【动态规划】最长上升子序列LIS

经典问题

给一个长度为n的序列a，问其中最长上升子序列的长度为多少

O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)做法

dp[i]:以a[i]结尾的最长上升子序列长度是多少

代码：

int n;
int a[maxn],dp[maxn];
int ans[maxn];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
	}
	dp[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=i-1;j++){
            if(a[i]>a[j]){
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            }
        }
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
        cout<<dp[i]<<endl;
	}
    return 0;
}
           

O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)做法

dp[i]:长度为i的最长公共子序列的最后一位最小可以是多少

这里先给出 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)写法：

int n;
int a[maxn],dp[maxn];
int ans[maxn];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
	}
	memset(dp,inf,sizeof(dp));
	dp[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(dp[j-1]==inf) break;
            if(dp[j-1]<a[i]){
                ans[i]=max(ans[i],j);
                dp[j]=min(dp[j],a[i]);
            }
        }
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
        cout<<ans[i]<<endl;
	}
    return 0;
}
           

O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)写法

分析：

1. 在这种转移下，我们不难发现dp数组是单调递增的

2. 通过观察和推导，我们会发现其实有很多转移是多余的，说白了我们只需要找到比a[i]大于或等于的第一个数，然后替换掉就好了，相应的后面的都会被改上来

   代码：

int n;
int a[maxn],dp[maxn];
int ans[maxn];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
	}
	memset(dp,inf,sizeof(dp));
	dp[0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
        int p=lower_bound(dp+1,dp+1+n,a[i])-dp;//如果是最长非递减，只需要把lower_bound改成upper_bound即可
        dp[p]=a[i];
        ans[i]=p;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
        cout<<ans[i]<<endl;
	}
    return 0;
}