即: 對 \(\forall x,y \in X, \alpha , \beta \in K\), 有

\[T(\alpha x + \beta y) = \alpha Tx + \beta Ty

則稱 \(X\) 與 \(Y\) 線性同構或代數同構. \(T\) 稱為同構映射, 數域 \(K\) 上兩個有限維線性空間 \(X\) 與 \(Y\) 同構的充要條件是 \(X\) 與 \(Y\) 的維數相同.

為了線上性空間中引入拓撲概念, 下面我們引入範數的定義, 通過範數來定義距離.

定義 2.1 設 \(X\) 是數域 \(K\) (實數域 \(\mathbb{R}\) 或複數域 \(\mathbb{C}\)) 上的線性空間, 若存在映射

T:\;&X\rightarrow \mathbb{R}^1\\

&x\mapsto ||x||

滿足:

\(||x|| \geq 0,\) 且 \(||x|| = 0 \Leftrightarrow x=0\)

\(||\alpha x|| = |\alpha |||x||, \alpha \in K\) (絕對齊性)

\(||x+y|| \leq ||x|| + ||y||, x,y\in X\) (三角不等式)

則稱 \(||x||\) 是元素 \(x\) 的範數, 定義了範數 \(||⋅||\) 的線性空間 \(X\) 稱為賦範線性空間, 記作 \((X,||\cdot||)\).

若對 \(∀ x,y\in X,\) 令

\[d(x,y) = ||x-y||

則易證 \(d\) 是 \(X\) 上的距離空間, 稱 \(d\) 為由範數 \(||⋅||\) 導出的距離.

定義 2.2 設 \((X,||\cdot||)\) 是賦範線性空間, \(\{x_n\}\) 是 \(X\) 中的點列, \(x \in X\), 若

\[d(x_n,x) = ||x_n-x||\rightarrow 0(n\rightarrow \infty)

則稱 \(\{x_n\}\) 依範數收斂于 \(x\) (或 \(\{x_n\}\) 強收斂于 \(x\)), 記作 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} x_n = x\) 或 \(x_n \rightarrow x\,(n\rightarrow \infty)\).

完備的賦範線性空間稱為 Banach 空間, 簡稱為 (B) 空間. 用範數刻畫有界集: 若 \(A⊂ X, \displaystyle\sup_{x\in A} ||x||<\infty\), 則稱 \(X\) 為有界集.

定義 2.3 設 \(\{e_n\}\) 是賦範線性空間 \((X,||\cdot||)\) 中的可數集, 若對 \(∀ x \in X,\) 在數域 \(K\) 中存在唯一确定的數列 \(\{c_k\}\), 使得

\[||x - \displaystyle\sum_{k=1}^n c_ke_k|| \rightarrow 0\;(n\rightarrow \infty)

則稱 \(\{e_n\}\) 為 \(X\) 的 Schauder 基, 簡稱為 (S) 基, 記作

\[x = \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} c_ke_k

上式稱為 \(x\) 關于基 \(\{e_n\}\) 的展開式.

定義 2.4 設 \(X\) 是線性空間 \(X\) 中的子集, \(x,y\in X\), 集合 \(\{λx + (1-λ)y:0\leq λ \leq 1\}\) 稱為聯結 \(x,y\) 兩點的線段, 記作 \([x,y]\). 若對 \(\forall x,y\in X, [x,y] \subset A,\) 則稱 \(A\) 為 \(X\) 中的凸集, 而集 \(\{x=\displaystyle\sum_{k=1}^n λ_kx_k: λ_k \geq 0, \displaystyle\sum_{k=1}^n λ_k = 1\}\) 稱為 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的凸組合. 我們很容易知道 \(X\) 的線性子空間是凸集.

賦範線性空間 \((X,||\cdot||)\) 中的機關球 \(B(0,1)=\{x\in X: ||x||\leq 1\}\) 是 \(X\) 中的凸集.

