五、二叉树
一、二叉树入门
之前我们实现的符号表中，不难看出，符号表的增删查操作，随着元素个数N的增多，其耗时也是线性增多的，时
间复杂度都是O(n),为了提高运算效率，接下来我们学习树这种数据结构。
1.1 树的基本定义
树是我们计算机中非常重要的一种数据结构，同时使用树这种数据结构，可以描述现实生活中的很多事物，例如家
谱、单位的组织架构、等等。
树是由n（n>=1）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就
是说它是根朝上，而叶朝下的。
树具有以下特点：
1.每个结点有零个或多个子结点；
2.没有父结点的结点为根结点；
3.每一个非根结点只有一个父结点；
4.每个结点及其后代结点整体上可以看做是一棵树，称为当前结点的父结点的一个子树；
1.2 树的相关术语
结点的度：
一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；
叶结点：
度为0的结点称为叶结点，也可以叫做终端结点
分支结点：
度不为0的结点称为分支结点，也可以叫做非终端结点
结点的层次：
从根结点开始，根结点的层次为1，根的直接后继层次为2，以此类推
结点的层序编号：
将树中的结点，按照从上层到下层，同层从左到右的次序排成一个线性序列，把他们编成连续的自然数。
树的度：
树中所有结点的度的最大值
树的高度(深度)：
树中结点的最大层次
森林：
m（m>=0）个互不相交的树的集合，将一颗非空树的根结点删去，树就变成一个森林；给森林增加一个统一的根
结点，森林就变成一棵树
孩子结点：
一个结点的直接后继结点称为该结点的孩子结点
双亲结点(父结点)：
一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点
兄弟结点：
同一双亲结点的孩子结点间互称兄弟结点
1.3 二叉树的基本定义
二叉树就是度不超过2的树(每个结点最多有两个子结点)
满二叉树：
一个二叉树，如果每一个层的结点树都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
完全二叉树：
叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
1.4 二叉查找树的创建
1.4.1二叉树的结点类
根据对图的观察，我们发现二叉树其实就是由一个一个的结点及其之间的关系组成的，按照面向对象的思想，我们
设计一个结点类来描述结点这个事物。
结点类API设计：
代码实现：
private static class Node<Key, Value> {
public Key key;
public Value value;
public Node left;
public Node right;
public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {
this.key = key;
this.value = value;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
1.4.2 二叉查找树API设计
1.4.3 二叉查找树实现
插入方法put实现思想：
- 如果当前树中没有任何一个结点，则直接把新结点当做根结点使用
- 如果当前树不为空，则从根结点开始：
2.1 如果新结点的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
2.2 如果新结点的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
2.3 如果新结点的key等于当前结点的key，则树中已经存在这样的结点，替换该结点的value值即可
查询方法get实现思想：
从根节点开始：
- 如果要查询的key小于当前结点的key，则继续找当前结点的左子结点；
- 如果要查询的key大于当前结点的key，则继续找当前结点的右子结点；
- 如果要查询的key等于当前结点的key，则树中返回当前结点的value。
删除方法delete实现思想：
- 找到被删除结点；
- 找到被删除结点右子树中的最小结点minNode
- 删除右子树中的最小结点
-
让被删除结点的左子树称为最小结点minNode的左子树，让被删除结点的右子树称为最小结点minNode的右
子树
- 让被删除结点的父节点指向最小结点minNode
代码：
public class BinaryTree<Key extends Comparable<Key>, Value> {
// 记录根节点
private Node root;
// 记录树中元素的个数
private int N;
// 获取树中元素的个数
public int size() {
return N;
}
// 像树中添加元素key-value
public void put(Key key, Value value) {
root = put(root, key, value);
}
// 向指定树x中添加key-value，并返回添加元素后新的树
private Node put(Node x, Key key, Value value) {
// 如果x子树为空
if (x == null) {
N++;
return new Node(key, value, null, null);
}
// 如果x子树不为空
// 比较x结点的键，和key的大小
int cmp = key.compareTo((Key) x.key);
if (cmp > 0) {
// 如果key>x结点的key，则继续找x结点的右子树
x.right = put(x.right, key, value);
} else if (cmp < 0) {
// 如果key<x结点的key，则继续找x结点的左子树
x.left = put(x.left, key, value);
} else {
// 如果key=x结点的key，则替换x结点的值为value即可
x.value = value;
}
return x;
}
// 查询树中指定key对应的value
public Value get(Key key) {
return get(root, key);
}
// 从指定的树x中，查找key对应的value
private Value get(Node x, Key key) {
// x树为空
if (x == null) {
return null;
}
// x树不为空
// 比较x结点的键，和key的大小
int cmp = key.compareTo((Key) x.key);
if (cmp > 0) {
// 如果key>x结点的key，则继续找x结点的右子树
return get(x.right, key);
} else if (cmp < 0) {
// 如果key<x结点的key，则继续找x结点的左子树
return get(x.left, key);
} else {
// 如果key=x结点的key,就是找到了，返回x结点的值即可
return (Value) x.value;
}
}
// 删除树中key对应的value
public void delete(Key key) {
delete(root, key);
