很簡單的例子：
已知有五個數，求前四個數與第五個數分 别相乘後的最大當數。給出兩個算法分别如下：
以上兩個算法基于的數學模型是不同的，一個算法先積再求最大值，另一個算法先求最大值再求積，求從上表可以看出，後一個算法的效率明顯要高于前一個算法。
數學模組化就是把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題，我們把數學知識的這一應用過程稱為數學模組化。
數學模組化的基本方法
從分析問題的幾種簡單的、特殊的情況中，發現一般規律或作出某種猜想，進而找到解決問題的途徑。這種研究問題方法叫做歸納法。即歸納法是從簡單到複雜，由個别到一般的一種研究方法。
楊輝三角形的應用
【例】求n次二項式各項的系數：已知二項式的展 開式為：
問題分析：若隻用的數學組合數學的知識，直接模組化
k=0，1，2，3……n。
用這個公式去計算，n+1個系數，即使你考慮到了前後系數之間的數值關系：算法中也要有大量的乘法和除法運算，效率是很低的。
數學知識是各階多項式的系數呈楊輝三角形的規律
(a+b)0 1
(a+b)1 1 1
(a+b)2 1 2 1
(a+b)3 1 3 3 1
(a+b)4 1 4 6 4 1
(a+b)5 ……
則求n次二項式的系數的數學模型就是求n階楊輝三角形。
算法設計要點： 除了首尾兩項系數為1外，當n>1時，(a+b)n的中間各項系數是(a+b)n-1的相應兩項系數之和，如果把(a+b)n的n+1的系數列為數組c，則除了c(1)、c(n+1)恒為1外，設(a+b)n的系數為c(i)，(a+b)n-1 的系數設為c’(i)。則有：
c(i)=c’(i)+c’(i-1)
而當n=1時，隻有兩個系數 c(1) 和 c(2) (值都為1)。不難看出，對任何n, (a+b)n的二項式系數可由(a+b)n-1的系數求得，直到n=1時，兩個系數有确定值，故可寫成遞歸子算法。
最大公約數的應用
【例】數組中有n個資料，要将它們順序循環向後移k位，即前面的元素向後移k位，後面的元素則循環向前移k位，例：1、2、3、4、5循環移3位後為：3、4、5、1、2。考慮到n會很大，不允許用2*n以上個空間來完成此題。
問題分析1：若題目中沒有關于存儲空間的限制，我們可以友善地開辟兩個一維數組，一個存儲原始資料，另一個存儲移動後的資料。
這個算法的時間效率是n次移動（指派）。
有可能k>n，這樣移動會出現重複操作,可以在輸入資料後，執行k = k mod n; 以保證不出現重複移動的問題。這個算法的移動（指派）次數為k*n。當n較大時不是一個好的算法。
問題分析2：
● 将最後一個存儲空間的資料,存儲在臨時存儲空間中；
● 其餘資料逐個向後移動一位。
這樣操作共k次就能完成問題的要求。
算法2如下：
問題分析3 利用一個臨時存儲空間，把每一個資料一次移動到位：
1） 一組循環移動的情況：
通過計算我們可以确定某個元素移動後的具體位置，如n=5, k=3時：
0、1、2、3、4循環移3位後為2、3、4、0、1。
可通過計算得出0移到3的位置，3移到1的位置，1移到4的位置，4移到2的位置，2移到0的位置；一組移動（0-3-1-4-2-0）正好将全部資料按要求進行了移動。這樣隻需要一個輔助變量，每個資料隻需一次移動就可完成整個移動過程。
如果算法就這樣按一組移動去解決問題，就錯了。因為還有其它情況。
2）多組循環移動的情況：算法不能按一組移動去解決問題。
看下一個例子，當n=6，k=3時,1、2、3、4、5、6經移動 的結果是4、5、6、1、2、3. 并不象上一個例子,一組循環 移動沒有将全部資料移動到位。還需要（2-5-2）（3-6-3）兩組移動，共要進行三組循環移動（1-4，2-5，3-6）才能将全部資料操作完畢。
循環移動的組數，與k、n的是怎麼樣的關系呢？
我們再看一個例子，當N=6，K=2時, 1、2、3、4、5、6經移動的結果是5、6、1、2、3、4. 1移到3的位置，3移到5的位置，5移到1的位置，一組移動完成了3個資料的移動，接下來，還有一組2-4-6-2。共進行二組循環移動，就能将全部資料移動完畢。
數學模型：循環移動的組數等于N與K的最大公約數。
算法設計：
1）編寫函數，完成求n , k最大公約數m的功能
2）進行m組循環移動。
3）每組移動，和算法2一樣，通過計算可以确定某個
元素移動後的具體位置。在移動之前，用臨時變量
存儲需要被覆寫的資料。
算法3如下：
算法分析：每組循環移動都是從前向後進行的，一次移動需要兩次指派，總體大約需要指派2n次。
能不能繼續提高效率為指派n次呢？請考慮改進每組循環移動的方式為從後開始移動，以提高運作效率。以例子說明：
n=6,k=2時，第一組循環移動0-2-4，在算法3中是這樣實作的：
a[0]=>b0，
a[2]=>b1, b0（a[0]）=>a[2]，b1=> b0；
a[4]=>b1, b0（a[2]）=> a[4]，b1=> b0；