定義 3.1 設 \(X\) 是數域 \(K\) (實數域 \(\mathbb{R}\) 或複數域 \(\mathbb{C}\)) 上的線性空間, 若存在映射

T:\;&X \times X \rightarrow K\\

&(x,y) \mapsto (x,y)

正定性: \((x,x) \geq 0, (x,x)=0 ⇔ x=0\)

對第一變元線性: \((\alpha x+βy,z) = \alpha (x,z) + β(y,z); x,y,z\in X, \alpha ,β \in K\)

共轭對稱性: \((x,y) = \overline{(y,x)}\)

則稱 \((x,y)\) 為 \(x,y\) 的内積, 定義了内積的線性空間 \(X\) 稱為内積空間.

定義 3.2 設 \(X\) 為内積空間, \(x,y\in X,\) 若 \((x,y)=0\), 則稱 \(x\) 與 \(y\) 正交, 記作 \(x \bot y\); 設 \(A, B ⊂ X,\) 若對 \(∀y \in A, (x,y)=0,\) 則稱 \(x\) 與 \(A\) 正交, 記作 \(x\bot A\); 若對 \(∀x \in A, y \in B, (x,y)=0,\) 則稱 \(A\) 與 \(B\) 正交, 記作 \(A \bot B\), 集 \(A^{\bot} = \{x\in X: x\bot A\}\) 稱為 \(A\) 的正交補, \(A^{\bot\bot} =(A^{\bot})^{\bot}\).

定理 1 設 \(X\) 是數域 \(K\) 上的内積空間, 則對 \(∀x,y \in X\), 成立 Schwarz 不等式:

\(

|(x,y)|^2 \leq (x,x)(y,y)

\)

僅當 \(x,y\) 線性相關時等号成立.

定理 2 設在内積空間 \(X\) 中, 令

\[||x|| = \sqrt{(x,x)}

則 \(||\cdot||\) 是 \(X\) 上的範數, 進而 \((X, ||\cdot||)\) 為賦範線性空間.

完備的賦範線性空間稱為 Hilbert 空間.

定理 3 設 \(X\) 為内積空間, 則内積 \((x,y)\) 是 \(x,y\) 的連續函數, 即若 \(x_n \rightarrow x, y_n \rightarrow y\), 則 \((x_n,y_n) \rightarrow (x,y)(n\rightarrow \infty)\).

定理 4 賦範線性空間 \((X,||\cdot||)\) 是内積空間的充要條件是其範數要滿足平行四邊形法則:

\[||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2(||x||^2 + ||y||^2)

定理 5 設 \(X\) 為内積空間, \(A,B\) 為 \(X\) 中的非空子集, 則

若 \(x\bot y\), 則 \(||x+y||^2 = ||x||^2 = ||y||^2\) (勾股定理)

\(A^{\bot}\) 是 \(X\) 的閉線性子空間

\(A⊂B⇒A^{\bot} ⊃ B^{\bot}\)

\(A ∩ A^{\bot} = \{0\}\) 或 \(∅\)

\((\overline{A})^{\bot} = A^{\bot}; (\overline{\operatorname{span}A})^{\bot} = A^{\bot}\)

\(X^{\bot} = \{0\}, \{0\}^{\bot} = X\)

設 \(X=(X,d)\) 為距離空間, \(A\) 為 \(X\) 的非空子集, 則 \(x\) 到 \(A\) 的距離為

\[d(x, A) = \inf \{d(x,y):y\in A\}

對于 \(x \in X\), 若存在 \(y_0\in A\), 使得

\[d(x,y_0) = d(x,A)

則稱 \(y_0\) 是 \(x\) 在集 \(A\) 中的最佳逼近元.

定理 6 (變分引理) 設 \(X\) 為内積空間, \(A\) 是 \(X\) 中非空完備凸集, 則對 \(∀ x \in X\), 存在唯一的最佳逼近元 \(y_0\in A\), 成立

\[||x-y_0|| = \inf \{ ||x-y||: y\in A\}.

