九度OJ 1081： 递推数列

题目描述：

给定a0,a1,以及an=p*a(n-1) + q*a(n-2)中的p,q。这里n >= 2。 求第k个数对10000的模。

输入：

输入包括5个整数：a0、a1、p、q、k。

输出：

第k个数a(k)对10000的模。

样例输入：

20 1 1 14 5      

样例输出：

8359      

来源：

2009年清华大学计算机研究生机试真题

题目分析1：

一个很显然的想法是递推计算这k+1个数对10000的模，实现如下：

源代码1（TLE）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MOD 10000
  
int main()
{
    int a0, a1, p, q, k;
    while(scanf("%d%d%d%d%d", &a0, &a1, &p, &q, &k) != EOF)
    {
        int *pa = (int *)malloc(sizeof(int)*(k+1));
        pa[0] = a0;
        pa[1] = a1;
        int i;
        for(i = 2; i <= k; i++)                      //时间复杂度为O(k)
            pa[i] = (p * pa[i-1] + q * pa[i-2])%MOD;
        printf("%d\n", pa[k]);
        free(pa);
    }
    //system("pause");
    return 0;
}
/**************************************************************
    Problem: 1081
    User: superlc320
    Language: C++
    Result: Time Limit Exceed
****************************************************************/
           

题目分析2：

很不幸，超时了。以上算法的时间复杂度为O(k), 当k很大时，会TLE。 再次分析题目，会发现递推公式

进而推出

问题转化为求

这里要用到 矩阵二分乘法。 矩阵二分乘法是一种有效的快速计算矩阵幂的算法。 矩阵二分乘法通常可以将线性递推问题O(n)时间缩短到O（log(n)）。 关于矩阵二分乘法更详细的内容可以问度娘。

源代码2

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MOD 10000       //结果取MOD，避免高精度运算
 
/*将矩阵p与矩阵q相乘，结果存入p矩阵*/
void Matrix_mul(int p[2][2], int q[2][2])
{
    int i, j, k;
    int t[2][2]={0};
    for(i = 0; i <= 1; i++)
        for(j = 0; j <= 1; j++)
            for(k = 0; k <= 1; k++)
                t[i][j] += p[i][k] * q[k][j];
    for(i = 0; i <= 1; i++)
        for(j = 0; j <= 1; j++)
            p[i][j] = t[i][j] % MOD;
}
 
/*计算p矩阵的n次方，结果存入p矩阵*/
void Matrix_cal(int p[2][2], int n)
{
    int i, j;
    int t[2][2];
    for(i = 0; i <= 1; i++)
        for(j = 0; j <= 1; j++)
            t[i][j] = p[i][j];
    if(n == 1) 
        return;
    else if(n & 1)
    {
        Matrix_cal(p, n-1);
        Matrix_mul(p, t);
    }
    else
    {
        Matrix_cal(p, n/2);
        Matrix_mul(p, p);
    }
}
  
int main()
{
    int a0, a1, p, q, k;
    while(scanf("%d%d%d%d%d", &a0, &a1, &p, &q, &k) != EOF)
    {
        if(k == 0) 
            printf("%d\n", a0);  
        else if(k == 1) 
            printf("%d\n", a1); 
        else
        {
            int matrix[2][2] = { {p%MOD, q%MOD}, {1, 0} };
            Matrix_cal(matrix, k-1);
            printf("%d\n", (a1 * matrix[0][0] + a0 * matrix[0][1]) % MOD);
        }
    }
    //system("pause");
    return 0;
}
/**************************************************************
    Problem: 1081
    User: superlc320
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:10 ms
    Memory:1020 kb
****************************************************************/