如图一，为一道小学五年级数学附加题：一大一小两正方形叠放后、小正方形剩余部分图形的面积！
图一
贝笑数学第17题：一大一小正方形叠放在一起，小正方形的一个顶点与大正方形的中心重合，大小正方形的边长分别为6cm和4cm，求阴影部分面积。
此题实为“错题”，需分三类情形求解，但其中两类“严重超纲”需用到高中知识方可求解，且99%的人会遗漏两类超纲情形！
一、题“错”的根源：3√2＞4。
由“小正方形的边长为4、大正方形边长为6”，易知3√2＞4，这是造成“错题”的根本原因。“3√2＞4”会导致小正方形上的点D和E可能落入大正方形内部，D、E见图二的标注。
二、如何纠错？记大小正方形边长分别为a和b，需满足a√2≤2b。
面向小学生的此类题型，一般只考虑点D在大正方形外部或边上，否则严重超纲，需要用到高中知识进行分类求解。
为方便起见，记大小正方形边长分别为a和b，为保证点D在大正方形外部或边上，需满足a√2≤2b。
具体到第17题，若小正方形边长取值不变仍为4，则大正方形边长取值必须满足“4≤a≤4√2”。若大正方形边长取值不变仍为6，则小正方形边长取值必须满足“6≥b≥3√2”。
比如，大正方形边长为6，小正方形边长取值5，即可避免点D落入大正方形内部。
再比如，小正方形边长为4，大正方形边长取值5，亦可避免点D落入大正方形内部。
三、错题分析：对小学生而言，第17题实为“错题”！
为方便说明，
在图一中记大正方形的顶点为C、其上侧边中点为A、小正方形的顶点为E，两个正方形边上的交点记为B，连接OC与小正方形的一边相交于点D，如图二。
图二
注：图二中，①点O、点A和点C是固定的，不随两正方形的相交或重合位置发生变化；②点B会随着两正方形相交位置不同而不同，点D在OC上移动，点E在OB上移动。
从图二来看，第17题需考虑三种情形：
情形1）点D在大正方形的外部或边上，点E在大正方形的外部。
情形2）点D在大正方形的内部，点E在大正方形的外部或边上。
情形3）点D和E均在大正方形的内部。
其中仅情形1）可用小学知识求解。故第17题实为“错题”无疑！
四、情形1）的不超纲求解
此时，OD≥OC=3√2且OB＜OE=4。可理解为“从小正方形一边OB与OA重合为初始情形，小正方形在OA的两侧两侧绕点O旋转的∠AOB＜45°-arctan√2/4。
解法一：
由于点D在大正方形的外部或与点C重合，此时点E必在大正方形的外部。
图三
注意到OB垂直OA'，反向延长OB与OB'分别相交于大正方形的边，则大正方形被两条相互垂直、且经过中心的直线均分为四个区域。即S阴影=16-36÷4＝7cm²
解法二：
将△OAB绕点O逆时针旋转90°至△OA'B'，则S△OAB＝S△OA'B'，也即S四边形OBCB'=S正方形OACA'=1/4S大正方形=9cm²，也即S阴影=16－9=7cm²。
五、情形2）的说明及超纲解析
此时OD＜OC=3√2且OB≤OE=4，即45°-arctan√2/4＜∠AOB≤arctan√7/3。
当OE=OB即B与E重合时，AB=√7且BC=3-√7
图四
小正方形实为OBGB'，D落在大正方形内、OB的内侧，记为D'。阴影部分图形为△B'GH，GB'=OB=4，其中H为BG与大正方形左侧边的交点。
注意到△BCH与△OAB相似，其对应边长比为（3-√7)/3。
又知S△OAB=3√7/2，从而S△BCH=3√7/2×(16-6√7)/9=(8√7-21)/3。
故S阴影=S小正方形-S四边形OBCB'+S△BCH
=7+(8√7-21)/3=8√7/3＞7。
当OE大于OB时，可类似求解。
六、情形3）的说明及超纲解析
图五
此时OD＜OC=3√2且OB＞OE=4，即∠AOB＞arctan√7/3。小正方形与大正方形的位置关系，如图五。小正方形为OEMN。EM、MN与大正方形左侧边的交点分别记为P、Q，则阴影为△PMQ。注意到△PMQ与△B'NQ相似。
此时阴影部分面积随着E、N落点的变化而变化。
其特殊情形E、N落在大正方形的对角线上，即点E在OB上且OE=4。
仅就该特殊情形求解如下：
此时阴影部分△PMQ为等腰直角三角形。
OP=OQ，OM=4√2，OM垂直PQ，将OM与PQ的交点记为K，则OK=3，MK=4√2-3。从而△PMQ的斜边长为8√2-6，因此S阴影△PMQ=(164-96√2)/4=41-24√2。
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