并查集简介

（2010-03-06）

1、定义

        并查集(union-find sets)是一种简单的用途广泛的集合。并查集是若干个不相交集合（Disjoint Sets），能够实现较快的集合合并和判断元素所在集合的操作，应用很多。实际中通常采用树形结构来表示并查集：每棵树表示一个集合，不相交的集合则构成森林。一棵树的每个节点包含如下信息：父节点指针p[x]，树的深度rank[x]。

2、操作

2.1 建立一个集合

      初始时，为每个元素x都建立一个集合：Make-Set(x)，集合的元素只有它自己，伪代码如下：

Make-Set(x)

　　 p[x]←x

　　 rank[x]←0

2.2 查找元素所在集合

       由于我们用一棵树来表示集合，则为操作方便，每个集合有一个代表元素，我们将之定义为该树的根，则查找元素x所在集合的操作Find-Set(x)伪代码如下：

Find-Set(x)

　　if x=p[x]

　    then return x

　    else return Find-Set(p[x])

2.3 合并不相交集合

       合并元素a所在集合和元素b所在集合是将a所在树的根节点的父节点改为b所在树的根节点。这个操作Unin(a,b)只需O(1)的时间。

Union(a,b)

　　Link(Find-Set(a),Find-Set(b))  

Link(a,b)

　　p[a]←b

由此可见Union的速度取决于Find-Set的速度。

3、优化

      上述Find-Set(x)操作的时间复杂度与树的深度成线性关系，因此其平均时间复杂度为O(logN)，但在最坏情况下（树退化成链表），时间复杂度为O(N)。所以有必要对算法进行优化。

3.1 启发式合并

       在Link函数中，我们将深度较小的树指到深度较大的树的根上。这样可以防止树的退化，最坏情况不会出现。可以证明：这样优化后树的深度为O(log N)，所以Find-Set(x)的时间复杂度为O(log N)。改进后的Link函数伪代码如下所示：

Link(a,b)

　　if rank[a]>rank[b]

　　then p[b]←a

　　else p[a]←b

　　   if rank[a]=rank[b]

　　   then rank[b]←rank[b]+1

3.2 路径压缩

      为了使得Find-Set(x)的效率更高，我们还要进行路径压缩，即在找到x的最远祖先（集合代表根）时顺便把查找路径上的子孙的父节点直接改为该根，这样以后Find-Set的时间复杂度可以认为是常数的。改进后的Find-Set伪代码如下：

Find-Set(x)

        if p[x]≠x

　    then p[x]←Find-Set(p[x])

　    return p[x]

递归的程序有许多栈的操作，改成非递归会更快些：

Find-Set(x)

　    r←x

        while p[r]≠ r

　　   do r←p[r]

        while r≠x

　　   do q←p[x]

　　   p[x]←r

　　   x←q

       return r

3.3 时间复杂度

        经过启发式合并和路径压缩之后的并查集进行n次查找的时间复杂度是O(nα(m,n))（执行n-1次合并和m>=n次查找）。其中α(m,n)是一个增长极其缓慢的函数，是Ackerman函数的某个反函数，它可以看作是小于5的。所以可以认为并查集的时间复杂度几乎是线性的。

 【附】

Ackerman函数 一种双递归函数，满足以下定义：

Ackerman(1,0)=2 Ackerman(0,m)=1 ，m>=0 Ackerman(n,0)=n+2，n>=2 Ackerman(n,m)=Ackerman(Ackerman(n-1,m),m-1)， n,m>=1