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【洛谷P3369 普通平衡树】

题目描述

　　您需要写一种数据结构，来维护一些数，其中需要提供以下操作：

  1. 插入x数
  2. 删除x数(若有多个相同的数，因只删除一个)
  3. 查询x数的排名(排名定义为比当前数小的数的个数+1。若有多个相同的数，因输出最小的排名)
  4. 查询排名为x的数
  5. 求x的前驱(前驱定义为小于x，且最大的数)
  6. 求x的后继(后继定义为大于x，且最小的数)

输入格式：

　　第一行为n，表示操作的个数,下面n行每行有两个数opt和x，opt表示操作的序号

输出格式：

　　对于操作3,4,5,6每行输出一个数，表示对应答案

输入样例： 

　　10
　　1 106465
　　4 1
　　1 317721
　　1 460929
　　1 644985
　　1 84185
　　1 89851
　　6 81968
　　1 492737
　　5 493598

输出样例： 

　　106465
　　84185
　　492737

题解：

　　这题就在这里写下单点问题的splay问题总结吧。（一个一个问题来）

　　1.旋转

1 inline void update(int r)
 2 {
 3     if(r!=-1){
 4         sz[r]=num[r];
 5         if(ch[r][0]!=-1)    sz[r]+=sz[ch[r][0]];
 6         if(ch[r][1]!=-1)    sz[r]+=sz[ch[r][1]];
 7     }
 8 }
 9 inline void rotate(int x,int k)
10 {
11     int y=fa[x];int z=fa[y];
12     ch[y][1-k]=ch[x][k];if(ch[x][k]!=-1)    fa[ch[x][k]]=y;
13     fa[x]=z;if(z!=-1)    ch[z][y==ch[z][1]]=x;
14     ch[x][k]=y;fa[y]=x;
15     update(y);update(x);
16 }

　　因为题目说会有相同的数字所以开一个num数组记录这个节点相同sum的数量，sz为这个子树的大小（num总和），sum为这个节点代表的值（就是splay维护的key），每次旋转完要更新与rotate有关两个点的sz，所有要update（重点：所有改变某个节点的num操作都要把这个节点以及它的fa去update，否则的话进行splay会出问题，我也是想了很久的）

　　2.splay

1 inline void splay(int p)
 2 {
 3     while(fa[p]!=-1)
 4     {
 5         int y=fa[p];int z=fa[y];
 6         if(z==-1)    rotate(p,ch[y][1]!=p);
 7         else
 8         {
 9             if(ch[z][0]==y){
10                 if(ch[y][0]==p)    rotate(y,1),rotate(p,1);
11                 else    rotate(p,0),rotate(p,1);
12             }
13             else{
14                 if(ch[y][0]==p)    rotate(p,1),rotate(p,0);
15                 else    rotate(y,0),rotate(p,0);
16             }
17         }
18     }
19     rt=p;
20 }

　　这个理解的话也不难，伸展操作然后把某个节点调到rt位置。（重点：关于所有操作你找到点都要把这个点splay了，这样才能维护树的平衡）

　　3.插入

1 inline void build(int v,int f){
 2     fa[++cnt]=f,ch[cnt][0]=ch[cnt][1]=-1,sum[cnt]=v;
 3     sz[cnt]=1,num[cnt]=1;
 4 }
 5 inline void insert(int v)
 6 {
 7     int r=rt;
 8     while(1){
 9         if(v==sum[r]){
10             num[r]++;
11             update(r),update(fa[r]);
12             splay(r);return;
13         }
14         if(v<sum[r]){
15             if(ch[r][0]==-1){
16                 build(v,r);
17                 ch[r][0]=cnt;
18                 update(cnt),update(r);
19                 splay(cnt);return;
20             }
21             else    r=ch[r][0];
22         }
23         else
24         {
25             if(ch[r][1]==-1){
26                 build(v,r);
27                 ch[r][1]=cnt;
28                 update(cnt),update(r);
29                 splay(cnt);return;
30             }
31             else    r=ch[r][1];
32         }
33     }
34 }

　　build是对新建的点进行处理，插入跟普通的二叉树没有什么区别，记得两个重点。

　　4.询问第k小数以及x是第几小

1 inline int find_pos(int x)
 2 {
 3     int r=rt;
 4     while(1)
 5     {
 6         if(sum[r]==x)break;
 7         if(x<sum[r])    r=ch[r][0];
 8         else    r=ch[r][1];
 9     }
10     splay(r);
11     return sz[ch[r][0]]+1;
12 }
13 inline int find_num(int x)
14 {
15     int r=rt;
16     while(1){
17         if(sz[ch[r][0]]+1<=x && x<=sz[ch[r][0]]+num[r])
18         {
19             splay(r);
20             return sum[r];
21         }
22         if(sz[ch[r][0]]+num[r]<x)
23         {
24             x-=(sz[ch[r][0]]+num[r]);
25             r=ch[r][1];
26         }
27         else    r=ch[r][0];
28     }
29 }

　　对于询问x是第几小，很简单找到这个点把它splay到根然后输出ch[x][0]的sz，不要忘了+1.