}
// 删除指定树x中的key对应的value，并返回删除后的新树
public Node delete(Node x, Key key) {
if (x == null) {
return null;
}
int cmp = key.compareTo((Key) x.key);
if (cmp > 0) {
// 如果key>x结点的key，则继续找x结点的右子树
x.right = delete(x.right, key);
} else if (cmp < 0) {
// 如果key<x结点的key，则继续找x结点的左子树
x.left = delete(x.left, key);
} else {
// 让元素个数-1
N--;
// 如果key=x结点的key,完成真正的删除结点
// 找到右子树中最小的结点
if (x.right == null) {
return x.left;
}
if (x.left == null) {
return x.right;
}
Node minNode = x.right;
while (minNode.left != null) {
minNode = minNode.left;
}
// 删除右子树中最小的结点,也就是找到的minNode
Node n = x.right;
while (n.left != null) {
if (n.left.left == null) {
n.left = null;
} else {
// 变换n结点
n = n.left;
}
}
// 让删除结点的父结点与删除结点的右结点相连接（连接大的一方）
n.left = minNode.right;
// 让x结点的左子树成为minNode的左子树
minNode.left = x.left;
// 让x结点的右子树成为minNode的右子树
minNode.right = x.right;
// 让x结点的父结点指向minNode,因为前面
// x.left = delete(x.left, key);
// x.right = delete(x.right, key); 所以返回x使得父节点下一个结点变为minNode
x = minNode;
}
return x;
}
private static class Node<Key, Value> {
public Key key;
public Value value;
public Node left;
public Node right;
public Node(Key key, Value value, Node left, Node right) {
this.key = key;
this.value = value;
this.left = left;
this.right = right;
}
}
}
public static void main(String[] args) {
//创建二叉查找树对象
BinaryTree<Integer, String> tree = new BinaryTree<>();
//测试插入
tree.put(1,"张三");
tree.put(7,"李四");
tree.put(3,"王五");
System.out.println("插入完毕后元素的个数："+tree.size());
//测试获取
System.out.println("键3对应的元素是："+tree.get(3));
//测试删除
tree.delete(3);
System.out.println("删除后的元素个数："+tree.size());
System.out.println("删除后键3对应的元素:"+tree.get(3));
}
输出：
插入完毕后元素的个数：3
键3对应的元素是：王五
删除后的元素个数：2
删除后键3对应的元素:null
1.4.4 二叉查找树其他便捷方法
1.4.4.1 查找二叉树中最小的键
在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最小值，比如我们的树中存储的是学生的排名和姓名数
据，那么需要查找出排名最低是多少名？这里我们设计如下两个方法来完成：
/*
找出树中最小的键
*/
public Key min() {
return (Key) min(root).key;
}
/*
找出指定树x中，最小键所在的结点
*/
private Node min(Node x) {
if (x.left != null) {
return min(x.left);
} else {
return x;
}
}
1.4.4.2 查找二叉树中最大的键
在某些情况下，我们需要查找出树中存储所有元素的键的最大值，比如比如我们的树中存储的是学生的成绩和学生
的姓名，那么需要查找出最高的分数是多少？这里我们同样设计两个方法来完成：
/*
找出树中最大的键
*/
public Key max() {
return (Key) max(root).key;
}
/*
找出指定树x中，最小大键所在的结点
*/
private Node max(Node x) {
if (x.right != null) {
return max(x.right);
} else {
return x;
}
}
1.5 二叉树的基础遍历
很多情况下，我们可能需要像遍历数组数组一样，遍历树，从而拿出树中存储的每一个元素，由于树状结构和线性
结构不一样，它没有办法从头开始依次向后遍历，所以存在如何遍历，也就是按照什么样的搜索路径进行遍历的问
题。
我们把树简单的画作上图中的样子，由一个根节点、一个左子树、一个右子树组成，那么按照根节点什么时候被访
问，我们可以把二叉树的遍历分为以下三种方式：
- 前序遍历；
先访问根结点，然后再访问左子树，最后访问右子树
- 中序遍历；
先访问左子树，中间访问根节点，最后访问右子树
- 后序遍历；
先访问左子树，再访问右子树，最后访问根节点
如果我们分别对下面的树使用三种遍历方式进行遍历，得到的结果如下：
1.5.1 前序遍历
我们在4.4中创建的树上，添加前序遍历的API：
public Queue<Key> preErgodic()：
使用前序遍历，获取整个树中的所有键
private void preErgodic(Node x,Queue<Key> keys)：
使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队
列中
实现过程中，我们通过前序遍历，把,把每个结点的键取出，放入到队列中返回即可。
实现步骤：
1.把当前结点的key放入到队列中;
2.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
代码：
/*
使用前序遍历，获取整个树中的所有键
*/
public Queue<Key> preErgodic() {
Queue<Key> keys = new Queue<>();
preErgodic(root, keys);
return keys;
}
/*
使用前序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
*/
private void preErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {
