算法之分治算法

1       分治思想

 （Divide-and-Conquer）

分治算法的基本思想是将一个规模为N的问题分解为K个规模较小的子问题，这些子问题相互独立且与原问题性质相同。求出子问题的解，就可得到原问题的解。

2       分治法解题的一般步骤

（1）分解（ Divide  ）：，将要解决的问题划分成若干规模较小的同类问题；

（2）求解（ Conquer）：，当子问题划分得足够小时，用较简单的方法解决；

（3）合并（Combine）：，按原问题的要求，将子问题的解逐层合并构成原问题的解。

 通用框架：用递归的方式划分到一定程度

   分解 → 直接或递归求解子问题 → 组合

在递归求解子问题时同样要注意理清递归关系、递归出口、参数设置等问题。

divide_and_conquer(data)

{
            if(data数据量较小）直接处理data得到结果，或者有个结束的判断，因为这个是在递归；
            else
            {
                       A.将data分为多个部分data1,data2,.....datan
                       并分别递归调用divide_and_conquer处理各个部分!
                       B.合并data1,data2,....datan处理之后的结果！
             }
}
           

3       实例1---归并排序

思想：分而治之

每个递归过程涉及三个步骤：

1、 分解：把待排序的n个元素的序列分解成两个子序列，每个子序列包括n/2个元素。

2、 治理：把每个子序列分别调用归并排序MergeSort，进行递归操作。

3、 合并：合并两个排好序的子序列，生成排序结果

归并排序的工作原理：

1、 申请空间，使其大小为两个已经排序序列之和，该空间用来存放合并后的序列。

2、 设定两个指针，最初位置分别为两个已经排序序列的起始位置

3、 比较两个指针所指向的元素，选择相对小的元素放入到合并空间，并移动指针到下一个位置

4、 重复步骤3直到某一指针达到序列尾

5、 将另一序列剩下的所有元素直接复制到合并序列尾

代码：

//我认为此题的关键时理解了temparray 这个数组，它是临时的存放每一次的排序结果
           

//分治还有个明显的特点是left和right的下标，也就是说有一个分的标志
void Merge(int* array, int* tempararay, int left, int middle, int right)
{
	//左指针尾
	int leftend = middle-1;
	//右指针头
	int rightstart = middle;
	int tempIndex = left;
	//数组合并后的length长度
	int tempLength = right - left + 1;
	//相当于排序，把临时的结果放入到tempararay中
	while( (left <= leftend) && (rightstart <= right) )
	{
		if(array[left]<array[rightstart])
		{
			tempararay[tempIndex++] = array[left++];
		}
		else
		{
			tempararay[tempIndex++] = array[rightstart++];
		}
	}	
	//判断左序列是否结束
	while(left <= leftend)
		tempararay[tempIndex++] = array[left++];

	while(rightstart <= right)
		tempararay[tempIndex++] = array[rightstart++];
	
	//交换临时排序的数据
	for(int i=0; i<tempLength; i++)
	{
		array[right] = tempararay[right];
		cout<<array[right]<<" ";
		right--;
	}
	if(tempLength)
		cout<<endl;
}
void MergeSort(int* array, int* temparray, int left, int right)
{
	if(left < right)
	{
		//1、分解划分成前后两部分
		int middle = (left+right)/2;
		//2、对分解治理
		MergeSort(array, temparray, left, middle);
		//2、对分解治理
		MergeSort(array, temparray, middle+1, right);
		//3、合并
		Merge(array, temparray, left, middle+1, right);
	}
}
int main()
{
	int a[] = {13,7,8,3,60,50,4};
	int len = sizeof(a)/sizeof(int);
	//需要申请一块临时的内存保存排序结果
	int* b = new int[len]; 
	MergeSort(a,b,0,len-1);
	for(int i=0; i<len; i++)
	{
		cout<<a[i]<<",";
	}
}
           

4       快速排序

 分而治之

//一趟排序，每一次一趟之后，前半部分是小的，后半部分是大的
int Partition(int *array, int low, int high)
{
	//*array = *(array+low);
	int pivotKey = *(array+low);

	while(low<high)
	{
		while(low<high && *(array+high)>pivotKey)
			--high;
		*(array+low) = *(array+high);
		while(low<high && *(array+low)<pivotKey)
			++low;
		*(array+high) = *(array+low);
	}
	*(array+low) = pivotKey;

	return low;
}
//再写分治法的代码：
void QSort(int *array, int low, int high)
{
	if(low<high)
	{
		//1. 分解
		int middle = Partition(array, low, high);
		//2. 递归求解
		QSort(array, low , middle-1);
		QSort(array, middle+1, high);
		//3. 合并：由于分解出的两个字序列是就地进行的，所以不需要再次合并
	}
}
void BinarySort(int *array, int length, int data)
{
	QSort(array,0,length-1);
}
           

5       循环赛日程

n个选手的比赛日程可以通过n/2个选手的比赛日程来确定，递归调用，直到剩下两个选手的时候，比赛日程就可以很容易的确定

先计算出一部分，然后另一部分赋值

/// <param name="index">起始选手编号</param> 
/// <param name="num">选手的人数(因为是分治，所以每次砍半)</param>
void GameCal(int index, int num)
{
	if( num == 2)
	{
		GameList[index-1,0] = index;
		GameList[index-1,1] = index+1;
		GameList[index,0] = index+1;
		GameList[index,1] = index;
	}
	else
	{
		//分而递归
		GameCal(index, num/2);
		GameCal(index + num/2, num/2);
		//合并
		//将“左下角”填充到“右上角”

		//控制横坐标
		for(int i=index; i<index+num/2; i++)
		{
			//控制纵坐标
			for(int j=num/2; j<num; j++)
			{
				GameList[i-1][j] = GameList[(i-1) + num/2][j - num/2];
			}
		}

		//用于将“左上角”填充到“右下角”
		//控制横
		for(int i=index+num/2; i<index+num; i++)
		{
			//控制纵坐标
			for(int j=num/2; j<num; j++)
			{
				//对角赋值                        
				GameList[i - 1][j] = GameList[(i - 1) - num / 2][j - num / 2];
			}
		}
	}
}
           

6        二分搜索法

int BinarySearch(int a[], int &x, int left, int right)
{
	while(left < right)
	{
		int middle = (left + right)/2;
		if(a[middle] == x) return middle;
		if(a[middle] < x) right = middle - 1;
		else left = middle + 1;
	}
}
           

7   最近点对问题

1）蛮力法：

计算每两个之间的距离，然后比较，也就是计算(n-1)与n个元素之间的比较

2）分治法：

     a.  找中线把n个元素分成左右两部分分别求得两边的最短距离，然后取两者中的最小者，计为len

     b.  在中线两边分别取len的距离。记录该距离范围内点的个数，中线左边有L个元素，右边有R个元素。

     c.  求左边元素到右边元素的距离看其是否小于之前记录的len，小则记录下来。

     d.  此时的右边元素只取y值和左边元素y值距离小于1的（减少循环次数）。

     e.  循环结束即可找到最小的距离

8   Strassen矩阵乘法

9 大整数乘法