若 \(\{y_n\}⊂A\), 使得

\[\displaystyle\lim_{n→∞} ||x-y_n|| = \inf \{ ||x-y||: y\in A\}

成立, 則稱 \(\{y_n\}\) 為極小化序列.

定理 7 (正交分解 或 投影定理) 設 \(A\) 是内積空間 \(X\) 的完備子空間, 則對任意 \(x\in X\), 存在唯一的正交分解:

\[x = y_0 + z, y_0\in A, z\in A^{\bot}

設 \(X\) 為線性空間, \(A,B\) 為 \(X\) 的子空間, 則 \(A\) 與 \(B\) 的直和定義為

\[A + B=\{x = y+z:y\in A z\in B\}

設 \(X\) 為内積空間, 當 \(A\bot B\) 時, 稱直和為正交和, 記作 \(A\oplus B\), 即

\[A \oplus B=\{x = y+z:y\in A z\in B, \text{且 }(y,z)=0 \}

定義 3.3 設 \(A\) 是内積空間 \(X\) 的子空間, \(x\in X\), 若存在 \(y\in A, z\in A^{\bot}\), 使得 \(x=y+z\), 則稱 \(y\) 是 \(x\) 在 \(A\) 上的正交投影, 簡稱投影, 記作 \(y=P_Ax\), 并稱 \(P_A: X→ A\) 為投影算子. 定理 7 表明當 \(A\) 是内積空間 \(X\) 的完備子空間時, \(X\) 可以分解為 \(X = A \oplus A^{\bot}\).

定義 4.1 設 \((X, d_1)\) 和 \((Y, d_2)\) 是距離空間, 若存在雙射 \(T: X \rightarrow Y\), 使得

\[d_2(Tx_1,Tx_2) = d_1(x_1,x_2), \;\;\; \forall x_1,x_2 \in X

則稱 \((X, d_1)\) 與 \((Y, d_2)\) (通過 \(T\)) 等距同構, \(T\) 稱為等距同構映射. 若 \((X, d_1)\) 與 \((Y, d_2)\) 的某個子空間 \((Y_0,d_2)\) 等距同構, 則稱 \((X,d_1)\) 可嵌入 \((Y,d_2)\). 在等距同構的意義下, 可将 \((X,d_1)\) 看作 \((Y,d_2)\) 的子空間, 并簡記為

\[(X, d_1) \subset (Y, d_2)

注意 : 從集合角度來看, \(X\) 不一定是 \(Y\) 的子集.

定義 4.2 設 \(X\) 與 \(Y\) 是賦範線性空間, 若算子 \(T: X \rightarrow Y\) 滿足 \(||Tx|| = ||x||, \forall x \in X\), 則稱 \(T\) 是 保範算子. 若線性算子 \(T: X \rightarrow Y\) 是雙射, 則稱 \(T\) 是 等距同構映射, 簡稱 同構映射. 這時稱 \(X\) 與 \(Y\) 等距同構, 簡稱 同構, 記作 \(X=Y\).

若存在 \(A \subset Y\), 使得 \(A\) 與 \(X\) 同構, 則稱 \(X\) 可嵌入到 \(Y\) 中.

若一個抽象的賦範線性空間 \(X\) 與一個具體的賦範線性空間 \(Y\) 同構, 則稱 \(Y\) 是 \(X\) 的一個表示.

注意 : 若将定義 2中的線性改為共轭線性, 即

\[T(\alpha x + \beta y) = \overline{\alpha} Tx + \overline{\beta} Ty, \forall \alpha, \beta \in K

則稱 \(X\) 與 \(Y\) 共轭同構, 仍記作 \(X=Y\).

