算法定义
算法定义：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。
算法的特性
1.输入和输出
算法具有零个或多个输入。算法至少有一个或多个输出。
2.有穷性
有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。
3.确定性
确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。
4.可行性
可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。
算法设计的要求
1.正确性
正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。
①算法程序没有语法错误。
②算法程序对于合法的输入数据能够产出满足要求的输出结果。
③算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。
④算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。
2.可读性
可读性：算法设计的另一个目的是为了便于阅读、理解和交流。
3.健壮性
健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。
4.时间效率高和存储量低
设计算法应该尽量满足时间效率高和存储量低的需求。
算法效率的度量方法
1.事后统计方法
事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。
这种方法显然是有很大缺陷的：
①必须依据算法事先编制好程序，这通常需要花费大量的时间和精力。
②时间的比较依赖计算机硬件和软件等环境因素，有时会掩盖算法本身的优劣。
③算法的测试数据设计困难，并且程序的运行时间往往还与测试数据的规模有很大关系。效率高的算法在小的测试数据面前往往得不到体现。
2.事前分析估算方法
事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。
一个用高级程序语言编写的程序在计算机上运行所消耗的时间决定于下列因素：
①算法采用的策略、方法。
②编译产生的代码质量。
③问题的输入规模。
④机器执行指令的速度。
第①条当然是算法好坏的根本，第②条要由软件来支持，第④条要看硬件的性能。也就是说，抛开这些与计算机硬件、软件有关的因素，一个程序的运行时间，依赖于算法的好坏和问题的输入规模。所谓问题输入规模是指输入量的多少。
下面是两种求和算法：
算法好坏显而易见。
,这个算法的执行时间随着n的增加也将远远多于前面两个。
最终，在分析程序的运行时间时，最重要的是把程序看成是独立于程序设计语言的算法或一些列步骤。
函数的渐进增长
函数的渐进增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐进快于g(n)。
①我们可以忽略加法常数。
②与最高次项相乘的常数并不重要。
③最高次项的指数大的，函数随着n的增长，结果也会增长的特别快。
判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要的项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。基本就可以分析出：某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一个算法，或者越来越差与另一个算法。
算法时间复杂度
算法时间复杂度定义
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。
这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。
推导大O阶方法
①用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
②在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
③如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。
常数阶
这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据推导大O阶方法，第一步就是把常数项3改为1。没有最高项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。
线性阶
分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
它的循环的复杂度为O(n)，因为循环体中的代码要执行n次。
对数阶
由
得到
。所以这个循环的时间复杂度为O(
) 。
平方阶
时间复杂度O(
) 。
下面这个
时间复杂度O(
) 。
看这个
执行总次数是：
根据推导大O阶方法，最终为O(
)。
理解大O推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多得是考察你的数学知识和能力。
常用的时间复杂度所消耗的时间从小到大依次是：
O(1)<O(
)<O(n)<O(
)<O(
)<O(
)<O(
)<O(n!)<O(
)
常数阶<对数阶<线性阶<
阶<平方阶<立方阶<指数阶<O(n!)<O(
)
最坏情况与平均情况
最坏情况运行时间是一种保证，那就是运行时间将不会再坏了。在应用中，这是一种最重要的需求，通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。
平均运行时间是所有情况中最有意义的，因为它是期望的运行时间。
一般在没有特殊说明的情况下，都是指最坏时间复杂度。