1 书中的算法分析
在微软亚洲研究院上班，大家早上来的第一件事是干啥呢？查看邮件？No，是去水房拿饮料：酸奶，豆浆，绿茶、王老吉、咖啡、可口可乐……（当然，还是有很多同事把拿饮料当做第二件事）。
管理水房的阿姨们每天都会准备很多的饮料给大家，为了提高服务质量，她们会统计大家对每种饮料的满意度。一段时间后，阿姨们已经有了大批的数据。某天早上，当实习生小飞第一个冲进水房并一次拿了五瓶酸奶、四瓶王老吉、三瓶鲜橙多时，阿姨们逮住了他，要他帮忙。
从阿姨们统计的数据中，小飞可以知道大家对每一种饮料的满意度。阿姨们还告诉小飞，STC（Smart Tea Corp.）负责给研究院供应饮料，每天总量为V。STC很神奇，他们提供的每种饮料之单个容量都是2的方幂，比如王老吉，都是23=8升的，可乐都是25=32升的。当然STC的存货也是有限的，这会是每种饮料购买量的上限。统计数据中用饮料名字、容量、数量、满意度描述每一种饮料。
那么，小飞如何完成这个任务，求出保证最大满意度的购买量呢？
分析与解法
【解法一】
我们先把这个问题“数学化”一下吧。
假设STC共提供n种饮料，用（Si、Vi、Ci、Hi、Bi）（对应的是饮料名字、容量、可能的最大数量、满意度、实际购买量）来表示第i种饮料（i = 0, 1,…, n-1），其中可能的最大数量指如果仅买某种饮料的最大可能数量，比如对于第i中饮料Ci=V/Vi。
基于如上公式：
饮料总容量为
；
总满意度为
；
那么题目的要求就是，在满足条件
的基础上，求解
。
对于求最优化的问题，我们来看看动态规划能否解决。用Opt（V', i）表示从第i, i+1, i+2, …, n-1种饮料中，算出总量为V'的方案中满意度之和的最大值。
因此，Opt（V, 0）就是我们要求的值。
那么，我们可以列出如下的推导公式：Opt （V', i） = max { k* Hi + Opt（V' - Vi * k, i+1）}（k = 0, 1, …, Ci,i =0, 1, …, n-1）。
即：最优化的结果 = 选择第k种饮料×满意度+减去第k种饮料×容量的最优化结果根据这样的推导公式，我们列出如下的初始边界条件：
Opt（0, n）= 0，即容量为0的情况下，最优化结果为0。
Opt（x, n）= -INF（x != 0）（–INF为负无穷大），即在容量不为0的情况下，把最优化结果设为负无穷大，并把它作为初值。
那么，根据以上的推导公式，就不难列出动态规划求解代码，如下所示：
代码清单1-9
int Cal(intV, int type)
{
opt[0][T] = 0;// 边界条件
for(int i = 1; i <=V; i++)// 边界条件
{
opt[i][T] = -INF;
}
for(int j = T - 1; j>= 0; j--)
{
for(int i = 1; i <= V; i++)
{
opt[i][j] = -INF;
for(int k = 0; k <= C[j];k++) // 遍历第j种饮料选取数量k
{
if(i < k * V[j])
{
break;
}
int x = opt[i - k * V[j]][j + 1];
if(x != -INF)
{
x += H[j] * k;
if(x > opt[i][j])
{
opt[i][j] = x;
}
}
}
}
}
return opt[V][0];
}
在上面的算法中，空间复杂度为O（V*N），时间复杂度约为O（V*N*Max（Ci））。
因为我们只需要得到最大的满意度，则计算opt[i][j]的时候不需要opt[i][j+2]，只需要opt[k][j+1](0<=k<=V)，所以空间复杂度可以降为O（v）。
【解法二】
应用上面的 动态规划法可以得到结果，那么是否有可能进一步地提高效率呢？我们知道动态规划算法的一个变形是备忘录法，备忘录法也是用一个表格来保存已解决的子问题的 答案，并通过记忆化搜索来避免计算一些不可能到达的状态。具体的实现方法是为每个子问题建立一个记录项。初始化时，该纪录项存入一个特殊的值，表示该子问 题尚未求解。在求解的过程中，对每个待求解的子问题，首先查看其相应的纪录项。若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值，则表示该子问题是第一次遇到，此 时计算出该子问题的解，并保存在其相应的记录项中。若记录项中存储的已不是初始化时存入的初始值，则表示该子问题已经被计算过，其相应的记录项中存储的是 该子问题的解答。此时只需要从记录项中取出该子问题的解答即可。
因此，我们可以应用备忘录法来进一步提高算法的效率。
代码清单1-10
int opt[V + 1][T + 1]; // 子问题的记录项表，假设从i到T种饮料中，
// 找出容量总和为V’的一个方案，快乐指数最多能够达到
// opt（V'，i，T-1），存储于opt[V’][i]，
// 初始化时opt中存储值为-1，表示该子问题尚未求解。
int Cal(intV, int type)
{
if(type == T)
{
if(V== 0)
return 0;
else
return -INF;
}
if(V < 0)
return -INF;
else if(V == 0)
