原码反码补码详析及移位

原码、反码和补码的详析 及 移位

文章目录

• 原码、反码和补码的详析 及 移位
• • 一、原码、反码和补码的定义与 表现形式
  • • 1.原码
    • 2.反码
    • 3.补码
    • 4.用表格总结，便于记忆！！
  • 二、为何使用原码、补码和反码
  • • 1.原码的加法
    • 2.反码的加法（循环进位）
    • 3.补码的加法（舍弃进位）
    • 4. 32位int的表示范围 [-2147483648, 2147483647]
  • 三、[反码的数学理论深入][2]
  • • 3.1取模同余
    • 3.2反码的同余
    • 3.3补码的意义所在
  • 四、二进制运算
  • • 与或异或
    • 左移
    • 右移
    • 总结：
  • 参考文章

一、原码、反码和补码的定义与 表现形式

原码反码与补码是机器存储一个数字的具体编码方式。

1.原码

第一位是符号位，其余位表示 数值的绝对值。

对于1Byte 来说：

+1 的原码：0000 0001,  0x01
-1 的原码：1000 0001,  0x81
           

第一位是符号位，1代表负数，0代表正数。

1Byte所能表示的整数范围为： [1111 1111, 0111 1111]，即 [-127, 127]。

2.反码

对于正数，其反码=原码

对于负数，其反码=除符号位外的原码位取反。

+1 的反码：0000 0001,  0x01
-1 的反码：1111 1110,  0xFE
           

3.补码

对于正数，其补码=原码

对于负数，其补码= 反码+1

+1 的补码：0000 0001,  0x01
-1 的补码：1111 1111,  0xFF
           

4.用表格总结，便于记忆！！

数值（真值）	原码 机器数	反码机器数	补码机器数
正数	第一位0，其余为数值绝对值	原码	原码
负数	第一位1，其余为数值绝对值	原码除符号位取反	反码+1
举例：- 1	0000 0001	0000 0001	0000 0001
举例：-1	1000 0001	1111 1110	1111 1111

二、为何使用原码、补码和反码

原码对于人来说，非常直观，通过第一位判断正负后，通过其他位来计算绝对值。但是对于机器来说，将第一位和其他位区分开来，在程序设计和电路设计上会非常复杂。能否将符号位统一进计算方式中呢？

实际上，机器计算，只有加法而没有减法，因为减去一个数等于加上该数的负数。

所以，能否将符号位参与进位运算，且只保留加法运算呢？

1.原码的加法

十进制：1 + (-1) = 0

二进制：0000 0001[原] + 1000 0001[原] = 1000 0010[原] = -2

让符号位参与运算后，发现原码的计算结果有问题！与十进制的计算方式不对应。

为了解决这个问题，来看看反码的加法。

2.反码的加法（循环进位）

反码的运算规则：

1. 反码运算时，其符号位与数值一起参加运算。
2. 反码的符号位相加后，如果有进位出现，则要把它送回到最低位去相加（循环进位）。
3. 用反码运算，其运算结果亦为反码。在转换为真值时，若符号位为0，数位不变；若符号位为1，应将结果求反才是其真值。（这里求反不包括符号位）

十进制：1 + (-1) = 0

二进制：0000 0001[反] + 1111 1110[反] = 1111 1111[反] = 1000 0000[原] = -0

数值是对了，但是是 -0 ，0的话，原则上是没有正负区分的，0加上符号之后也没有什么意义。

除此之外，两种编码 0000 0001[原] + 1000 0000[原] 都表示了0，造成了浪费。

十进制：-1 + (-127) = -128， -128超出了原码（反码）的表达范围，溢出变为126，不对

二进制：1111 1110[反] + 1000 0000[反] = 0111 1111[反] = 0111 1111[原] = 127

3.补码的加法（舍弃进位）

补码的运算规则：

两个机器数相加的补码可以先通过分别对两个机器数求补码，然后再相加得到，在采用补码形式表示时，进行加法运算可以把符号位和数值位一起进行运算(若符号位有进位，导致了溢出，则直接舍弃，注意这里和反码加法计算的区别)，结果为两数之和的补码形式。

补码的出现，解决了0的多编码问题。

十进制：1 + (-1) = 0

二进制：0000 0001[补] + 1111 1111[补] = 0000 0000[补] = 0000 0000[原] = 0

那多出来的 1000 0000[补] 来表示谁呢？答案是 -128

-127 的 原码、反码和补码分别是：1111 1111[原] 1000 0000[反] 1000 0001[补]

十进制：-1 + (-127) = -128

二进制：1111 1111[补] + 1000 0001[补] = 1000 0000[补]

在这里，用1000 0000[补]来表示-128 的补码，虽然按照前一节的定义， 1000 0000[补] 对应的原码是 0000 0000[原]，但这里不这么对应。所以，-128 只有补码，没有原码和反码。