定義 4.3 設 \(X\) 與 \(Y\) 是數域 \(K\) 上的賦範線性空間, \(D\) 是 \(X\) 的線性子空間. 若映射 \(T: D \rightarrow Y\) 滿足

可加性: \(T(x+y)=Tx+Ty,\;\;\; x,y \in D\)

齊性: \(T(\alpha x) = \alpha Tx,\;\;\; x \in D, \alpha \in K\)

則稱 \(T\) 是 \(D\) 到 \(Y\) 的線性算子; 稱 \(D(T) = D\) 為 \(T\) 的定義域; 稱 \(R(T) = \{Tx|x\in D \}\) 為 \(T\) 的值域; 并稱

\[N(T)(=\ker(T)) = \{x \in D | Tx=0\} = T^{-1}(0)

為 \(T\) 的零空間 (或核).

有界線性算子範數 設 \(X\) 與 \(Y\) 是賦範線性空間, 若 \(T:X \rightarrow Y\) 為 有界線性算子, 則稱

\[||T|| = \sup\{||Tx||/||x||: x \in X, x \neq 0 \}

為 有界線性算子範數.

有界線性算子空間 設 \(X\) 與 \(Y\) 是數域 \(K\) 上的賦範線性空間, \(X\) 到 \(Y\) 的有界線性算子全體記作 \(B(X,Y)\). \(\forall T_1,T_2 \in B(X, Y), \alpha \in K\). 對于 \(\forall x \in X\), 規定線性運算為:

\[ \begin{aligned}

&(T_1 + T_2) (x) = T_1x + T_2x, \\

&(\alpha T)(x) = \alpha Tx

易知, \((B(X,Y),||\cdot ||)\) 是賦範線性空間, 稱為 有界線性算子空間.

特别, 當 \(Y=K\) 時, 簡記作 \(B(X, K) = X^{*}\), 并稱其元素為 有界線性泛函, 且 \(X^{*}\) 稱為 \(X\) 的 共轭空間.

定義 4.4 設 \(X\) 是數域 \(K\) 上的賦範線性空間, 若 \(X^{*} = X\), 則稱 \(X\) 為 自共轭空間.

定理 8 任何賦範線性空間 \((X, ||\cdot||)\) 都與 \(X^{**}\) 的子空間保範線性同構, 在同構的意義下, 可記作 \(X \subset X^{**}\), 即

\(\forall x \in X\), 定義泛函 \(F_x: X^{*} \rightarrow K\), \(f \mapsto f(x)\), 即

\[F_x(f) = f(x) \;\;\text{ $x$ 固定, $\forall f \in X^{*}$ }

則 \(F_x \in (X^{*}) = X^{**}\)， 且 \(||F_x|| = ||x||\).

定理 9 \(n\) 維實賦範線性空間 \(E_n\), 有 \((E_n)^{*} = E_n\).

設 \(e_1,\cdots, e_n\) 是 \(E_n\) 的一組基, 則 \(\forall f \in (E_n)^{*}\), 存在唯一的 \(\alpha = (\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \in E_n\), 使得 \(f\) 在 \(E_n\) 上的表示為

\[f(x) = \displaystyle\sum_{k=1}^n x_k\alpha_k,\;\; \forall x \in E_n, x = \sum_{k=1}^n x_ke_k

實際上, $\alpha_k = f(e_k) $ 是由 \(f\) 唯一确定的. 同時, \((E_n)^{*}\) 中的泛函 \(f\) 的範數 \(||f|| = ||\alpha||\) 則依賴于 \(E_n\) 中元素 \(x\) 的範數 \(||x||\) 的選取.

将原空間 \(X\) 的問題通過嵌入映射 \(\mathcal{T}\) 轉換為 \(X^{**}\) 中的問題, 即将 \(x\in X\) 轉換為 \(F_x \in X^{**}\), 且 \(||F_x|| = ||x||\). 而線性泛函 \(F_x\) 要比抽象空間 \(X\) 中的元素 \(x\) 更容易處理.

匡繼昌.實分析與泛函分析[M].北京:高等教育出版社.2002.8 ↩︎

探尋有趣之事！