介紹還有一種平衡二叉樹：紅黑樹（Red Black Tree），紅黑樹由Rudolf Bayer于1972年發明，當時被稱為平衡二叉B樹（symmetric binary B-trees），1978年被Leonidas J. Guibas 和Robert Sedgewick改成一個比較摩登的名字：紅黑樹。
紅黑樹和之前所講的AVL樹相似，都是在進行插入和删除操作時通過特定操作保持二叉查找樹的平衡，進而獲得較高的查找性能。自從紅黑樹出來後，AVL樹就被放到了博物館裡，據說是紅黑樹有更好的效率，更高的統計性能。隻是在我了解了紅黑樹的實作原理後，并不相信這是真的，關于這一點我們會在後面進行讨論。
紅黑樹和AVL樹的差别在于它使用顔色來辨別結點的高度，它所追求的是局部平衡而不是AVL樹中的很嚴格的平衡。之前我們在解說AVL樹時，已經領教過AVL樹的複雜，但AVL樹的複雜比起紅黑樹來說簡直是小巫見大巫。紅黑樹是真正的變态級資料結構。
首先來一個Silverlight做的紅黑樹的動畫，它有助于幫你了解什麼是紅黑樹。這裡須要注意，必須安裝Silverlight 2.0 RTW 才幹正常執行遊戲，下載下傳位址：
http://www.microsoft.com/silverlight/resources/install.aspx?v=2.0
使用注意事項：
l 結點僅僅接收整數，假設在加入和删除操作中輸入非法字串，則會随機加入或删除一個0~99之間的整數。
l 能夠不在編輯框中輸入數字，直接單擊加入和删除button進行加入和删除操作。
l 能夠拖動拖動條控制動畫速度。
紅黑樹的平衡
紅黑樹首先是一棵二叉查找樹，它每一個結點都被标上了顔色（紅色或黑色），紅黑樹滿足下面5個性質：
1、 每一個結點的顔色僅僅能是紅色或黑色。
2、 根結點是黑色的。
3、 每一個葉子結點都帶有兩個空的黑色結點（被稱為黑哨兵），假設一個結點n的僅僅有一個左孩子，那麼n的右孩子是一個黑哨兵；假設結點n僅僅有一個右孩子，那麼n的左孩子是一個黑哨兵。
4、 假設一個結點是紅的，則它的兩個兒子都是黑的。也就是說在一條路徑上不能出現相鄰的兩個紅色結點。
5、 對于每一個結點來說，從該結點到其子孫葉結點的全部路徑上包括同樣數目的黑結點。
紅黑樹的這5個性質中，第3點是比較難了解的，但它卻很有必要。我們看圖1中的左邊這張圖，假設不使用黑哨兵，它全然滿足紅黑樹性質，結點50到兩個葉結點8和葉結點82路徑上的黑色結點數都為2個。但假設增加黑哨兵後（如圖1右圖中的小黑圓點），葉結點的個數變為8個黑哨兵，根結點50到這8個葉結點路徑上的黑高度就不一樣了，是以它并非一棵紅黑樹。
要看真正的紅黑樹請在以上動畫中加入幾個結點，看看是否滿足以上性質。
紅黑樹的旋轉操作
紅黑樹的旋轉操作和AVL樹一樣，分為LL、RR、LR、RL四種旋轉類型，差別在于旋轉完畢後改變的是結點的顔色，而不是平衡因子。旋轉動畫示範請參考AVL這篇文章中的Flash動畫：
http://www.cnblogs.com/abatei/archive/2008/11/17/1335031.html
紅黑樹上結點的插入
在讨論紅黑樹的插入操作之前必需要明确，不論什麼一個即将插入的新結點的初始顔色都為紅色。這一點非常easy了解，由于插入黑點會添加某條路徑上黑結點的數目，進而導緻整棵樹黑高度的不平衡。但假設新結點父結點為紅色時（如圖2所看到的），将會違返紅黑樹性質：一條路徑上不能出現相鄰的兩個紅色結點。這時就需要通過一系列操作來使紅黑樹保持平衡。
為了清楚地表示插入操作下面在結點中使用“新”字表示一個新插入的結點；使用“父”字表示新插入點的父結點；使用“叔”字表示“父”結點的兄弟結點；使用“祖”字表示“父”結點的父結點。插入操作分為下面幾種情況：
1、黑父
如圖3所看到的，假設新點的父結點為黑色結點，那麼插入一個紅點将不會影響紅黑樹的平衡，此時插入操作完畢。紅黑樹比AVL樹優秀的地方之中的一個在于黑父的情況比較常見，進而使紅黑樹須要旋轉的幾率相對AVL樹來說會少一些。
