通过之前对二叉搜索树介绍可知，将集合构造为二叉搜索树结构，该结构下对树中节点的查询、删除和插入三种操作，时间复杂度均为。影响时间复杂度的因素即为二叉树的高，为了尽量避免树中每层上只有一个节点的情况，这里引入平衡二叉树。
平衡二叉树（AVL树）
平衡二叉树也叫自平衡二叉搜索树（Self-Balancing Binary Search Tree），所以其本质也是一颗二叉搜索树，不过为了限制左右子树的高度差，避免出现倾斜树等偏向于线性结构演化的情况，所以对二叉搜索树中每个节点的左右子树作了限制，左右子树的高度差称之为平衡因子，树中每个节点的平衡因子绝对值不大于1，此时二叉搜索树称之为平衡二叉树。自平衡是指，在对平衡二叉树执行插入或删除节点操作后，可能会导致树中某个节点的平衡因子绝对值超过1，即平衡二叉树变得“不平衡”，为了恢复该节点左右子树的平衡，此时需要对节点执行旋转操作。
在执行插入或删除节点操作后，平衡因子绝对值变为大于1的情况，即左右子树的高度差为2或-2的情况，可以归纳为如下四种：
左左情况(LL)
LL情况是指根节点的平衡因子为2，根节点的左子节点平衡因子为0或1。
LL_1
如图 LL_1 所示，当节点C的子节点被删除，或者节点D插入子节点F时，根节点A的平衡因子变为2，A的左子节点B的平衡因子为1。
LL_2
或者如图 LL_2 所示，当节点C的子节点被删除，根节点A的平衡因子变为2，A的左子节点B的平衡因子为0。。
当根节点的左子树高度比右子树的高度大2，因为平衡二叉树是一种有序结构，节点值之间具有大小关系，所以如果根节点保持不变，左右子树始终分隔两岸，则无论如何调整节点位置，二叉树始终不可能恢复平衡。所以需要更换根节点，使得新的根节点的左右子树的高度趋于平衡。
该情况下需要对平衡二叉树执行右旋操作：
设置根节点root的左子节点为新的根节点
；
将
节点的右子树作为root节点的左子树，将root节点作为
的右子树，即降低“左子树”高度，提升“右子树”高度，使得新的左右子树高度趋于平衡；
对于图 LL_1，节点B的平衡因子为1，设B节点的左子树D高度为h，则右子树E高度为h-1，因为A的平衡因子为2，所以二叉树C的高度为： h-1。则右旋操作后，B的左子树高度不变为h，右子树高度为：
，此时二叉树为平衡二叉树，如下图 balanced_LL_1。
balanced_LL_1
对于图 LL_2，节点B的平衡因子为h，设B节点的左右子树高度为h，则二叉树C的高度为：h-1。右旋操作后，B的左子树高度不变为h，右子树高度为
：，此时二叉树为平衡二叉树，如下图 balanced_LL_2。
balanced_LL_2
右旋代码
其中
函数作用为更新调整后节点的平衡因子，因为右旋操作平衡因子变化的节点只有两个：原根节点和新根节点，即根节点和根节点的左子节点，所以只需要对这两个节点执行
函数。函数代码参考如下：
更新二叉树高度
树的高度也就是左右子树的高度最大值加一，若无子树，则设置树高为零。
右右情况(RR)
该情况与上面的左左情况具有对称性，对平衡二叉树执行插入或删除节点操作后，根节点的平衡因子变为-2，根节点的右子节点平衡因子为-1或0，为了恢复二叉树的平衡，需要进行左旋，来使得新的左右子树高度区域平衡。
RR
如上图RR所示，该情况下需要对平衡二叉树执行左旋操作：
设置根节点
的右子节点为新的根节点 ；
节点的左子树作为root节点的右子树，将root节点作为
的左子树，即降低“右子树”高度，提升“左子树”高度，使得新的左右子树高度趋于平衡；
左旋操作后，平衡二叉树如图 balanced_RR 所示。
balanced_RR
左旋代码
左旋操作同右旋一样，只更改了原根节点和新根节点的平衡因子，所以只需要对这两个节点执行
函数。
左右情况
该情况下根节点的平衡因子与左左情况相同，都为2，不同之处在于左子节点的平衡因子为-1，若按照之前直接进行右旋操作，则旋转操作后二叉树扔处于不平衡状态。
对于图 LR，节点B的平衡因子为-1，设B节点的左子树D高度为h，则右子树E高度为h+1，因为A的平衡因子为2，所以二叉树C的高度为： h。则右旋操作后，B的左子树高度不变为h，右子树高度为：
，因为B的平衡因子为-2，所以按此方式的旋转操作没有效果。
所以该情况下，首先需要对根节点的左子节点进行调整，即将左子节点的平衡因子由-1调整为1， 使得当前情况转换为LL情况，然后再对二叉树执行右旋操作。
step 1:对左子树执行左旋操作
step_1
step 2:对二叉树执行右旋操作
step_2
右左情况
该情况与上面左右情况对称，根节点的平衡因子为-2，右子节点平衡因子为1，需要首先对右子树进行右旋操作，调整二叉树为RR情况，再对二叉树执行左旋操作。
RL
step 1:对右子树执行右旋操作
step_1
step 2:对二叉树执行左旋操作
step_2
因为平衡二叉树也是二叉搜索树，回顾二叉搜索树中的操作复杂度，查询、插入和删除复杂度均为。平衡二叉树中查询复杂度影响因素自然为树的高度；插入节点操作可以拆分为两个步骤：查询节点位置，插入节点后平衡操作；删除节点操作同理可以拆分为两个步骤：查询节点位置，删除节点后平衡操作。 平衡调节过程中可能存在旋转操作，递归执行的次数则依赖于树的高度（可以优化为当前节点平衡因子不发生变化，则取消向上递归）。所以平衡二叉树中查询、插入和删除节点操作的复杂度依赖于树高。平衡二叉树（AVL树）
平衡二叉树因为左右子树的平衡因子限制，所以不可能存在类似于斜树的情况，因为任一节点的左右子树高度差最大为一，且二叉树具有对称性，所以不妨设每个子树的左子树高度大于右子树高度。
AVL
根据平衡二叉树定义可知，若二叉树左子树高度为
，则右子树高度最少也要是h-1，方能满足平衡二叉树的平衡特性。以F(H)表示高度为H的平衡二叉树的最少节点个数，若二叉树不是空树则有：
根据推导公式可知，平衡二叉树的高度最大为
。当二叉树向完全二叉树靠拢，尽量填满每层上的节点时，树的高度最小，为
。所以相对于二叉搜索树，平衡二叉树避免了向线性结构演化的倾向，查询、插入和删除节点的时间复杂度为
。因为每个节点上需要保存平衡因子，所以空间复杂度要略高于二叉搜索树。
python版本：3.7，树中的遍历、节点插入和删除操作使用的是递归形式
树节点定义
相对于二叉搜索树的节点定义，增加了height属性。
树定义
模块中对树结构中的函数进行实现
测试代码与输出
输出结果为：