并查集路径压缩算法改进

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• ​​优化find​​
• ​​加权标记（改进merge）​​

大多数情况下，查询只关心根节点是谁，并不关心这棵树的形态，查询的时候，我们只要能判断两个节点的根节点是否相同即可

但是我们希望查询过程中，效率能稍微高一些。希望树能矮一点，这样我们从某个节点出发找根节点时，会更快速

假如当前的并查集如下，我们需要合并7和8所在树的根节点，我们从8出发找到根节点1，我们又从7出发经过相同的路径找到根节点1，然后我们发现根节点相同，不用合并，这样效率就很低了

优化find

我们进行如下优化：查询的时候将访问过的每个点的父节点修改成树根，这样的方法叫做路径压缩

由于无论是查询还是合并，我们都是操作根节点，修改后树变矮了，我们查找根节点更快，同时也不影响查询、合并的结果

查询的时候将访问过的每个点的父节点修改成树根，这样的方法叫做路径压缩

int find_root(int x) {
  if (x <= 0 || x >= SIZE) {
    return -1;
  }
  
  // 用于记录已经遍历过的节点
  vector<int> pos;
  while (x != parent[x]) {
    pos.push_back(x);
    x = parent[x];
  }
  for (int p : pos) {
    parent[p] = x;
  }
  return x;
}

// 递归版本的查询
int cur_find(int x) {
  if (x <= 0 || x >= SIZE) {
    return -1;
  }
  if (x == parent[x]) {
    return x;
  }
  else {
    // 查询的时候将访问过的每个点的父节点修改成树根
    parent[x] = cur_find(parent[x]);
    return parent[x];
  }
}      

find执行以后，后面的查询效率就很好，但美中不足的是，第一次执行find的效率不高，这需要使用加权标记方法优化

加权标记（改进merge）

为什么会产生上图那么高的树呢？因为我们merge的时候，父子关系一直都是一个方向

void merge(int x, int y) {
  x = cur_find(x);
  y = cur_find(y);
  if (x != y) {
    parent[y] = x; // x永远是y的父亲
    // parent[x] = y;
  }
}      

对于以上的merge代码，我们如果按照如下的方式输入，并执行merge，就会产生图中的树

7   8
6   7
4   6
2   4
1   2
1   3
1   5      

我们希望在构建并查集的过程中，进行集合合并的时候，能够使树能矮一点。我们使用加权标记的方式实现，使用一个height数组，记录每个节点的层高，下标则表示节点的编号

merge的时候，谁的height大，谁就作为父节点，由于我们只更新根节点的高度，在矮树挂在高树的情况下，根节点的高度不用更新

如果两棵树一样高，根节点合并以后，需要更新作为父亲的那棵树的根节点的height

再像上面一样输入，我们merge的时候，就能得到如下结构的并查集

// 合并x和y所在的集合
void merge(int x, int y) {
  x = cur_find(x);
  y = cur_find(y);
  if (x != y) {
    // 这里x和y都是根节点，谁矮谁作为孩子节点
    if (height[x] > height[y]) {
      parent[y] = x;
    }
    else {
      if (height[x] == height[y]) {
        // y作为合并以后树的根，根节点高度要+1
        height[y]++;
      }
      parent[x] = y;
    }
  }
}      

用谁高谁当父亲的方式merge的时候，我们一直用单个节点往树中加入，这棵树一定只有两层

从单个节点开始构造并查集，使用谁高谁当父亲的方式merge，会得到两层的树。我们使用两个两层的树结合，两个根节点一样高，我们随便选取一个节点当父亲，更新该父节点的height即可（并不是更新所有节点的height），因为我们合并的时候只看根节点的高度。所以不是什么时候节点对应的height都是准的，可以保证的是，当前根节点的height是准的

比如我们按照如下的方式构造并查集，就会出现有的节点的height不准确

1   5
1   6
2   3
2   4
1   2