2．紅父
假設新點的父結點為紅色，這時就須要進行一系列操作以保證整棵樹紅黑性質。如圖3所看到的，因為父結點為紅色，此時能夠判定，祖父結點必然為黑色。這時須要依據叔父結點的顔色來決定做什麼樣的操作。青色結點表示顔色未知。因為有可能須要根結點到新點的路徑上進行多次旋轉操作，而每次進行不平衡推斷的起始點（我們可将其視為新點）都不一樣。是以我們在此使用一個藍色箭頭指向這個起始點，并稱之為判定點。
2.1 紅叔
當叔父結點為紅色時，如圖4所看到的，無需進行旋轉操作，僅僅要将父和叔結點變為黑色，将祖父結點變為紅色就可以。但因為祖父結點的父結點有可能為紅色，進而違反紅黑樹性質。此時必須将祖父結點作為新的判定點繼續向上進行平衡操作。
須要注意，不管“父”在“叔”的左邊還是右邊，不管“新”是“父”的左孩子還是右孩子，它們的操作都全然一樣。
2.2 黑叔
當叔父結點為黑色時，須要進行旋轉，下面圖示了全部的旋轉可能
情形1：
情形2：
情形3：
情形4：
能夠觀察到，當旋轉完畢後，新的旋轉根所有為黑色，此時不須要再向上回溯進行平衡操作，插入操作完畢。須要注意，上面四張圖的“叔”、“1”、“2”、“3”結點有可能為黑哨兵結點。
事實上紅黑樹的插入操作不是非常難，甚至比AVL樹的插入操作還更簡單些。但删除操作就遠遠比AVL樹複雜得多，以下就介紹紅黑樹的删除操作。
紅黑樹上結點的删除
紅黑樹本身是一棵二叉查找樹，它的删除和二叉查找樹的删除相似。首先要找到真正的删除點，當被删除結點n存在左右孩子時，真正的删除點應該是n的中序遍在前驅，關于這一點請複習二叉查找樹的删除。如圖9所看到的，當删除結點20時，實際被删除的結點應該為18，結點20的資料變為18。
是以能夠判斷出，在進行删除操作時，真正的删除點必然是僅僅有一個孩子或沒有孩子的結點。而依據紅黑樹的性質能夠得出下面兩個結論：
1、 删除操作中真正被删除的必然是僅僅有一個紅色孩子或沒有孩子的結點。
2、 假設真正的删除點是一個紅色結點，那麼它必然是一個葉子結點。
了解這兩點很重要，如圖10所看到的，除了情況(a)外，其它任一種況結點N都無法滿足紅黑樹性質。
在下面讨論中，我們使用藍色箭頭表示真正的删除點，它也是旋轉操作過程中的第一個判定點；真正的删除點使用“舊”标注，舊點所在位置将被它的的孩子結點所代替（最多僅僅有一個孩子），我們使用“新”表示舊點的孩子結點。删除操作可分為下面幾種情形：
1、舊點為紅色結點
若舊點為紅色結點，則它必然是葉子結點，直接删除就可以。如圖11所看到的
2、一紅一黑
當舊點為黑色結點，新點為紅色結點時，将新點代替舊點位置後，将新點染成黑色就可以（如圖12所看到的）。這裡須要注意：舊點為紅色，新點為黑色的情況不可能存在。
3、雙黑
當舊點和新點都為黑色時（新點為空結點時，亦屬于這樣的情況），情況比較複雜，須要依據舊點兄弟結點的顔色來決定進行什麼樣的操作。我們使用“兄”來表示舊點的兄弟結點。這裡可分為紅兄和黑兄兩種情況：
3.1 紅兄
因為兄弟結點為紅色，是以父結點必然為黑色，而舊點被删除後，新點代替了它的位置。下圖示範了兩種可能的情況：
紅兄的情況須要進行RR或LL型旋轉，然後将父結點染成紅色，兄結點染成黑色。然後又一次以新點為判定點進行平衡操作。我們能夠觀察到，旋轉操作完畢後，判定點沒有向上回溯，而是減少了一層，此時變成了黑兄的情況。
3.2 黑兄
黑兄的情況最為複雜，須要依據黑兄孩子結點（這裡用“侄”表示）和父親結點的顔色來決定做什麼樣的操作。
3.2.1 黑兄二黑侄紅父
如圖14所看到的，這樣的情況比較簡單，僅僅需将父結點變為黑色，兄結點變為黑色，新結點變為黑色就可以，删除操作到此結束。
3.2.2 黑兄二黑侄黑父
如圖15所看到的，此時将父結點染成新結點的顔色，新結點染成黑色，兄結點染成紅色就可以。當新結點為紅色時，父結點被染成紅色，此時須要以父結點為判定點繼續向上進行平衡操作。
