最小堆
基本思想：堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点的值均不大于(或不小于)其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小(或最大)的，每次都取堆顶的元素，将其放在序列最后面，然后将剩余的元素重新调整为最小（大）堆，依次类推，最终得到排序的序列。
堆排序分为大顶堆和小顶堆排序。大顶堆：堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点的值均不小于其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最大的。而小顶堆正好相反，小顶堆：堆对应一棵完全二叉树，且所有非叶结点的值均不大于其子女的值，根结点（堆顶元素）的值是最小的。
举个例子：
(a)大顶堆序列：（96, 83,27,38,11,09)
(b)小顶堆序列：（12，36，24，85，47，30，53，91）
实现堆排序需解决两个问题：
1. 如何将n 个待排序的数建成堆?
2. 输出堆顶元素后，怎样调整剩余n-1 个元素，使其成为一个新堆?
首先讨论第二个问题：输出堆顶元素后，怎样对剩余n-1元素重新建成堆？
调整小顶堆的方法：
1）设有m 个元素的堆，输出堆顶元素后，剩下m-1 个元素。将堆底元素送入堆顶（（最后一个元素与堆顶进行交换），堆被破坏，其原因仅是根结点不满足堆的性质。
2）将根结点与左、右子树中较小元素的进行交换。
3）若与左子树交换：如果左子树堆被破坏，即左子树的根结点不满足堆的性质，则重复方法 （2）.
4）若与右子树交换，如果右子树堆被破坏，即右子树的根结点不满足堆的性质。则重复方法 （2）.
5）继续对不满足堆性质的子树进行上述交换操作，直到叶子结点，堆被建成。
称这个自根结点到叶子结点的调整过程为筛选。如图：
再讨论第一个问题，如何将n 个待排序元素初始建堆？
建堆方法：对初始序列建堆的过程，就是一个反复进行筛选的过程。
1）n 个结点的完全二叉树，则最后一个结点是第n/2个结点的子树。
2）筛选从第n/2个结点为根的子树开始，该子树成为堆。
3）之后向前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点。
如图建堆初始过程：无序序列：（49，38，65，97，76，13，27，49）
C#算法实现：
using System;
using System.Collections.Generic;
namespace StructScript
{
/// <summary>
/// 最小堆实现
/// </summary>
/// <typeparam name="T"></typeparam>
public class BinaryHeap<T>
{
//默认容量为6
private const int DEFAULT_CAPACITY = 6;
private int mCount;
private T[] mItems;
private Comparer<T> mComparer;
public BinaryHeap() : this(DEFAULT_CAPACITY) { }
public BinaryHeap(int capacity)
{
if (capacity < 0)
{
throw new IndexOutOfRangeException();
}
mItems = new T[capacity];
mComparer = Comparer<T>.Default;
}
/// <summary>
/// 增加元素到堆，并从后往前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点
/// </summary>
/// <param name="value"></param>
/// <returns></returns>
public bool Enqueue(T value)
{
if (mCount == mItems.Length)
{
ResizeItemStore(mItems.Length * 2);
}
mItems[mCount++] = value;
int position = BubbleUp(mCount - 1);
return (position == 0);
}
/// <summary>
/// 取出堆的最小值
/// </summary>
/// <returns></returns>
public T Dequeue()
{
return Dequeue(true);
}
private T Dequeue(bool shrink)
{
if (mCount == 0)
{
throw new InvalidOperationException();
}
T result = mItems[0];
if (mCount == 1)
{
mCount = 0;
mItems[0] = default(T);
}
else
{
--mCount;
//取序列最后的元素放在堆顶
mItems[0] = mItems[mCount];
mItems[mCount] = default(T);
// 维护堆的结构
BubbleDown();
}
if (shrink)
{
ShrinkStore();
}
return result;
}
private void ShrinkStore()
{
// 如果容量不足一半以上，默认容量会下降。
if (mItems.Length > DEFAULT_CAPACITY && mCount < (mItems.Length >> 1))
{
int newSize = Math.Max(
DEFAULT_CAPACITY, (((mCount / DEFAULT_CAPACITY) + 1) * DEFAULT_CAPACITY));
ResizeItemStore(newSize);
}
}
private void ResizeItemStore(int newSize)
{
if (mCount < newSize || DEFAULT_CAPACITY <= newSize)
{
return;
}
T[] temp = new T[newSize];
Array.Copy(mItems, 0, temp, 0, mCount);
mItems = temp;
}
public void Clear()
{
mCount = 0;
mItems = new T[DEFAULT_CAPACITY];
}
/// <summary>
/// 从前往后依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到序列最后的节点
/// </summary>
private void BubbleDown()
{
int parent = 0;
int leftChild = (parent * 2) + 1;
while (leftChild < mCount)
{
// 找到子节点中较小的那个
int rightChild = leftChild + 1;
int bestChild = (rightChild < mCount && mComparer.Compare(mItems[rightChild], mItems[leftChild]) < 0) ?
rightChild : leftChild;
if (mComparer.Compare(mItems[bestChild], mItems[parent]) < 0)
{
// 如果子节点小于父节点, 交换子节点和父节点
T temp = mItems[parent];
mItems[parent] = mItems[bestChild];
mItems[bestChild] = temp;
parent = bestChild;
leftChild = (parent * 2) + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
/// <summary>
/// 从后往前依次对各结点为根的子树进行筛选，使之成为堆，直到根结点
/// </summary>
/// <param name="startIndex"></param>
/// <returns></returns>
private int BubbleUp(int startIndex)
{
while (startIndex > 0)
{
int parent = (startIndex - 1) / 2;
//如果子节点小于父节点，交换子节点和父节点
if (mComparer.Compare(mItems[startIndex], mItems[parent]) < 0)
{
T temp = mItems[startIndex];
mItems[startIndex] = mItems[parent];
mItems[parent] = temp;
}
else
{
break;
}
startIndex = parent;
}
return startIndex;
}
}
}
附上，测试用例：
using System;
namespace StructScript
{
public class TestBinaryHeap
{
static void Main(string[] args)
{
BinaryHeap<int> heap = new BinaryHeap<int>();
heap.Enqueue(8);
heap.Enqueue(2);
heap.Enqueue(3);
heap.Enqueue(1);
heap.Enqueue(5);
Console.WriteLine(heap.Dequeue());
Console.WriteLine(heap.Dequeue());
Console.ReadLine();
}
}
}
测试用例，执行结果依次输出1，2。