最大子序列和问题

问题： 

给定一整数序列a1， a2，... an （可能有负数），求a1~an的一个子序列ai~aj，使得ai到aj的和最大。 

例如：整数序列-2, 11, -4, 13, -5, 2, -5, -3, 12, -9的最大子序列的和为19。对于这个问题，最简单也是最容易想到的那就是穷举所有子序列的方法。利用三重循环，依次求出所有子序列的和然后取最大的那个。当然算法复杂度会达到o(n^3)。

这个算法很简单，i表示子序列起始下标，j表示子序列结束下标，遍历子序列的开头和结束下标，计算子序列的和，然后判断最大子序列。很明显的看出算法复杂度是o(n^3)。

显然这种方法不是最优的，下面给出一个算法复杂度为o(n)的线性算法实现，算法的来源于programming pearls一书。在给出线性算法之前，先来看一个对穷举算法进行优化的算法，它的算法复杂度为o(n^2)。其实这个算法只是对对穷举算法稍微做了一些修改：其实子序列的和我们并不需要每次都重新计算一遍。假设sum(i, j)是a[i] ... a[j]的和，那么sum(i, j+1) = sum(i, j) + a[j+1]。利用这一个递推，我们就可以得到下面这个算法：

那怎样才能达到线性复杂度呢？这里运用动态规划的思想。先看一下源代码实现：

在这一遍扫描数组当中，从左到右记录当前子序列的和temp_sum，若这个和不断增加，那么最大子序列的和max也不断增加(不断更新max)。如果往前扫描中遇到负数，那么当前子序列的和将会减小。此时temp_sum 将会小于max，当然max也就不更新。如果temp_sum降到0时，说明前面已经扫描的那一段就可以抛弃了，这时将temp_sum置为0。然后，temp_sum将从后面开始将这个子段进行分析，若有比当前max大的子段，继续更新max。这样一趟扫描结果也就出来了。 

分治法：

最大子序列和可能出现在三个地方：整个出现在输入数据的左半部分，整个出现在输入数据的右半部分，或者跨越输入数据的中部从而占据左右两个半部分。

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