特征工程——数据降维

一、维数灾难

1.1 定义

1.2 样本密度与维度（样本特征）的关系

从1维到3维，给我们的感觉是：维数越高，分类性能越优。 在1维特征空间下，我们假设一个维度的宽度为5个单位，这样样本密度为10/5=2;

在2维特征空间下，10个样本所分布的空间大小5*5=25，这样样本密度为10/25=0.4;

在3维特征空间下，10个样本分布的空间大小为5*5*5=125，样本密度就为10/125=0.08.

二、数据降维

概念：在尽量减少信息量的前提下，采用某种映射方法（函数）
把原来的高维数据（变量多）---映射--->低维数据（变量少）
避免维数灾难 ：增加样本量
常用的降维方法：
    线性方法                          非线性方法
有监督方法 --> LDA（线性判别分析）      无
无监督方法 --> PCA（主成分分析）        局部线性嵌入（LLE）拉普拉斯特征映射      

一、主成分分析（PCA）（无监督）

理解 PCA 的关键，一是坐标变换，二是新坐标（也就是投影）

1.1 通过线性投影

1.2 主成分分析（PCA）操作流程

A 原始数据—减均值

B 求特征变量的协方差矩阵

C 求协方差的 特征值 和 特征向量

D 将特征值大->小排序，选择最大的k(1)个，然后对k(1)个特征向量分别作为 列向量组成特征向量矩阵（最大的特征根对应的特征向量）

E 将样本点投影到选取的向量上，得到最终降维后的新维度（1个）

二、线性判别分析（LDA）（有监督）

LDA 是一种 监督学习 的线性降维技术,与PCA最大的区别，它需要一个目标类别变量

​

​LDA 思想：投影后类内方差最小，类间方差最大。--能最好的把目标变量的类别区分开LDA降维后得到的新维度可以继续作用目标变量分类预测的特征 ​

​

PCA 与 LDA对比

​

​PCA 投影后的目的：整体方差最大（不关心目标变量各类别的区隔，强调整体方差最大化 即显示所有数据）LDA ----------：类内方差最小，类间方差最大（目标变量各类别区隔明显，强调局部）PCA 与 LDA总结 如果研究问题有目标变量（类别型） 优先使用LDA 降维 可以先使用PCA做小幅度的降维，消去噪声，然后再使用LDA降维 如果研究的问题没有目标变量 优先使用PCA降维 ​

​

​​代码：iris数据集        iris = datasets.load_iris()    #导入iris数据        X = iris.data        y = iris.target
        X[:10]
        y[:10]

LDA　降维
    from sklearn.lda import LDA
    lda = LDA(n_components=2)          #定义一个LDA模型
    X_new = lda.fit_transform(X,y)     #fit_transform --可以替代fit 和 transform(X)
    X_new[:5]
    lda.predict(X) #predict(X)
    lda.score(X,y) #score

对比 PCA 与LDA:

from sklearn.decomposition import PCA  #PCA降维后作图
pca = PCA(n_components = 2)
pca.fit(X)
X_new = pca.transform(X)
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.scatter(X_new[:,0],X_new[:,1],mark = 'o',c = y)
plt.show()
from sklearn.decomposition import LDA

LDA降维后作图
lda = PCA(n_components = 2)
lda.fit(X,y)
X_new = lda.transform(X)

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
plt.scatter(X_new[:,0],X_new[:,1],mark = 'o',c = y)
plt.show()​​      

三、ISOMAP 降维方法