3.2.3 黑兄紅侄
黑兄紅侄有以下四種情形，以下分别進行圖示：
由以上圖例所看到的，看完以上四張圖的兄弟有可能會有一個疑問，假設情形1和情形2中的兩個侄子結點都為紅色時，是該進行LL旋轉還是進行LR旋轉呢？答案是進行LL旋轉。情形3和情形4則是優先進行RR旋轉的判定。
教你透徹了解紅黑樹
作者 July、saturnman 2010年12月29日
本文參考：Google、算法導論、STL源代碼剖析、計算機程式設計藝術。
本人聲明：個人原創，轉載請注明出處。
推薦閱讀：Left-Leaning Red-Black Trees, Dagstuhl Workshop on Data Structures, Wadern, Germany, February, 2008.
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紅黑樹系列，四篇文章于今日已經完畢。[二零一一年一月九日]
教你透徹了解紅黑樹：
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紅黑樹算法的層層剖析與逐漸實作 [此文被推薦]
教你徹底實作紅黑樹：紅黑樹的c源代碼實作與剖析
一步一圖一代碼，一定要讓你真正徹底明确紅黑樹 [最後更新]
一、紅黑樹的介紹
先來看下算法導論對R-B Tree的介紹：
紅黑樹，一種二叉查找樹，但在每一個結點上添加一個存儲位表示結點的顔色，能夠是Red或Black。
通過對不論什麼一條從根到葉子的路徑上各個結點着色方式的限制，紅黑樹確定沒有一條路徑會比其
他路徑長出倆倍，因而是接近平衡的。
前面說了，紅黑樹，是一種二叉查找樹，既然是二叉查找樹，那麼它必滿足二叉查找樹的一般性質。
以下，在詳細介紹紅黑樹之前，咱們先來了解下 二叉查找樹的一般性質：
1.在一棵二叉查找樹上，運作查找、插入、删除等操作，的時間複雜度為O（lgn）。
由于，一棵由n個結點，随機構造的二叉查找樹的高度為lgn，是以順理成章，一般操作的運作時間為O（lgn）。
//至于n個結點的二叉樹高度為lgn的證明，可參考算法導論 第12章 二叉查找樹 第12.4節。
2.但若是一棵具有n個結點的線性鍊，則此些操作最壞情況運作時間為O（n）。
而紅黑樹，能保證在最壞情況下，主要的動态幾何操作的時間均為O（lgn）。
ok，我們知道，紅黑樹上每一個結點内含五個域，color，key，left，right。假設對應的指針域沒有，則設為NIL。
一般的，紅黑樹，滿足下面性質，即僅僅有滿足下面所有性質的樹，我們才稱之為紅黑樹：
1）每一個結點要麼是紅的，要麼是黑的。
2）根結點是黑的。
3）每一個葉結點，即空結點（NIL）是黑的。
4）假設一個結點是紅的，那麼它的倆個兒子都是黑的。
5）對每一個結點，從該結點到其子孫結點的全部路徑上包括同樣數目的黑結點。
下圖所看到的，即是一顆紅黑樹：
此圖忽略了葉子和根部的父結點。
二、樹的旋轉知識
當我們在對紅黑樹進行插入和删除等操作時，對樹做了改動，那麼可能會違背紅黑樹的性質。
為了保持紅黑樹的性質，我們能夠通過對樹進行旋轉，即改動樹種某些結點的顔色及指針結構，以達到對紅黑樹進行
插入、删除結點等操作時，紅黑樹依舊能保持它特有的性質（如上文所述的，五點性質）。
樹的旋轉，分為左旋和右旋，下面借助圖來做形象的解釋和介紹：
1.左旋
如上圖所看到的：
當在某個結點pivot上，做左旋操作時，我們如果它的右孩子y不是NIL[T]，pivot能夠為樹内随意右孩子而不是NIL[T]的結點。
左旋以pivot到y之間的鍊為“支軸”進行，它使y成為該孩子樹新的根，而y的左孩子b則成為pivot的右孩子。
來看算法導論對此操作的算法實作（以x取代上述的pivot）：
LEFT-ROTATE(T, x)
1 y ← right[x] ▹ Set y.
