R语言中的线性判别分析

      在R语言中，线性判别分析（Liner Discriminant Analysis，简称LDA），依靠软件包MASS中有线性判别函数lqa()来实现。该函数有三种调用格式：

1）当对象为数据框data.frame时

   lda(x,grouping,prior = propotions,tol = 1.0e-4,method,CV = FALSE,nu,...)

2) 当对象为公式Formula时

   lda(formula,data,...,subnet,na.action)

3) 当对象为矩阵Matrix时

   lda(x,group,...,subnet,na.action)

   对于第一种情况，grouping表示每个观测样本的所属类别；

   prior表示各类别的先验概率，默认取训练集中各样本的比例；

                   tol表示筛选变量，默认取0.0001

   对于第二种情况，formula表示判别公式，比如，y~x1+x2+x3,或者y~x1*x1

                   data表示数据集

                   subnet表示样本

                   na.action表示处理缺失值的方法，默认为“如果样本中有缺失值，则lda()函数无法运行”；如果设置为na.omit，则表示“自动删除样本中的缺失值，然                    后，进行计算”

   对于第三种情况，x表示矩阵                

   data表示数据集

                   subnet表示样本

                   na.action表示处理缺失值的方法，默认为“如果样本中有缺失值，则lda()函数无法运行”；如果设置为na.omit，则表示“自动删除样本中的缺失值，然                    后，进行计算”

    下面，举一个例子，来说明线性判别分析。我们选用kknn软件包中的miete数据集进行算法演示。miete数据集记录了1994年慕尼黑的住房佣金标准中一些有趣变量，比如房子的面积、是否有浴室、是否有中央供暖、是否供应热水等等，这些因素都影响着佣金的高低。

    1.数据概况

    首先，简单了解一下，miete数据集。

> library(kknn)
> data(miete)
> head(miete)
           

 nm wfl     bj bad0 zh ww0 badkach fenster kueche mvdauer bjkat wflkat

1  693.29  50 1971.5    0  1   0       0       0      0       2     4      1

2  736.60  70 1971.5    0  1   0       0       0      0      26     4      2

3  732.23  50 1971.5    0  1   0       0       0      0       1     4      1

4 1295.14  55 1893.0    0  1   0       0       0      0       0     1      2

5  394.97  46 1957.0    0  0   1       0       0      0      27     3      1

6 1285.64  94 1971.5    0  1   0       1       0      0       2     4      3

       nmqm rooms nmkat adr wohn

1 13.865800     1     3   2    2

2 10.522857     3     3   2    2

3 14.644600     1     3   2    2

4 23.548000     3     5   2    2

5  8.586304     3     1   2    2

6 13.677021     4     5   2    2

> dim(miete)
           

[1] 1082   17

  我们看到，该数据集一共有1082条样本，和17个变量。下面，我们利用summary（）来查看变量的信息。

> summary(miete)
           

       nm              wfl               bj       bad0     zh      ww0     

 Min.   : 127.1   Min.   : 20.00   Min.   :1800   0:1051   0:202   0:1022  

 1st Qu.: 543.6   1st Qu.: 50.25   1st Qu.:1934   1:  31   1:880   1:  60  

 Median : 746.0   Median : 67.00   Median :1957                            

 Mean   : 830.3   Mean   : 69.13   Mean   :1947                            

 3rd Qu.:1030.0   3rd Qu.: 84.00   3rd Qu.:1972                            

 Max.   :3130.0   Max.   :250.00   Max.   :1992                            

 badkach fenster  kueche     mvdauer      bjkat   wflkat       nmqm       

 0:446   0:1024   0:980   Min.   : 0.00   1:218   1:271   Min.   : 1.573  

 1:636   1:  58   1:102   1st Qu.: 2.00   2:154   2:513   1st Qu.: 8.864  

                          Median : 6.00   3:341   3:298   Median :12.041  

                          Mean   :10.63   4:226           Mean   :12.647  

                          3rd Qu.:17.00   5: 79           3rd Qu.:16.135  

                          Max.   :82.00   6: 64           Max.   :35.245  

     rooms       nmkat   adr      wohn   

 Min.   :1.000   1:219   1:  25   1: 90  

 1st Qu.:2.000   2:230   2:1035   2:673  

 Median :3.000   3:210   3:  22   3:319  

 Mean   :2.635   4:208                   

 3rd Qu.:3.000   5:215                   

 Max.   :9.000                           

      我们可以选择nmkat(净租金)作为 待判别变量---一是，由于该变量在含义上容易受其他变量影响，为被解释变量；二是，nmkat自身就有5个等级类别，其相应的样本量依次为 219、230、210、208、215，即每一类的样本量都为200个左右，分布比较均匀。

      2.数据预处理

      下面，我们将miete数据集，分为训练集和测试集。

      为了提高判别效果，我们考虑采用分层抽样的方式，由于miete数据集中，待判别变量nmkat的5个等级分布比较均匀，因此采用5个等级按等量抽取样本。（如果分布不均匀，则采用按比例抽取样本）。具体如下：

