狱吏问题的三种解法——因数的相关应用

狱吏问题的三种解法

• • 题目描述
  • • 解题思路一：暴力求解
    • 解题思路二：求解因数个数
  • 求解因数的两个模型
  • • 求N的因数
    • 求1—N所有数的因数个数
    • 求一个数的因数个数

题目描述

解题思路一：暴力求解

外层循环为递增的间隔数，内层循环不断操作所有的牢房情况

long start=System.currentTimeMillis();
Scanner sca=new Scanner(System.in);
System.out.println("请输入牢房数量： ");
int num=9;
int[] flag=new int[num+1];
for(int i=1;i<=num;++i){
    for(int j=i;j<=num;j=j+i){
        flag[j]^=1;
    }
}
for(int i=1;i<=num;++i){
    if(flag[i]==1) System.out.println(i+" is free");
}
           

解题思路二：求解因数个数

间隔为1的时候转动的是1的倍数，2的时候是2的倍数，3是3的倍数。。。。。。又因为转动奇数次的时候牢房门就会被打开，只要统计到第n个牢房转动了几下就行，这道题就转变成了求因数个数的问题。因数求解有两个模型，见下文。

long start=System.currentTimeMillis();
Scanner sca=new Scanner(System.in);
System.out.print("请输入牢房数量： ");
int num=sca.nextInt();
int[] flag=new int[num+1];
for(int i=1;i<=num;++i){
    for(int j=1;j<=num/i;++j){
        flag[i*j]++;
    }
}
for(int k=1;k<=num;++k){
    if(flag[k]%2==1) System.out.println(k +" is free");
}
long eps=System.currentTimeMillis()-start;
System.out.println("执行时间： "+eps+"ms");
           

求解因数的两个模型

求N的因数

因为因数是成对出现的，除了平方数，并且可以缩小范围0- s q r t ( n ) sqrt(n) sqrt(n)

static int cnt=0; 
void factor(int n){
	for(int i=1;i<=sqrt(n);i++)
		if(n%i==0){
			f[++cnt]=i;
			if(i!=n/i)
				f[++cnt]=n/i;
		}
}
           

求1—N所有数的因数个数

void factor(int n){
		for(int i=1;i<=n;++i){
			for(int j=1;j<=n/i;++j){
					f[i*j]++；
			}
		}
}
           

求一个数的因数个数

因数个数