bzoj4652 [Noi2016]循环之美

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Description

牛牛是一个热爱算法设计的高中生。在他设计的算法中，常常会使用带小数的数进行计算。牛牛认为，如果在 k

进制下，一个数的小数部分是纯循环的，那么它就是美的。现在，牛牛想知道：对于已知的十进制数 n 和 m，在

kk 进制下，有多少个数值上互不相等的纯循环小数，可以用分数 xy 表示,其中 1≤x≤n,1≤y≤m，且 x,y是整数

。一个数是纯循环的，当且仅当其可以写成以下形式：a.c1˙c2c3…cp-1cp˙其中，a 是一个整数，p≥1；对于 1

≤i≤p，ci是 kk 进制下的一位数字。例如，在十进制下，0.45454545……=0.4˙5˙是纯循环的，它可以用 5/11

、10/22 等分数表示；在十进制下，0.1666666……=0.16˙则不是纯循环的，它可以用 1/6 等分数表示。需要特

别注意的是，我们认为一个整数是纯循环的，因为它的小数部分可以表示成 0 的循环或是 k?1 的循环；而一个小

数部分非 0 的有限小数不是纯循环的。

Input

只有一行，包含三个十进制数N,M,K意义如题所述,保证 1≤n≤10^9,1≤m≤10^9,2≤k≤2000

Output

一行一个整数，表示满足条件的美的数的个数。

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
inline char gc(){
    static char now[1<<16],*S,*T;
    if (T==S){T=(S=now)+fread(now,1,1<<16,stdin);if (T==S) return EOF;}
    return *S++;
}
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=gc();
    while(!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=gc();}
    while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=gc();
    return x*f;
}
const int N=1e6+10;
const int mod=1e6+3;
int n,m,k,sum[N],prime[N],tot,f[N],mu[N],h[N],num;
ll ans;bool not_prime[N];
inline int gcd(int x,int y){return !y?x:gcd(y,x%y);}
inline ll calc(int x){return (ll)x/k*f[k]+f[x%k];}
inline void init(){
    for (int i=1;i<=k;++i) f[i]=f[i-1]+(gcd(i,k)==1);mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=1e6;++i){
        if (!not_prime[i]) prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1;prime[j]*i<=1e6;++j){
            not_prime[prime[j]*i]=1;
            if (i%prime[j]==0){mu[prime[j]*i]=0;break;}
            else mu[prime[j]*i]=-mu[i];
        }
    }for (int i=1;i<=1e6;++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
}
struct node{
    int x,k,next,v;
}data[6*N];
inline void insert1(int x,ll k,int v){
    int kk=k;k=k*1e9+x;static int tmp;tmp=k%mod;
    for (int i=h[tmp];i;i=data[i].next){
        if (data[i].x==x&&data[i].k==kk) return;
    }data[++num].next=h[tmp];h[tmp]=num;data[num].x=x;data[num].k=kk;data[num].v=v;
}
inline int query(int x,ll k){
    int kk=k;k=k*1e9+x;static int tmp;tmp=k%mod;
    for (int i=h[tmp];i;i=data[i].next){
        if(x==data[i].x&&kk==data[i].k) return data[i].v;
    }return -1;
}
inline int gao(int x,int k){
    if(k==1&&x<=1e6) return sum[x];if(!x) return 0;
    int tmp=query(x,k);if (tmp!=-1) return tmp;tmp=0;
    if (k==1){tmp=1;int last;
        for (int i=2;i<=x;i=last+1) last=x/(x/i),tmp-=(last-i+1)*gao(x/i,1);
    }else{
        for (int i=1;i*i<=k;++i){
            if (k%i==0){
                if (mu[i]) tmp+=mu[i]*mu[i]*gao(x/i,i);
                if (i*i!=k&&mu[k/i]) tmp+=mu[k/i]*mu[k/i]*gao(x/(k/i),k/i);
            }
        }
    }insert1(x,k,tmp);return tmp;
}
int main(){
    freopen("bzoj4652.in","r",stdin);
    n=read();m=read();k=read();init();
    int nn=min(n,m),last;int lst=0,now=0;
    for (int i=1;i<=nn;i=last+1){
        last=min(n/(n/i),m/(m/i));now=gao(last,k);
        ans+=(now-lst)*(n/i)*calc(m/i);lst=now;
    }printf("%lld\n",ans);//printf("%d\n",num);
    return 0;
}