　　对于询问第k小数，真的难讲，看代码吧。（记得if(sz[ch[r][0]]+1<=x && x<=sz[ch[r][0]]+num[r])，r节点就是答案)

　　5.前驱后继

1 inline int pre(int x)
 2 {
 3     insert(x);
 4     int r=ch[rt][0];
 5     while(ch[r][1]!=-1)    r=ch[r][1];
 6     return sum[r];
 7 }
 8 inline int suc(int x)
 9 {
10     insert(x);
11     int r=ch[rt][1];
12     while(ch[r][0]!=-1)    r=ch[r][0];
13     return sum[r];
14 }

　　先加入这个数x，把它splay到根，然后左儿子开始一直往右就是前驱，右儿子开始一直往左就是后继。然后把这个数删了。

　　6.删除

1 inline void del(int x)
 2 {
 3     int r=rt,p;
 4     while(1){
 5         if(sum[r]==x){
 6             num[r]--;
 7             if(num[r]>=1){
 8                 update(r);update(fa[r]);
 9                 splay(r);return;
10             }
11             else{
12                 p=r;
13                 break;
14             }
15         }
16         if(x<sum[r])    r=ch[r][0];
17         else    r=ch[r][1];
18     }
19     splay(p);
20     if(ch[p][0]==-1 && ch[p][1]==-1){
21         rt=-1;
22         return;
23     }
24     if(ch[p][0]==-1 && ch[p][1]!=-1){
25         rt=ch[p][1];
26         fa[ch[p][1]]=-1;
27         return;
28     }
29     if(ch[p][0]!=-1 && ch[p][1]==-1){
30         rt=ch[p][0];
31         fa[ch[p][0]]=-1;
32         return;
33     }
34     int mx=ch[p][0];
35     while(ch[mx][1]!=-1)    mx=ch[mx][1];
36     fa[ch[p][0]]=-1;
37     splay(mx);
38     ch[mx][1]=ch[p][1];
39     fa[ch[p][1]]=mx;
40 }

　　如果这个点的num大于1就说明这个节点不用删掉只需把num--就好（记得两个重点）。否则，删除节点其实是两个操作，先删后并。先特判没有左右儿子的情况（easy），然后就不舒服了。如何使得删掉这个值还能满足平衡树性质？先把rt的左儿子与它断开（fa[ch[rt][0]=-1），在左儿子中找到最大的数（就是一直往右），把它splay到根节点然后把原本的右儿子接进去就好了。（不理解好好想想）

　　总结：1.所有改变某个节点的num（或者sz）操作或者改变子节点操作都要把这个节点以及它的fa去update

　　　　　2.关于所有操作你找到点都要把这个点splay了，这样才能维护树的平衡（否则要splay何用？）

　　　　　3.num修改操作都是先把它与它父亲的sz更新后再把这个节点splay

　　

完整代码

　