2 right[x] ← left[y] ▹ Turn y's left subtree into x's right subtree.
3 p[left[y]] ← x
4 p[y] ← p[x] ▹ Link x's parent to y.
5 if p[x] = nil[T]
6 then root[T] ← y
7 else if x = left[p[x]]
8 then left[p[x]] ← y
9 else right[p[x]] ← y
10 left[y] ← x ▹ Put x on y's left.
11 p[x] ← y
2.右旋
右旋與左旋差點兒相同，再此不做具體介紹。
對于樹的旋轉，能保持不變的僅僅有原樹的搜尋性質，而原樹的紅黑性質則不能保持，
在紅黑樹的資料插入和删除後可利用旋轉和顔色重塗來恢複樹的紅黑性質。
至于有些書如 STL源代碼剖析有對雙旋的描寫叙述，事實上雙旋僅僅是單旋的兩次應用，并無新的内容，
是以這裡就不再介紹了，并且左右旋也是互相對稱的，僅僅要了解當中一種旋轉就能夠了。
三、紅黑樹插入、删除操作的詳細實作
三、I、ok，接下來，咱們來詳細了解紅黑樹的插入操作。
向一棵含有n個結點的紅黑樹插入一個新結點的操作能夠在O（lgn）時間内完畢。
算法導論：
RB-INSERT(T, z)
1 y ← nil[T]
2 x ← root[T]
3 while x ≠ nil[T]
4 do y ← x
5 if key[z] < key[x]
6 then x ← left[x]
7 else x ← right[x]
8 p[z] ← y
9 if y = nil[T]
10 then root[T] ← z
11 else if key[z] < key[y]
12 then left[y] ← z
13 else right[y] ← z
14 left[z] ← nil[T]
15 right[z] ← nil[T]
16 color[z] ← RED
17 RB-INSERT-FIXUP(T, z)
咱們來詳細分析下，此段代碼：
RB-INSERT(T, z)，将z插入紅黑樹T 之内。
為保證紅黑性質在插入操作後依舊保持，上述代碼調用了一個輔助程式RB-INSERT-FIXUP
來對結點進行又一次着色，并旋轉。
15 right[z] ← nil[T] //保持正确的樹結構
第16行，将z着為紅色，因為将z着為紅色可能會違背某一條紅黑樹的性質，
是以，在第17行，調用RB-INSERT-FIXUP（T,z）來保持紅黑樹的性質。
RB-INSERT-FIXUP(T, z)，例如以下所看到的：
1 while color[p[z]] = RED
2 do if p[z] = left[p[p[z]]]
3 then y ← right[p[p[z]]]
4 if color[y] = RED
5 then color[p[z]] ← BLACK ▹ Case 1
6 color[y] ← BLACK ▹ Case 1
7 color[p[p[z]]] ← RED ▹ Case 1
8 z ← p[p[z]] ▹ Case 1
9 else if z = right[p[z]]
10 then z ← p[z] ▹ Case 2
11 LEFT-ROTATE(T, z) ▹ Case 2
12 color[p[z]] ← BLACK ▹ Case 3
13 color[p[p[z]]] ← RED ▹ Case 3
14 RIGHT-ROTATE(T, p[p[z]]) ▹ Case 3
15 else (same as then clause
with "right" and "left" exchanged)
16 color[root[T]] ← BLACK
ok，參考一網友的言論，用自己的語言，再來詳細解剖下上述倆段代碼。
為了保證闡述清晰，我再寫下紅黑樹的5個性質：
在對紅黑樹進行插入操作時，我們一般總是插入紅色的結點，由于這樣能夠在插入過程中盡量避免對樹的調整。
那麼，我們插入一個結點後，可能會使原樹的哪些性質改變列?
