一、简介
1 车辆路径问题概述
车辆路径问题(vehicle routing problem，VRP)给定一组有容量限制的车辆的集合、一个物流中心（或供货地）、若干有供货需求的客户，组织适当的行车路线，使车辆有序地通过所有的客户，在满足一定的约束条件（如需求量、服务时间限制、车辆容量限制、行驶里程限制等）下，达到一定的目标（如路程最短、费用极小、时间尽量少、使用车辆数尽量少等）。
以配送总里程最短为目标函数，约束条件满足：(1)每条配送路径上各客户的需求量之和不超过配送车辆的载重量；(2)每条配送路径的长度不超过配送车辆一次配送的最大行驶距离；(3)每个客户的需求必须满足，且只能由一台配送车辆送货。
2 遗传算法
遗传算法（Genetic Algorithm, GA）是一种较为经典的智能优化算法，经大量的研究表明，其在求解离散组合优化问题中有着优异的表现。遗传算法的思想为优胜劣汰，通过交叉操作、变异操作获得多样性的解，在下一代中保留目标函数最优的解，并通过轮盘赌方式选择下一代个体，不断循环迭代，从而不断优化问题的解。本文采用Matlab R2010b编程实现，遗传算法求解车辆路径问题的具体内容及步骤如下：
2.1 编码操作
车辆路径问题为离散优化问题，结合约束条件3：每个客户的需求必须满足，且只能由一台配送车辆送货，可以以客户整数编号的排序进行编码，保证每个客户编号能且只能出现一次。比如说：客户数量为8，则编码的染色体可以为1-2-3-4-5-6-7-8。
2.2 解码操作
解码操作需要在满足约束条件1、2的前提下，将染色体解码为车辆的配送路径，为计算目标值做好准备。根据排列顺序进行解码，主要判断该客户加入到车辆配送路径后，是否满足该车的最大行驶距离，是否满足该车的最大载重量。比如说染色体1-2-3-4-5-6-7-8，第1辆车路径：将客户1加入到该车的路径中，则第1辆车的行驶路线为0-1-0，表示，该车从物流中心0出发，将货物运到客户1，再返回物流中心，计算行驶距离是否满足第1辆车的最大行驶距离，同时计算运货量是否满足第1辆车的最大载货量，再确定客户2如果加入第1辆车的路径是否满足以上2个条件，如果满足，则第1辆车的行驶路线为0-1-2-0，依次类推，如果不满足其中的1个条件，则需要增加1辆车即为从物流中心出发的第2条行驶路线。
2.3 计算目标值
根据解码出来的车辆行驶路径，计算目标值即为总配送里程。但需要判断解码出来的行驶路径的数量是否超过总车辆数，若未超过则按所有车辆路径相加得到总配送里程，若超过总车辆数，则说明该配送路径不可行，该解为不可行解，因该问题为最小化优化问题，可通过罚函数增大目标值来淘汰掉该不可行解。
2.4 交叉操作
交叉操作是根据两个父代的染色体信息，根据交叉概率Pc交换某些片段，从而使父代的信息能够遗传给子代，本质是根据父代的染色体信息产生子代（新解），交叉操作的实现方式有多种，本文给出了一种交换染色体片段的交叉操作，如下图所示。
2.5. 变异操作
变异操作是在父代的染色体信息基础上，根据变异概率Pm改变某些基因位，从而使整个染色体发生变化，该操作对染色体的改变程度小于交叉操作，变异操作的实现方式有多种，本文给出了一种单点位基因突变的变异操作，如下图所示。
2.6. 选择操作
选择操作以目标值较好的染色体及随机产生的新染色体组成，在确保优良基因能传递给下一代的基础上，通过随机产生的新解扩大染色体的多样性。
2.7. 算法流程
遗传算法求解车辆路径问题的算法步骤如下：
3、算法验证
实例1：某物流中心有2台配送车辆，其载重量均为8t，车辆每次配送的最大行驶距离为50Km，配送中心（编号为0）与8个客户之间及8个客户相互之间的距离dij、8个客户的货物需求量qj（i, j=1，2，……，8）见下表1。要求合理安排车辆配送路线，使配送总里程最短。
根据以上问题的数据信息，设置好遗传算法的参数，通过遗传算法求解该车辆路径问题得到最有解为【1-3-5-6-4-7-2-8】，最短距离为【69.5】，解码操作得到的车辆路径为【0-1-3-5-6-0】、【0-4-7-2-8-0】。
二、源代码
clc
clear
close all;
tic;
%%
%算法参数
population_num=80;%种群规模
Max_gen=200;%迭代次数
Pc=0.9;%交叉概率
Pm=0.09;%变异概率
%%
%问题参数
%车辆数量Car_num=2
%客户数量Customer_num=8
%车辆容量capacity_max=8
%行驶距离distance_max=50
Car_num=2;
Customer_num=8;
capacity_max=8;
distance_max=50;
load Demand %客户的需求
load Distance %客户间的距离
load X %物流中心到客户间的距离
%%
%种群初始化
population=zeros(population_num,Customer_num);
for i=1:population_num
population(i,:)=randperm(Customer_num);
end
%%
y=1;%循环计数器
while y<Max_gen
%交叉
[new_pop_intercross]=Mating_pool(population_num,population,Pc);
%变异
[new_pop_mutation]=Mutation(new_pop_intercross,Pm);
%计算目标函数
mutation_num=size(new_pop_mutation,1);
Total_Dis=[];
for k=1:mutation_num
[Result]=decode(new_pop_mutation(k,:),distance_max,capacity_max);
[Total_Dis(k,1)]=parameter(Result,Customer_num,Car_num);
end
%更新种群
new_pop_new=zeros(population_num,Customer_num);
[Total_Dissort, index] = sort(Total_Dis);
for k=1:population_num
new_pop_new(k,:)=new_pop_mutation(index(k),:);
end
population=new_pop_new;
%迭代次数加一
y=y+1;
end
function [new_pop_intercross]=Mating_pool(population_num,population,Pc)
%%
%输入:population,population_num,Pc
%输出：1.new_popopulation_intercross
% 2.c3，配对池：随机将种群population两两配对
% 3.pool
%%
pl=randperm(population_num);
num=population_num/2;
c3=zeros(2,num);
pool=[];
new_pop_intercross=population;
for kj=1:num
c3(1,kj)=pl(2*kj-1);
c3(2,kj)=pl(2*kj);
end%生成“配对池c3”
%%判断“配对池c3”每一对个体的随机数是否小于交叉概率Pc
rd=rand(1,num);
for kj=1:num
if rd(kj)<Pc
pool=[pool,c3(:,kj)];
end
end
%%判断配对池每一对个体的随机数是否小于交叉概率Pc,若小于，保存到“产子池pool”1
pool_num=size(pool,2);
for kj=1:pool_num
c1=population(pool(1,kj),:);
c2=population(pool(2,kj),:);
[new_c1,new_c2]=cross(c1,c2);
new_pop_intercross(pool(1,kj),:)=new_c1;
new_pop_intercross(pool(2,kj),:)=new_c2;
end
end
function [Total_Dis]=parameter(Result,Customer_num,Car_num)
%% 解码1
if Result(Customer_num,2)<=Car_num
Current_Workstation=1;
Total_Dis=0;
for i=1:Customer_num
if Result(i,2)==Current_Workstation;
continue
else
Total_Dis=Total_Dis+Result(i-1,3);
Current_Workstation=Current_Workstation+1;
end
end
Total_Dis=Total_Dis+Result(Customer_num,3);
else
Total_Dis=10000;%引入罚函数
end
三、运行结果
四、备注
版本：2014a