> library(sampling)
> n = round(2/3*nrow(miete)/5)
> n
           

[1] 144

    可以看到，训练集占总样本的2/3，测试集占总样本的1/3，从训练集中nmkat变量的每一个等级抽取的样本数是144个。

> #以nmkat变量的5个等级划分层次，进行分层抽样
> sub_train = strata(miete,stratanames = "nmkat",size=rep(n,5),method="srswor")
> head(sub_train)
           

 #显示训练集抽取的情况，包括nmkat变量取值、该样本在数据集中的序号、被抽取的概率、以及被抽取的层次。

   nmkat ID_unit      Prob Stratum

1      3       1 0.6857143       1

2      3       2 0.6857143       1

3      3       3 0.6857143       1

16     3      16 0.6857143       1

20     3      20 0.6857143       1

22     3      22 0.6857143       1

>

> #获取如上ID_unit所对应的样本构成训练集，并删除变量1、3、12
> data_train = getdata(miete[,c(-1,-3,-12)],sub_train$ID_unit)
> data_test = getdata(miete[,c(-1,-3,-12)],-sub_train$ID_unit)
> dim(data_train); dim(data_test) #分别显示训练集、测试集的维度
           

[1] 720  14

[1] 362  14

> head(data_test)
           

   wfl bad0 zh ww0 badkach fenster kueche mvdauer bjkat      nmqm rooms nmkat

7   28    0  1   0       0       1      1       9     4 17.011071     1     1

8   36    0  1   0       0       0      1       3     4 19.710278     1     3

9   33    0  1   0       0       0      0       1     4 25.840606     1     4

10  57    0  1   0       1       0      1       9     6 11.534035     2     2

11  75    0  1   0       1       0      1       3     6 16.504533     3     5

17  79    0  1   0       0       0      0      20     4  7.507215     3     2

   adr wohn

7    2    2

8    2    2

9    2    2

10   2    2

11   2    2

17   2    2

   至此，数据理解和数据预处理过程结束，得到可以直接使用的训练集data_train和测试集data_test。

      3.线性判别

      这里使用公式formula格式，进行判别。首先要加载软件包MASS,接着使用nmkat作为待判别变量，其他变量作为特征变量，根据公式nmkat~. （如果变量为y，则公式为y~. ） ，使用训练集data_train来运行 lda()函数。

> library(MASS)
> fit_lda1 = lda(nmkat~., data_train) #以公式格式进行线性判别
> names(fit_lda1)
> fit_lda1$prior 
           

  1   2   3   4   5 

0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 

  我们可以看到，各类别的先验概率在5个等级中都为0.2，之和为1，即它们都相等，这与它们分别均匀对应。

> fit_lda1$means
           

      wfl       bad01       zh1        ww01  badkach1   fenster1    kueche1

1 54.87500 0.055555556 0.6041667 0.138888889 0.3888889 0.06944444 0.04166667

2 60.59722 0.013888889 0.8125000 0.027777778 0.5486111 0.08333333 0.04166667

3 66.76389 0.013888889 0.8194444 0.041666667 0.5208333 0.06944444 0.07638889

4 74.70833 0.013888889 0.8750000 0.041666667 0.6458333 0.03472222 0.07638889

5 90.10417 0.006944444 0.9375000 0.006944444 0.7708333 0.04166667 0.20833333

    mvdauer     bjkat.L      bjkat.Q      bjkat.C    bjkat^4     bjkat^5

1 14.444444 -0.21580517 -0.104562739  0.031056500 0.17323372 -0.17585847

2 11.923611 -0.12450298 -0.211398581 -0.002588042 0.20604313 -0.12642562

3 11.847222 -0.12782306 -0.145478593  0.049690399 0.16273470 -0.07349309

4 10.347222 -0.08964215 -0.127293769 -0.035197366 0.12861291  0.01137393

5  5.333333 -0.04482107 -0.009092412  0.018633900 0.02624753 -0.01574852

       nmqm    rooms        adr.L      adr.Q     wohn.L     wohn.Q

1  8.231574 2.173611 -0.019641855 -0.7654655 0.03437325 -0.3997431

2 10.988627 2.416667 -0.034373246 -0.7569604 0.08838835 -0.4252586

3 12.495436 2.597222 -0.019641855 -0.7654655 0.11294067 -0.3487121

4 14.107342 2.861111  0.004910464 -0.7909811 0.16695577 -0.3912379

5 17.108865 3.250000  0.019641855 -0.7484552 0.27498597 -0.2041241

     从上面的结果中，可以看到一些很能反映现实情况的数据特征。比如，住房面积wfl变量，它明显随着租金nmkat的升高而逐步提高。这与我们的常识“房子的面积越大，租金就越贵”是十分吻合的。