1 #include<iostream>
  2 #include<cstdlib>
  3 #include<cstdio>
  4 #include<cstring>
  5 using namespace std;
  6 int ch[100005][3],sum[100005],sz[100005],num[100005],fa[100005];
  7 int rt=-1,cnt;
  8 inline void update(int r)
  9 {
 10     if(r!=-1){
 11         sz[r]=num[r];
 12         if(ch[r][0]!=-1)    sz[r]+=sz[ch[r][0]];
 13         if(ch[r][1]!=-1)    sz[r]+=sz[ch[r][1]];
 14     }
 15 }
 16 inline void rotate(int x,int k)
 17 {
 18     int y=fa[x];int z=fa[y];
 19     ch[y][1-k]=ch[x][k];if(ch[x][k]!=-1)    fa[ch[x][k]]=y;
 20     fa[x]=z;if(z!=-1)    ch[z][y==ch[z][1]]=x;
 21     ch[x][k]=y;fa[y]=x;
 22     update(y);update(x);
 23 }
 24 inline void splay(int p)
 25 {
 26     while(fa[p]!=-1)
 27     {
 28         int y=fa[p];int z=fa[y];
 29         if(z==-1)    rotate(p,ch[y][1]!=p);
 30         else
 31         {
 32             if(ch[z][0]==y){
 33                 if(ch[y][0]==p)    rotate(y,1),rotate(p,1);
 34                 else    rotate(p,0),rotate(p,1);
 35             }
 36             else{
 37                 if(ch[y][0]==p)    rotate(p,1),rotate(p,0);
 38                 else    rotate(y,0),rotate(p,0);
 39             }
 40         }
 41     }
 42     rt=p;
 43 }
 44 inline void build(int v,int f){
 45     fa[++cnt]=f,ch[cnt][0]=ch[cnt][1]=-1,sum[cnt]=v;
 46     sz[cnt]=1,num[cnt]=1;
 47 }
 48 inline void insert(int v)
 49 {
 50     int r=rt;
 51     while(1){
 52         if(v==sum[r]){
 53             num[r]++;
 54             update(r),update(fa[r]);
 55             splay(r);return;
 56         }
 57         if(v<sum[r]){
 58             if(ch[r][0]==-1){
 59                 build(v,r);
 60                 ch[r][0]=cnt;
 61                 update(cnt),update(r);
 62                 splay(cnt);return;
 63             }
 64             else    r=ch[r][0];
 65         }
 66         else
 67         {
 68             if(ch[r][1]==-1){
 69                 build(v,r);
 70                 ch[r][1]=cnt;
 71                 update(cnt),update(r);
 72                 splay(cnt);return;
 73             }
 74             else    r=ch[r][1];
 75         }
 76     }
 77 }
 78 inline void del(int x)
 79 {
 80     int r=rt,p;
 81     while(1){
 82         if(sum[r]==x){
 83             num[r]--;
 84             if(num[r]>=1){
 85                 update(r);update(fa[r]);
 86                 splay(r);return;
 87             }
 88             else{
 89                 p=r;
 90                 break;
 91             }
 92         }
 93         if(x<sum[r])    r=ch[r][0];
 94         else    r=ch[r][1];
 95     }
 96     splay(p);
 97     if(ch[p][0]==-1 && ch[p][1]==-1){
 98         rt=-1;
 99         return;
100     }
101     if(ch[p][0]==-1 && ch[p][1]!=-1){
102         rt=ch[p][1];
103         fa[ch[p][1]]=-1;
104         return;
105     }
106     if(ch[p][0]!=-1 && ch[p][1]==-1){
107         rt=ch[p][0];
108         fa[ch[p][0]]=-1;
109         return;
110     }
111     int mx=ch[p][0];
112     while(ch[mx][1]!=-1)    mx=ch[mx][1];
113     fa[ch[p][0]]=-1;
114     splay(mx);
115     ch[mx][1]=ch[p][1];
116     fa[ch[p][1]]=mx;
117 }
118 inline int pre(int x)
119 {
120     insert(x);
121     int r=ch[rt][0];
122     while(ch[r][1]!=-1)    r=ch[r][1];
123     return sum[r];
124 }
125 inline int suc(int x)
126 {
127     insert(x);
128     int r=ch[rt][1];
129     while(ch[r][0]!=-1)    r=ch[r][0];
130     return sum[r];
131 }
132 inline int find_pos(int x)
133 {
134     int r=rt;
135     while(1)
136     {
137         if(sum[r]==x)break;
138         if(x<sum[r])    r=ch[r][0];
139         else    r=ch[r][1];
140     }
141     splay(r);
142     return sz[ch[r][0]]+1;
143 }
144 inline int find_num(int x)
145 {
146     int r=rt;
147     while(1){
148         if(sz[ch[r][0]]+1<=x && x<=sz[ch[r][0]]+num[r])
149         {
150             splay(r);
151             return sum[r];
152         }
153         if(sz[ch[r][0]]+num[r]<x)
154         {
155             x-=(sz[ch[r][0]]+num[r]);
156             r=ch[r][1];
157         }
158         else    r=ch[r][0];
159     }
160 }
161 int main()
162 {
163     int n,op,x;
164     scanf("%d",&n);
165     for(int i=1;i<=n;i++)
166     {
167         scanf("%d%d",&op,&x);
168         if(op==1){
169             if(rt==-1){
170                 build(x,-1);
171                 rt=cnt;
172             }
173             else    insert(x);
174         }
175         if(op==2)   del(x);
176         if(op==3)    printf("%d\n",find_pos(x));
177         if(op==4)    printf("%d\n",find_num(x));
178         if(op==5)   printf("%d\n",pre(x)),del(x);
179         if(op==6)   printf("%d\n",suc(x)),del(x);
180     }
181     return 0;
182 }

转载于:https://www.cnblogs.com/Dndlns/p/7875841.html

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