return 0;
else if(opt[V][type] !=-1)
return opt[V][type]; // 该子问题已求解，则直接返回子问题的解；
// 子问题尚未求解，则求解该子问题
int ret = -INF;
for(int i = 0; i <=C[type]; i++)
{
int temp = Cal(V– i * C[type], type + 1);
if(temp != -INF)
{
temp += H[type] * i;
if(temp > ret)
ret = temp;
}
}
return opt[V][type] =ret;
}
【解法三】
请注意这个题目的限制条件，看看它能否给我们一些特殊的提示。
我们把信息重新整理一下，按饮料的容量（单位为L）排序：
| Volume | TotalCount | Happiness |
| 20 | TC0_0 | H0_0 |
| … | … | … |
| 20 | TC0_n0 | H0_n0 |
| … | … | … |
| 21 | TC1_0 | H1_0 |
| … | … | … |
| 2M | TCM_0 | HM_0 |
| … | … | … |
假设最大容量为2 000L。一开始，如果V%（21）非零，那么，我们肯定需要购买20L容量的饮料，至少一瓶。在这里可以使用贪心规则，购买快乐指数最高的一瓶。除去这个，我们只要再购买总量（V-20） L的饮料就可以了。这时，如果我们要购买21L容量的饮料怎么办呢？除了21L容量里面快乐指数最高的，我们还应该考虑，两个容量为20L的饮料组合的情 况。其实我们可以把剩下的容量为20L的饮料之快乐指数从大到小排列，并用最大的两个快乐指数组合出一个新的“容量为2L”的饮料。不断地这样使用贪心原 则，即得解。这是不是就简单了很多呢？
2 算法分析
2.1 动态规划算法
没有悬念，优化问题就用动态规划、贪心算法、分支限界轮番上阵就好了。设Opt（V’，i）表示从i到n-1种饮料中，Ci为第i种饮料可能的最大数量，算出总量为V’的方案中满意度之和的最大值。那么递归式就应该是：
Opt（V’，i）=max{ k * Hi+Opt（V’-Vi * k，i+1）}（k=0，1，2…，Ci，i=0，1，2…，n-1）
这里我觉得需要说明给出的饮料组合最终可以组合出V。
2.2 贪心算法
书中的贪心解法似曾相识，把信息按照饮料的容量排序（其中设我们有n0种容量为20的饮料）：
| Volume | TotalCount | Happiness |
| 20 | TC0_0 | H0_0 |
| … | … | … |
| 20 | TC0_n0 | H0_n0 |
| … | … | … |
| 21 | TC1_0 | H1_0 |
| … | … | … |
| 2M | TCM_0 | HM_0 |
| … | … | … |
然后按照下面的顺序进行贪心选择：
(1) 饮料总量为1，从容量为20的饮料中选出快乐指数最大的。
(2) 饮料总量为2，从容量为21的饮料中选出快乐指数最大的（设为H1），与容量为20的饮料中快乐指数最大的（设为H0），比较H1和2* H0，取出其中最大者为当前最佳选择
(3) 继续进行下去，直到求出Opt（V，0）
粗看一下，有些似曾相识。我们在买书问题的时候也曾面临将买书计划拆分，然后查表进行贪心选择。然而买书问题每次选择至多选M本书，而且每次选择只影响下一次选择，所以只需要把2M进行有限的拆分即可。
而本题则不尽相同，对于某种容量V’（以V’=11为例）来说，有两个问题：
1. 首先，我们需要察看所有拆分的可能性，找出其中最大者作为本次贪心选择的结果。其中，由于“每种饮料的单位容量都是2的方幂”，所以拆分结果仅考虑用小于V’的2的方幂来进行组合，即（计算式1）11=8+2+1，4+4+2+1，4+2+2+2+1，….，1+1+…+1。可以看到，对于V’我们至少可以“拆”出V’种组合（或许更多），即便我们把每次的计算结果用表格保存起来，我们的查找次数也至少是Ω（1+2+…+V’=V’2），空间复杂度也很高，并没有如数中说“简单很多”。而且，如果取消“每种饮料的单位容量都是2的方幂”的限制，拆分的结果就会变成（计算式2）11=10+1，9+2，…，5+5，5+5+1，5+4+2，…..，导致查找次数进一步增加。
2. 其次，让我们回到贪心选择的定义上来。由于贪心选择性，贪心算法的过程是每次选择都选取当前看来最好的结果，使得当达到最终状态时的结果刚好是最优解。而我们再看V’=11的例子，假设最优解是4+4+2+1，则我们曾经计算过的8就不是最优解的一部分，这就和贪心算法的精神不符，所以这个方法其实还是动态规划。
3 总结
动态规划解法很好，贪心算法有待商榷。其实这是正常的，因为通常情况下使用贪心算法的难点在于证明贪心选择性的存在，鉴于这本书的定位，我们不能苛责更多。但是这个问题和上一个问题（买书折扣问题）的贪心算法我觉得都过于草率。如果想让这本书成为经典，“微软面试”的噱头是远远不够的，精益求精的态度至关重要，有时候真的没必要把Deadline设置的那么紧迫，偶尔跳票追求质量也是理所应当，看看人家暴雪的“星际争霸2”跳票这么多年就知道了…….