对于线性时间筛选素数算法的理解

1. 算法描述

线性筛选素数和其它的素数筛选方法比如Eratosthenes筛选都是一个思想，就是在已筛选出来的素数基础上按倍数把后面的合数去掉，但是由于多了下面这么一个判断一下子变成了线性时间复杂度。

if(i%prime[j]==0) break;

2. 算法实现

#include <stdio.h>
#define N 100000
/* 打出一张素数表和一张判断表 */
void primeTable(int *prime, int *isPrime)
{
    int pnum = , i, j;
    for(i=; i<=N; i++)
        isPrime[i] = ;
    for(i=; i<=N; i++)
    {
        if(isPrime[i]==)
            prime[pnum++] = i;
        for(j=; j<pnum && prime[j]*i<=N; j++)
        {
            isPrime[prime[j]*i] = ;
            if(i%prime[j]==)
                break;
        }
    }
}
int main()
{
    int n, prime[N+], isPrime[N+];
    printf("请输入一个整数: ");
    scanf("%d", &n);
    primeTable(prime, isPrime);

    if(isPrime[n]==)
        printf("是素数\n");
    else
        printf("不是素数\n");
    return ;
}
           

3. 主要解释if(i%prime[j]==0) break;

关于这一句的解释一搜一大堆，无非都是两个数相乘可以由一个更小的质数和一个更大的合数相乘得到，这不需要什么理论应该可以感觉出来，比如4*6=3*8=2*12，但是问题是为什么当i能够整除素数表中当前的素数时，就不用再使用下一个素数去筛掉后面的合数。

假设当前素数表为:2 3

而此时i为4，

在标记完2*4=8为合数之后，判断出4能够整除2，按照算法此时应该不用管3了，而是直接i++之后素数表从头开始与i相乘标记后面的合数。

分析一下，既然i为4能够整除2，那么i的倍数肯定也能整除2（这是理所当然的），比如下一个素数3，也就是说有下面的等式

当前i *  == X *     （X表示某个数，因为<,所以X>当前i）
           

而i不断递增总有一天会等于X,所以

当前i *  == 未来i * 
           

所以当前的i不要去急着去把未来的事给做了，等将来i由4递增变成了6，就可以去完成这一步将12给标记为合数了，否则会导致重复运算一次。

同理，当素数表为:2 3 5 7

当前i=9时，

isPrime[9*2] = isPrime[18] = 0

isPrime[9*3] = isPrime[27] = 0

此时9 % 3 == 0，如果现在把5*9=45给做了的话，根据

当前i *  = 未来i * 
           

当i递增到15时，又会重复运算一遍，这样就达不到线性时间了。