a[0]=>b1, b0（a[4]）=> a[0] ，b1=> b0；
改進後（和算法2類似）：
a[4]=>b ；a[2]=>a[4],a[0]=>a[2], b=>a[0]。
将每組最後一個資料元素存儲在輔助存儲空間，以後就可以安全地覆寫後面的數組元素了（注意覆寫順序）。這樣，一組循環移動隻需一次将資料存入輔助存儲空間，其後一次移動隻需一次指派，全部工作大約需要指派n次就可完成。
公倍數的應用
【例】程式設計完成下面給“餘”猜數的遊戲：
你心裡先想好一個1~100之間的整數x，将它分别除以3、5和7并得到三個餘數。你把這三個餘數告訴計算機，計算機能馬上猜出你心中的這個數。遊戲過程如下：
please think of a number between 1 and 100
your number divided by 3 has a remainder of? 1
your number divided by 5 has a remainder of? 0
your number divided by 7 has a remainder of? 5
let me think a moment…
your number was 40
問題分析：算法的關鍵是：找出餘數與求解數之間的關系，
也就是建立問題的數學模型。
數學模型：
1）不難了解當s=u+3*v+3*w時，s除以3的餘數與u除以3的
餘數是一樣的。
2）對s=cu+3*v+3*w，當c除以3餘數為1的數時, s除以3的
餘數與u除以3的餘數也是一樣的。證明如下：
c 除以 3餘數為1，記c=3*k+1，則s=u+3*k*u+3*v+3*w，由1)的結論，上述結論正确。
記a，b，c分别為所猜資料d除以3，5，7後的餘數，則
d=70*a+21*b+15*c。
為問題的數學模型，其中70稱作a的系數，21稱作b的系數,15稱作c的系數。
由以上數學常識，a、b、c的系數必須滿足：
1） b、c的系數能被3整除，且a的系數被3整除餘1；這樣d除以3的餘數與a相同。
2） a、c的系數能被5整除，且b的系數被5整除餘1；這樣d除以5的餘數與b相同。
3) a、b的系數能被7整除，且c的系數被7整除餘1；這樣d除以7的餘數與c相同。
由此可見：
c的系數是3和5的最公倍數且被7整除餘1，正好是15；
a的系數是7和5的最公倍數且被3整除餘1，最小隻能是70；
b的系數是7和3的最公倍數且被5整除餘1，正好是21。
算法設計：用以上模型求解的數d，可能比100大，這時隻要減去3，5，7的最小公倍數就是問題的解了。
裴波那契數列應用
【例】樓梯上有n階台階，上樓可以一步上1階，也可以一步上2階，編寫算法計算共有多少種不同的上樓梯方法。
數學模型：此問題如果按照習慣，從前向後思考，也就是從第一階開始，考慮怎麼樣走到第二階、第三階、第四階……，則很難找出問題的規律；而反過來先思考“到第n階有哪幾種情況？”，答案就簡單了，隻有兩種情況：
1） 從第n-1階到第n階；
2） 從第n-2階到第n階。
記n階台階的走法數為f(n)，則
f(n)= 1 n=1
f(n)=2 n=2
f(n-1)+f(n-2) n>2
算法設計：算法可以用遞歸或循環完成。下面是問題的遞歸算法。
算法如下：
遞推關系求解方程
【例】核反應堆中有α和β兩種粒子，每秒鐘内一個α粒子可以反應産生3個β粒子，而一個β粒子可以反應産生1個α粒子和2個β粒子。若在t=0時刻的反應堆中隻有一個α粒子，求在t時刻的反應堆中α粒子和β粒子數。
數學模型1：本題中共涉及兩個變量，設在i時刻α粒子數為ni，β粒子數為mi，則有：n0=1,m0=0,ni=mi—1，mi=3ni—1+2mi—1
算法設計1：本題友善轉化為求數列N和M的第t項，可用遞推的方法求得nt和mt，此模型的算法如下：
算法分析1：此模型的空間需求較小，時間複雜度為O（n），但随着n的增大，所需時間越來越大。
數學模型2：設在t時刻的α粒子數為f（t），β粒子數為g(t)，依題可知：
g(t)=3f(t -1)+2g(t -1) （1）
f(t)=g(t -1) （2）
g(0)=0,f(0)=1
下面求解這個遞歸函數的非遞歸形式
由（2）得f(t -1)=g(t-2) （3）
将（3）代入（1）得
g(t)=3g(t -2)+2g(t-1) （t≥2） （4）
g(0)=0,g(1)=3
（4）式的特征根方程為：
x2—2x—3=0
其特征根為x1=3,x2= -1
是以該式的遞推關系的通解為
g(t)=C1·3t+C2·( -1)t
代入初值g(0)=0,g(1)=3得
C1+C2=0
3C1—C2=3
解此方程組
是以該遞推關系的解為
∴g(t)=
即
由數學模型2，設計算法2如下
算法分析：在數學模型2中，運用數學的方法建立了遞歸函數并轉化為非遞歸函數。它的優點是算法的複雜性與問題的規模無關。針對某一具體資料，問題的規模對時間的影響微乎其微。