Dijkstra—网络延迟时间（leetcode743）

 题目描述

有 n 个网络节点，标记为 1 到 n。

给你一个列表 times，表示信号经过 有向 边的传递时间。 times[i] = (ui, vi, wi)，其中 ui 是源节点，vi 是目标节点， wi 是一个信号从源节点传递到目标节点的时间。

现在，从某个节点 K 发出一个信号。需要多久才能使所有节点都收到信号？如果不能使所有节点收到信号，返回 -1 。

示例 1：

输入：times = [[2,1,1],[2,3,1],[3,4,1]], n = 4, k = 2

输出：2

示例 2：

输入：times = [[1,2,1]], n = 2, k = 1

输出：1

示例 3：

输入：times = [[1,2,1]], n = 2, k = 2

输出：-1

提示：

    1 <= k <= n <= 100

    1 <= times.length <= 6000

    times[i].length == 3

    1 <= ui, vi <= n

    ui != vi

    0 <= wi <= 100

    所有 (ui, vi) 对都 互不相同（即，不含重复边）

问题分析

    题目实际是求节点 K到其他所有点中最远的距离，那么首先需要求出节点 K到其他所有点的最短路，然后取最大值即可。

    单源最短路问题可以使用 Dijkstra 算法，其核心思路是贪心算法。流程如下：

        1、首先，Dijkstra 算法需要从当前全部未确定最短路的点中，找到距离源点最短的点 x。

        2、其次，通过点 x更新其他所有点距离源点的最短距离。例如目前点 A 距离源点最短，距离为 3；有一条 A->B 的有向边，权值为 1，那么从源点先去 A 点再去 B 点距离为 3 + 1 = 4，若原先从源点到 B 的有向边权值为 5，那么我们便可以更新 B 到源点的最短距离为 4。

        3、当全部其他点都遍历完成后，一次循环结束，将 x标记为已经确定最短路。进入下一轮循环，直到全部点被标记为确定了最短路。

    我们通过一个[例子]对 Dijkstra 算法的流程深入了解一下：

以上图片为一个有向带权图，圆圈中为节点序号，箭头上为边权，右侧为所有点距离源点 0 的距离。

将顶点 0 进行标识，并作为点 x，更新其到其他所有点的距离。一轮循环结束。

将顶点 2 进行标识，并作为新的点 xxx，更新。我们看到，原本点 1 的最短距离为 5，被更新为了 3。同理还更新了点 3 和点 4 的最短距离。

将顶点 1 进行标识，并作为新的点 x，同样更新了点 4 到源点的最短距离。

再分别标识点 4 和点 3，循环结束。

我们来看在实现时需要的代码支持：

        1、首先，Dijkstra 算法需要存储各个边权，由于本题节点数量不超过 100，所以代码中使用了邻接矩阵 g[i][j] 存储从点 i 到点 j 的距离。若两点之间没有给出有向边，则初始化为 inf。算法还需要记录所有点到源点的最短距离，代码中使用了 dist[i] 数组存储源点到点 i 的最短距离，初始值也全部设为 inf。由于本题源点为 K，所以该点距离设为 0。

        2、其次，Dijkstra 算法需要标记某一节点是否已确定了最短路，在代码中使用了 used[i] 数组存储，若已确定最短距离，则值为 true，否则值为 false。

        3、之所以 inf 设置为 INT_MAX / 2，是因为在更新最短距离的时候，要有两个距离相加，为了防止溢出 int 型，所以除以 2。

代码

class Solution {
public:
    int networkDelayTime(vector<vector<int>> &times, int n, int k) {
        const int inf = INT_MAX / 2;

        // 邻接矩阵存储边信息
        vector<vector<int>> g(n, vector<int>(n, inf));
        for (auto &t : times) {
            // 边序号从 0 开始
            int x = t[0] - 1, y = t[1] - 1;
            g[x][y] = t[2];
        }

        // 从源点到某点的距离数组
        vector<int> dist(n, inf);
        // 由于从 k 开始，所以该点距离设为 0，也即源点
        dist[k - 1] = 0;

        // 节点是否被更新数组
        vector<bool> used(n);

        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
            int x = -1;
            for (int y = 0; y < n; ++y) {
                if (!used[y] && (x == -1 || dist[y] < dist[x])) {
                    x = y;
                }
            }

            // 用该点更新所有其他点的距离
            used[x] = true;
            for (int y = 0; y < n; ++y) {
                dist[y] = min(dist[y], dist[x] + g[x][y]);
            }
        }

        // 找到距离最远的点
        int ans = *max_element(dist.begin(), dist.end());
        return ans == inf ? -1 : ans;
    }
};
           

 Dijkstra+小根堆

class Solution {
public:
    int networkDelayTime(vector<vector<int>>& times, int n, int k) {

        const int inf = INT_MAX/2;
        unordered_map<int,vector<pair<int,int>>> adj;
        vector<int> dict(n, inf);
        vector<bool> visited(n, false);
        for(auto& v: times) {
            adj[v[0]-1].push_back({v[1]-1,v[2]});
        }
        priority_queue<pair<int,int>,vector<pair<int,int>>, greater<pair<int,int>>> minHeap;
        minHeap.push({0,k-1});
        dict[k-1] = 0;
        while(!minHeap.empty()) {
            auto cur = minHeap.top();
            minHeap.pop();

            int d = cur.first;
            int x = cur.second;
            visited[x]= true;
            for(auto& neighbor: adj[x]) {
                if(d+neighbor.second < dict[neighbor.first]) {
                    dict[neighbor.first] = d+neighbor.second;
                    minHeap.push({d+neighbor.second, neighbor.first});
                }
            }
        }
        int ans = *max_element(dict.begin(), dict.end());
        return ans == inf? -1:ans;
    }
};
           

复杂度分析

枚举写法的复杂度如下：

    时间复杂度：O(n^2+m)，其中 m是数组times 的长度。

    空间复杂度：O(n^2)。邻接矩阵需占用 O(n^2)的空间。

堆的写法复杂度如下：

    时间复杂度：O(mlog⁡m)，其中 m是数组 times的长度。

    空间复杂度：O(n+m)。