最小生成树专题

最小生成树

目录

• 最小生成树
• • 定义
  • Prim
  • • 大致思想
    • 代码模板
  • Kruskal
  • • 大致思路
    • 代码模板

定义

连通图：在一个无向图中，任何两顶点都可以一若干条边连通

生成树：在一个连通图中（定点数n），取n-1条边，这n-1条边可以把n个点串起来。

最小生成树：假设每条边都有一个权值，则最小权值的生成树是最下生成树。

Prim

大致思想

代码与Dijsktra极其相似。

先找到从当前所在点到相邻点权值最小的点，将其划进生成树，然后更新将这个点的相邻点走过去所需的权值进行更新进行更新(这一步理解为更新其邻接点到生成树的距离)。

代码模板

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std ;
const int N = 100005 ;

int w[505][505];
bool vis[N] ;
int CNTW;
int d[N];




bool prim(int n){
    d[1] = 0 ;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        int k = 0 ;
        for(int j = 1 ; j <= n ; j ++){
            if(!vis[j] && d[j] < d[k]){
                k = j ;
            }
        }
        if(!k) return false ;
        vis[k] = true ;
        CNTW += d[k] ;
        for(int j = 1 ; j <= n ; j ++){
            if(!vis[j] && d[j] > w[k][j]){
                d[j] = w[k][j] ;
            }
        }
    }
    return true ;
}






int main(){
    memset(d , 0x3f , sizeof d);
    memset(w , 0x3f , sizeof w);
    int n ,m ;
    
    cin >> n >> m ;
    
    
    for(int i = 1 ; i <= m ; i ++ ){
        int a , b , c ;
        cin >> a >> b >> c ;
        w[a][b] = w[b][a] = min(c , w[a][b]) ;
    }
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        w[i][i] = 0 ;
    }
    
    if(prim(n)) cout << CNTW << endl ;
    else puts("impossible");
    
    return 0;
}
           

Kruskal

大致思路

将所有边进行一个排序，然后讲这些边从小到大进行处理：如果边的两端不在同一个生成树中，就将其连接起来（利用并查集）。

到最后如果连接起来的边数没有达到n-1，说明不存在最小生成树。

代码模板

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std ;
const int N = 100005 ;

typedef struct {
    int a , b , c ;
}Edge;

Edge edge[N << 1] ;

bool cmp(Edge a, Edge b ){
    return a.c < b.c ;
}

int p[N] ;

int find(int x){
    if(p[x] != x){
        p[x] = find(p[x]);
    }
    return p[x] ;
}

int main(){
    int n , m ;
    cin >> n >> m ;
    for(int i = 1 ; i <= m ; i ++){
        int a ,b ,c ;
        cin >> a >> b >> c ;
        edge[i] = {a , b , c};
    }
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++ ){
        p[i] = i ;
    }
    sort(edge+1 , edge+1 + m , cmp) ;
    
    int cntw = 0 , cnte = 0 ;
    for(int i = 1 ; i <= m ; i ++){
        int a = edge[i].a , b = edge[i].b , c = edge[i].c ;
        a = find(a) , b = find(b) ;
        if(a != b){
            p[a] = b;
            cntw += c ;
            cnte ++ ;
        }
    }
    
    if(cnte < n -1 ) puts("impossible");
    else cout << cntw << endl ;
    return 0 ;
}