前段时间抽空看了《说谎者悖论和汉诺塔游戏》（[加拿大]马塞尔·丹尼斯著，程云琦译）一书，作者在第一个谜题“斯芬克斯之谜”中介绍了法国耶稣会诗人 Claude Gaspard Bachet de Méziriac（1581-1638）的一个经典谜题：
若天平两端可以任意放置砝码，要称量从1磅到40磅的整磅重的糖，天平所需要的砝码个数最少是多少？
换句话说，我们需要确定若干个读数互不相同的砝码，用它们在天平上组合出1至40的数。当然，前提是这是台特殊的天平——你不能开玩笑说天平上还有游码，也不能说砝码的规格是有限定的。我们假定砝码值可以是任意正整数。传统上我们可能认为1，"Times New Roman";" >2，4，8，16和32磅共7个砝码，这样最高可以称出63磅重的糖。不过这个谜题有意思的地方就在于它使用的是天平quot;Times New Roman";" >——两边都可以放砝码。于是我们可以这样来称出2磅重的糖：把3磅重的砝码放在天平的左边，1磅重的砝码放在天平的右边，在天平右边放上糖直到天平平衡。这样，只需要1，3，9和27磅的砝码就可以称出1磅到40磅的糖。
注意到这些砝码的重量都是3的幂：1=30，3=31，9=32，27=33。依次类推，我们可以使用1，3，9，27和81磅的砝码称出1磅到121磅的糖。
那么针对具体数量的糖，怎样放置各个砝码呢？作者给出了如下图所示的称法。
图1砝码放置
作者似乎想表达的是，具体的砝码放置法的获得是来源于所谓的“顿悟思维（insight thinking）”。不过写个具体的算法来实现针对具体数值的砝码放置方案并不难。
我们同样假定称量时将糖放置在天平右边。那么算法就是要实现，在输入砝码个数和需要称量的最大数值后，输出如图1所示的列表。若称量的数值超过砝码所能称量的最大数值，则提示出错（比如四个砝码不能称出41磅糖）。
我们假设要称量的数值为n。算法的基本思想是，通过判断n所在的“区间”，迭代地把砝码加到天平左右两侧。这里的“区间”指的是，将砝码的值按从小到大累积相加，形成一个新的数列，其中n所在的前开后闭区间。如，对于砝码1，3，9和27，其累积和形成的数列为1，4，13，40。如3所在的区间为(1，4]，而13所在的区间为(4，13]。
仍假定n=5。算法的运行过程如下：
1．判断得n∈(4，13]。13是1、3和9的累积和，将最大的砝码9放入左边天平。砝码9的符号为正。
2．令n = n – 9 = 5 – 9 = - 4，判断得|n|∈(1，4]。4是1和3的累积和，且由于n的符号为负，故将最大的砝码3放入右边天平。砝码3的符号为负。
3．继续令n = n – (-3) = (-4) – (-3) = - 1，判断得|n|∈(1，1]。1是1的累积和，且由于n的符号为负，故将最大的砝码1放入右边天平。砝码1的符号为负。
4．继续令n = n – (-1) = (-1) – (-1) = 0。结果为零，算法结束。
在以上的每一步中我们都得到了一个所谓的“最大的砝码”，以下这个砝码我们称之为上界砝码
算法是一个迭代的过程，用伪代码描述如下。
输入：数值n
输出：各个砝码的符号
Procedure setBalance( int n) {
While (n != 0) {
找出n的上界砝码，令其符号与n相同。
令n = n –上界砝码。
}
}
从伪代码来看，算法非常简洁。不过要成为可运行的程序，还需要有一些辅助性工作。以下是用Java实现该算法的参考代码。
/*
* @(#)Balance.java 1.0 10/06/13
*
* Copyright 2010 Onion Lab. All rights reserved.
*/
package problem.balance;
/**
* Solves the classic problem: balance.
* @author Chungtow Lai - Zhejiang University
* @version $Date: 2010-06-13
*/
public class Balance {
private static final int NUM_OF_POISE = 4;
int number;
int[] left, right;
int[] sign;
/**
* Construction method.
*/
public Balance(int number) {
this.number = number;
init();
if (number > getSumToK(NUM_OF_POISE)) {
System.out.println("Error: Out of bound!");
} else {
setBalance();
print();
}
}
/**
* Initialization
*/
private void init() {
left = new int[NUM_OF_POISE];
right = new int[NUM_OF_POISE];
sign = new int[NUM_OF_POISE];
for (int i = 0; i < NUM_OF_POISE; i ++) {
sign[i] = 0;
}
}
/**
* Main algorithm
*/
private void setBalance() {
int temp1, temp2, upper;
temp1 = number;
while (temp1 != 0) {
temp2 = Math.abs(temp1);
upper = getUpper(temp2);
sign[upper] = temp1 / temp2;
temp1 -= sign[upper] * power(3, upper);
}
}
private void print() {
int i;
int lj = 0, rj = 0;
for (i = 0; i < NUM_OF_POISE; i ++) {
if (sign[i] > 0) {
left[lj++] = power(3, i);
} else if (sign[i] < 0) {
right[rj++] = power(3, i);
}
}
System.out.print(this.number + "/t/t");
for (i = 0; i < lj; i ++) {
System.out.print(left[i]);
if (i != lj-1) {
System.out.print(",");
}
}
System.out.print("/t/t");
for (i = 0; i < rj; i ++) {
System.out.print(right[i]);
if (i != rj-1) {
System.out.print(",");
}
}
System.out.print("/t/t");
for (i = 0; i < NUM_OF_POISE; i ++) {
int t = sign[i] * power(3, i);
if (t > 0) {
System.out.print("+" + t);
} else if (t < 0) {
System.out.print(t);
}
}
System.out.println();
}
/**
*
*/
private int getUpper(int n) {
for (int i = 1; i <= NUM_OF_POISE; i ++) {
if ((n > getSumToK(i)) && (n <= getSumToK(i+1))) {
return i;
}
}
return 0;
}
/**
* 返回前k个数的和
*/
private static int getSumToK(int k) {
if (k == 1) return 1;
else return (power(3,k-1) + getSumToK(k-1));
}
/**
* Returns the value of the first argument raised to the power of the
* second argument.
* @param x the base.
* @param e the exponent.
* @return the value <code>x<sup>e</sup></code>.
*/
private static int power(int x, int e) {
if (e == 0) return 1;
else return x * power(x, e-1);
}
/**
* Main entry point for invocation.
* @param args The command line arguments.
*/
public static void main(String[] args) {
System.out.println("Number/t/tLeft/t/tRight/t/tFormula");
for (int i = 1; i <= 40; i ++) {
new Balance(i);
}
}
}