由于，我們是依照二叉樹的方式進行插入，是以元素的搜尋性質不會改變。
假設插入的結點是根結點，性質2會被破壞，假設插入結點的父結點是紅色，則會破壞性質4。
是以，總而言之，插入一個紅色結點僅僅會破壞性質2或性質4。
我們的回複政策非常簡單，
其一、把出現違背紅黑樹性質的結點向上移，假設能移到根結點，那麼非常easy就能通過直接改動根結點來恢複紅黑樹的性質。直接通過改動根結點來恢複紅黑樹應滿足的性質。
其二、窮舉全部的可能性，之後把能歸于同一類方法處理的歸為同一類，不能直接處理的化歸到以下的幾種情況，
//注：下面情況3、4、5與上述算法導論上的代碼RB-INSERT-FIXUP(T, z)，相相應：
情況1：插入的是根結點。原樹是空樹，此情況僅僅會違反性質2。
對策：直接把此結點塗為黑色。
情況2：插入的結點的父結點是黑色。此不會違反性質2和性質4，紅黑樹沒有被破壞。
對策：什麼也不做。
情況3：目前結點的父結點是紅色且祖父結點的還有一個子結點（叔叔結點）是紅色。此時父結點的父結點一定存在，否則插入前就已不是紅黑樹。
與此同一時候，又分為父結點是祖父結點的左子還是右子，對于對稱性，我們僅僅要解開一個方向就能夠了。
在此，我們僅僅考慮父結點為祖父左子的情況。
同一時候，還能夠分為目前結點是其父結點的左子還是右子，可是處理方式是一樣的。我們将此歸為同一類。
對策：将目前節點的父節點和叔叔節點塗黑，祖父結點塗紅，把目前結點指向祖父節點，從新的目前節點又一次開始算法。
針對情況3，變化前（圖檔來源：saturnman）[插入4節點]：
變化後：
情況4：目前節點的父節點是紅色,叔叔節點是黑色，目前節點是其父節點的右子
對策：目前節點的父節點做為新的目前節點，以新目前節點為支點左旋。
例如以下圖所看到的，變化前[插入7節點]：
情況5：目前節點的父節點是紅色,叔叔節點是黑色，目前節點是其父節點的左子
解法：父節點變為黑色，祖父節點變為紅色，在祖父節點為支點右旋
例如以下圖所看到的[插入2節點]
==================
三、II、ok，接下來，咱們最後來了解，紅黑樹的删除操作：
算法導論一書，給的算法實作：
RB-DELETE(T, z) 單純删除結點的總操作
1 if left[z] = nil[T] or right[z] = nil[T]
2 then y ← z
3 else y ← TREE-SUCCESSOR(z)
4 if left[y] ≠ nil[T]
5 then x ← left[y]
6 else x ← right[y]
7 p[x] ← p[y]
8 if p[y] = nil[T]
9 then root[T] ← x
10 else if y = left[p[y]]
11 then left[p[y]] ← x
12 else right[p[y]] ← x
13 if y 3≠ z
14 then key[z] ← key[y]
15 copy y's satellite data into z
16 if color[y] = BLACK
17 then RB-DELETE-FIXUP(T, x)
18 return y
RB-DELETE-FIXUP(T, x) 恢複與保持紅黑性質的工作
1 while x ≠ root[T] and color[x] = BLACK
2 do if x = left[p[x]]
3 then w ← right[p[x]]
4 if color[w] = RED
5 then color[w] ← BLACK ▹ Case 1
6 color[p[x]] ← RED ▹ Case 1
7 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 1
8 w ← right[p[x]] ▹ Case 1
9 if color[left[w]] = BLACK and color[right[w]] = BLACK
10 then color[w] ← RED ▹ Case 2
11 x p[x] ▹ Case 2
12 else if color[right[w]] = BLACK