if (x == null) {
return;
}
// 把x结点的key放到keys中
keys.enqueue((Key) x.key);
// 递归遍历x结点的左子树
if (x.left != null) {
preErgodic(x.left, keys);
}
// 递归遍历x结点的右子树
if (x.right != null) {
preErgodic(x.right, keys);
}
}
1.5.2 中序遍历
我们在4.4中创建的树上，添加前序遍历的API：
public Queue<Key> midErgodic()：
使用中序遍历，获取整个树中的所有键
private void midErgodic(Node x,Queue<Key> keys)：
使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队
列中
实现步骤：
1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
2.把当前结点的key放入到队列中;
3.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
代码：
/*
使用中序遍历，获取整个树中的所有键
*/
public Queue<Key> midErgodic() {
Queue<Key> keys = new Queue<>();
midErgodic(root, keys);
return keys;
}
/*
使用中序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
*/
private void midErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {
if (x == null) {
return;
}
// 先递归把左子树中的键放到keys中
if (x.left != null) {
midErgodic(x.left, keys);
}
// 把当前结点x的键放到keys中
keys.enqueue((Key) x.key);
// 在递归把右子树中的键放到keys中
if (x.right != null) {
midErgodic(x.right, keys);
}
}
1.5.3 后序遍历
我们在4.4中创建的树上，添加前序遍历的API：
public Queue<Key> afterErgodic()：
使用后序遍历，获取整个树中的所有键
private void afterErgodic(Node x,Queue<Key> keys)：
使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
实现步骤：
1.找到当前结点的左子树，如果不为空，递归遍历左子树
2.找到当前结点的右子树，如果不为空，递归遍历右子树
3.把当前结点的key放入到队列中;
代码：
/*
使用后序遍历，获取整个树中的所有键
*/
public Queue<Key> afterErgodic() {
Queue<Key> keys = new Queue<>();
afterErgodic(root, keys);
return keys;
}
/*
使用后序遍历，把指定树x中的所有键放入到keys队列中
*/
private void afterErgodic(Node x, Queue<Key> keys) {
if (x == null) {
return;
}
// 先递归把左子树中的键放到keys中
if (x.left!=null){
afterErgodic(x.left,keys);
}
// 在递归把右子树中的键放到keys中
if (x.right!=null){
afterErgodic(x.right,keys);
}
// 把当前结点x的键放到keys中
keys.enqueue((Key) x.key);
}
1.6 二叉树的层序遍历
所谓的层序遍历，就是从根节点（第一层）开始，依次向下，获取每一层所有结点的值，有二叉树如下：
那么层序遍历的结果是：EBGADFHC
我们在4.4中创建的树上，添加层序遍历的API：
public Queue<Key> layerErgodic()：
使用层序遍历，获取整个树中的所有键
实现步骤：
- 创建队列，存储每一层的结点；
-
使用循环从队列中弹出一个结点：
2.1 获取当前结点的key；
2.2 如果当前结点的左子结点不为空，则把左子结点放入到队列中
2.3 如果当前结点的右子结点不为空，则把右子结点放入到队列中
代码：
/**
* 层序遍历
* @return
*/
public Queue<Key> layerErgodic(){
// 定义两个队列。分别存储树中的键和树中的结点
Queue<Key> keys = new Queue<>();
Queue<Node> nodes = new Queue<>();
// 默认，往队列中放入根结点
nodes.enqueue(root);
while (!nodes.isEmpty()){
// 从队列中弹出一个结点，把key放入到keys中
Node n = nodes.dequeue();
keys.enqueue((Key) n.key);
// 判断当前结点还有没有左子节点，如果有，则放入到nodes中
if (n.left!=null){
nodes.enqueue(n.left);
}
// 判断当前结点还有没有右子节点，如果有，则放入到nodes中
if (n.right!=null){
nodes.enqueue(n.right);
}
}
return keys;
}
1.7 二叉树的最大深度问题
需求：
给定一棵树，请计算树的最大深度（树的根节点到最远叶子结点的最长路径上的结点数）
上面这棵树的最大深度为4。
实现：
我们在1.4中创建的树上，添加如下的API求最大深度：
public int maxDepth()：计算整个树的最大深度
private int maxDepth(Node x):计算指定树x的最大深度
实现步骤：
- 如果根结点为空，则最大深度为0；
- 计算左子树的最大深度；
- 计算右子树的最大深度；
- 当前树的最大深度=左子树的最大深度和右子树的最大深度中的较大者+1
代码：
// 获取整个树的最大深度
public int maxDepth() {
return maxDepth(root);
}
// 获取指定树x的最大深度
public int maxDepth(Node x) {
if (x == null) {
return 0;
}
// 总的深度
int max = 0;
// 左子树深度
int maxL = 0;
// 右子树深度
int maxR = 0;
// 计算x左子树的最大深度
if (x.left != null) {
maxL = maxDepth(x.left);
}
// 计算x右子树的最大深度
if (x.right != null) {
maxR = maxDepth(x.right);
}
// 取二者较大的
max = maxL > maxR ? maxL + 1 : maxR + 1;
return max;
}