考虑符号位时，原码的表示范围为[-127, 127]， 采用补码后，将 -0 变为表示 -128，这样补码的表示范围就是 [-128, 127]，多保存了一个最小值。

4. 32位int的表示范围 [-2147483648, 2147483647]

对于具有32bit位的int，

其最小值为：-2147483648 = -2^31，其补码为 0x8000 0000

其最大值为：-2147483647=2^31-1，其补码为 0x7FFF FFFF

对-2147483648取负值时，按理论应该是2147483648，但超过int能表达的最大正值，相当于2147283647+1=0111…1111+0000…0001=1000…0000=-2147483648（按补码理解）。也就是说对-2147483648取负仍然是-2147483648。

对-2147483648-1时，相当于1000…0000+1111…1111（-1的补码）=0111…1111（溢出后）=2147483647（int的最大正值）

三、反码的数学理论深入

3.1取模同余

以时针钟表为例，时间是12进制，如果当前是5点，希望设置为2点，该怎么调整钟表，下面有两种方法：

1. 时针往回拨3小时，5-3=2
2. 时针往前拨9小时，5+9=14， 14 mod 12=2

mod 指的是取模操作，14针对12的余数是2。

可以看到时针往回拨的减法操作可以用往前拨的加法操作替代。

同余的概念：

两个整数a, b，若他们除以整数m的余数相同，则成它俩对于模 m 同余。

对于时钟，3mod12=3， 15mod12=3。 3和15对于模12同余。

正数取余概念很容易，那么负数怎么取模呢？

负数的取模：

x mod y = x - y * floor( x / y )

-3 mod 2 = -3 - 2 * floor(-3/2) = -3 - 2 * (-2) = -3 +4 = 1

-5 mod 12 = -5 - 12 * floor(-5/12) = -5 - 12 * (-1) = 12- 5 = 7

-3 mod 12 = -3 - 12 * floor(-3/12) = -3 - 12 * (-1) = 12 -3 = 9

因此：减法转加法，相当于 找到 负数 的同余 正整数。

对于时针问题，5-3=2， 5+9=14mod12=2

-3 mod 12 = 9。 -3 和 9 是同余！

3.2反码的同余

下面看看反码和同余有什么关系。

拿 2 - 1来看，反码符号位参与运算，符号位进位后，循环加到最末一位：

2 - 1 = 2 + (-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]反 + [1111 1110]反 = [0000 0001]反 = 1

反码的计算结果是正确的。

在这里，关注的是 [0000 0010]反 + [1111 1110]反 ，因为正数的反码还是原码，如果在这里，将[1111 1110]反 除符号位之外的位看做是原码，则 -1 的反码表示的就是 126(除符号位)。

恰恰，126 mod 127 = 126 -1 mod 127 = 126

126 和 -1 同余，所以 2-1 和 2+126的余数是相同的。 都是正确结果1。

所以一个数的反码，相当于对于一个模的同余数，该模就是二进制所能表示的最大值。

像钟表一样，翻转一圈后找到正确的数值。

3.3补码的意义所在

既然反码已经实现了减法变加法，那补码的意义何在呢？上一节说了，利用补码，可以增加一个数的表达 -128，同时0的编码方式也只有一种。

补码是反码加1。反码加1之后，为何还是可以得到正确的结果？

再来看 2 -1 的情况：

2 - 1 = 2 + (-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]反 + [1111 1110]反

= [0000 0010]补 + [1111 1111]补 = [0000 0001]补 = 1

在这里，如果把 -1 的 [1111 1111]补 看成是 原码（除符号位），则 表示 127。

其实，补码就是在反码的基础上，增加了 模 的值。

在反码中，模为127，在补码中模为128。

用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128, 128]，但是由于0的特殊情况, 没有办法表示128, 所以补码的取值范围是[-128, 127]。

四、二进制运算

与或异或

与 &	或 |	异或 ^
0&0=0	0|0=0	0^0=0
0&1=0	0|1=1	0^1=1
1&0=0	1|0=1	1^0=1
1&1=1	1|1=1	1^1=0

左移

m<<n，表示把m左移n位。最左边的n位将被丢弃，右边补上n个0；

00001010<<2 = 00101000

10001010<<3 = 01010000

右移

m>>n，表示把m右移n位。右移的时候，右边的n位将被丢弃，左边补位的时候，要分情况。

1. unsigned 无符号，补0
2. signed，有符号，用符号位补。如果原来是正数，就补0，原来是负数，就补1.

00001010>>2 = 00000010

10001010>>3 = 11110001

总结：

左移时总是移位和补零；

右移时无符号数是移位和补零，此时称为逻辑右移；

而有符号数大多数情况下是移位和补最左边的位（也就是补最高有效位），移几位就补几位，此时称为算术右移。

参考文章

• https://www.cnblogs.com/huangjianwu/p/4549085.html
• https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html
• https://blog.csdn.net/qq_41376345/article/details/80536654?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task