13 then color[left[w]] ← BLACK ▹ Case 3
14 color[w] ← RED ▹ Case 3
15 RIGHT-ROTATE(T, w) ▹ Case 3
16 w ← right[p[x]] ▹ Case 3
17 color[w] ← color[p[x]] ▹ Case 4
18 color[p[x]] ← BLACK ▹ Case 4
19 color[right[w]] ← BLACK ▹ Case 4
20 LEFT-ROTATE(T, p[x]) ▹ Case 4
21 x ← root[T] ▹ Case 4
22 else (same as then clause with "right" and "left" exchanged)
23 color[x] ← BLACK
為了保證下面的介紹與闡述清晰，我第三次重寫下紅黑樹的5個性質
（相信，重述了3次，你應該有深刻記憶了。:D）
saturnman：
紅黑樹删除的幾種情況：
-------------------------------------------------
部落客提醒：下面全部的操作，是針對紅黑樹已經删除結點之後，
為了恢複和保持紅黑樹原有的5點性質，所做的恢複工作。
前面，我已經說了，由于插入、或删除結點後，
可能會違背、或破壞紅黑樹的原有的性質，
是以為了使插入、或删除結點後的樹依舊維持為一棵新的紅黑樹，
那就要做倆方面的工作：
1、部分結點顔色，又一次着色
2、調整部分指針的指向，即左旋、右旋。
而以下全部的文字，則是針對紅黑樹删除結點後，所做的修複紅黑樹性質的工作。
二零一一年一月七日更新。
------------------------------------------------------------
(注：下面的情況3、4、5、6，與上述算法導論之代碼RB-DELETE-FIXUP(T, x) 恢複與保持
中case1，case2，case3，case4相相應。)
情況1：目前節點是紅色
解法，直接把目前節點染成黑色，結束。
此時紅黑樹性質所有恢複。
情況2：目前節點是黑色且是根節點
解法：什麼都不做，結束
情況3：目前節點是黑色，且兄弟節點為紅色(此時父節點和兄弟節點的子節點分為黑)。
解法：把父節點染成紅色，把兄弟結點染成黑色，之後又一次進入算法（我們僅僅讨論目前節點是其父節點左孩子時的情況）。
然後，針對父節點做一次左旋。此變換後原紅黑樹性質5不變，而把問題轉化為兄弟節點為黑色的情況。
3.變化前：
3.變化後：
情況4：目前節點是黑色，且兄弟是黑色，且兄弟節點的兩個子節點全為黑色。
解法：把目前節點和兄弟節點中抽取一重黑色追加到父節點上，把父節點當成新的目前節點，又一次進入算法。（此變換後性質5不變）
4.變化前
4.變化後
情況5：目前節點顔色是黑色，兄弟節點是黑色，兄弟的左子是紅色，右子是黑色。
解法：把兄弟結點染紅，兄弟左子節點染黑，之後再在兄弟節點為支點解右旋，
之後又一次進入算法。此是把目前的情況轉化為情況6，而性質5得以保持。
5.變化前：
5.變化後：
情況6：目前節點顔色是黑色，它的兄弟節點是黑色，可是兄弟節點的右子是紅色，兄弟節點左子的顔色随意。
解法：把兄弟節點染成目前節點父節點的顔色，把目前節點父節點染成黑色，兄弟節點右子染成黑色，
之後以目前節點的父節點為支點進行左旋，此時算法結束，紅黑樹全部性質調整正确。
6.變化前：
6.變化後：
限于篇幅，不再過多贅述。很多其它，可參考算法導論或下文我寫的第二篇文章。
完。
July、二零一零年十二月二十九日初稿。三十日淩晨修訂。行文3個小時以上。
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今下午畫紅黑樹畫了好幾個鐘頭，貼倆張圖：
紅黑樹插入的3種情況：
紅黑樹删除的4種情況：
ok，僅僅貼倆張，很多其它，參考我寫的關于紅黑樹的第二篇文章：
紅黑樹算法的層層剖析與逐漸實作[推薦]javascript:void(0)
這篇文章針對算法實作源代碼分十層，層層、逐層剖析，相信，更清晰易懂。
//尤其文末針對紅黑樹的删除情況，層次清晰。
July、二零一零年十二月三十一日、最後更新。