RSA算法
- RSA
- 一、数学原理
- 二、实现代码
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- 1 生成素数
- 2 生成秘钥
- 3 对数据进行加密、解密
- 总结
RSA
RSA是一种非对称加密体制，由公钥和私钥组成，数学原理是实数域的模余法。在使用私钥对数据进行加密后，可用公钥对数据进行解密。
在RSA算法中，设公钥为（D, N），私钥为（E, N），加密过程可以表示为 明 文 E m o d N = 密 文 明文^{E} \ mod\ N=密文 明文E mod N=密文
解密算法一致，把E换成Ｄ， 密 文 Ｄ m o d N = 明 文 密文^{Ｄ} \ mod\ N=明文 密文Ｄ mod N=明文
当然，能这样计算对N、E、D是有要求的。
RSA是目前公认的安全算法，对它进行破解需要进行大数的质数分解，目前除了穷举法没有发现其他方法能计算，而穷举法在足够大的大数面前计算是需要非常漫长的时间的，因此当RSA算法采用的N、E、D足够大时，就认为是安全的。目前来说需要N达到1024bits。
一、数学原理
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欧拉函数的性质：
若 n = q p ， p 和 q 是 两 个 质 数 , 则 φ ( n ) = ( q − 1 ) ( p − 1 ) n = qp，p和q是两个质数,\ 则{\varphi}(n) = (q-1)(p-1) n=qp，p和q是两个质数, 则φ(n)=(q−1)(p−1)
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欧拉定理：若a与n互质，即 g c d ( a , n ) = 1 , 则 a φ ( n ) ≡ 1 m o d n gcd(a,n)=1, 则a^{\varphi(n)}\ {\equiv}\ 1\mod\ n gcd(a,n)=1,则aφ(n) ≡ 1mod n
进一步，若n是质数， a n − 1 ≡ 1 m o d n a^{n-1}\ {\equiv}\ 1\mod n an−1 ≡ 1modn， a n ≡ a m o d n a^{n}\ {\equiv}\ a\mod n an ≡ amodn
- 费马小定理：若n是质数，a与n互质，，则 a n − 1 ≡ 1 m o d n a^{n-1}\ {\equiv}\ 1 \mod \ n an−1 ≡ 1mod n，
- 逆元：如果 a b ≡ 1 m o d n , 则 a 和 b 互 为 逆 元 ab\ {\equiv}\ 1\mod\ n, 则a和b互为逆元 ab ≡ 1mod n,则a和b互为逆元
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RSA加密的条件：
· n = p × q n = p{\times}q n=p×q
· L = φ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) L = {\varphi}(n) = (p-1)(q-1) L=φ(n)=(p−1)(q−1)
· 随机选取 1 < e < L ， 使 得 g c d ( e , L ) = 1 1<e<L，使得gcd(e,L)=1 1<e<L，使得gcd(e,L)=1
·计算 e d ≡ 1 m o d L ed\ {\equiv}\ 1\mod\ L ed ≡ 1mod L
·公钥对 =（n, d），私钥对 =（n, e）
继续设明文 = M，密文 = C，现在来证明可以用上述方法加解密的条件。
M E m o d N = C , C D m o d N = M M^{E}\ mod\ N = C,\ C^{D}\mod\ N = M ME mod N=C, CDmod N=M
根据模法， C D − k N = M C^{D}\ -\ kN = M CD − kN=M，代回第一个式子，
( C D − k N ) E ≡ 1 m o d N (C^{D}\ -\ kN)^{E}\ {\equiv}\ 1\mod\ N (CD − kN)E ≡ 1mod N C D E ≡ C m o d N C^{DE}\ {\equiv}\ C\mod\ N CDE ≡ Cmod N由于 E × D ≡ 1 m o d φ ( N ) E\times D\equiv 1\mod\ \varphi(N) E×D≡1mod φ(N)，也即 E D − k φ ( N ) = 1 ED-k\varphi(N) = 1 ED−kφ(N)=1
若gcd(C, N) = 1，根据欧拉定理， C φ ( N ) ≡ 1 m o d N C^{{\varphi}(N)}\ {\equiv}\ 1\mod\ N Cφ(N) ≡ 1mod N C k φ ( N ) + 1 ≡ C m o d N C^{k{\varphi}(N)+1}\ {\equiv}\ C\mod\ N Ckφ(N)+1 ≡ Cmod N C E D ≡ C m o d N C^{ED}\ {\equiv}\ C \mod\ N CED ≡ Cmod N若C与N不互质，由于N是两个质数的积，所以gcd(C,N)=q or gcd(C,N)=p。设 C = k 1 q o r C = k 2 p C= k_{1}q\ or \ C=k_{2}p C=k1q or C=k2p，假设C = kp，而且gcd(m,q)=1，由欧拉定理和欧拉函数的性质， ( k p ) q − 1 ≡ 1 m o d q (kp)^{q-1} \ {\equiv} \ 1 \mod \ q (kp)q−1 ≡ 1mod q ( ( k p ) q − 1 ) k 2 ( p − 1 ) ≡ ( k p ) q − 1 ≡ 1 m o d q ((kp)^{q-1})^{k_{2}(p-1)}\ {\equiv}\ (kp)^{q-1} \ {\equiv} \ 1 \mod \ q ((kp)q−1)k2(p−1) ≡ (kp)q−1 ≡ 1mod q ( k p ) k 2 φ ( n ) ≡ 1 m o d q (kp)^{k_{2}{\varphi}(n)} \ {\equiv} \ 1 \mod \ q (kp)k2φ(n) ≡ 1mod q C k 2 φ ( n ) − a q = 1 C^{k_{2}{\varphi}(n)}-aq = 1 Ck2φ(n)−aq=1两边同时乘上C, C k 2 φ ( n ) + 1 = a C q + C = a k p q + C = a k N + C = k 3 N + C C^{k_{2}{\varphi}(n)+1}=aCq+C=akpq+C=akN+C=k_{3}N+C Ck2φ(n)+1=aCq+C=akpq+C=akN+C=k3N+C也即 C E D ≡ C m o d N C^{ED}\ {\equiv}\ C\mod\ N CED ≡ Cmod N，原式得证。
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素数检验（Miller-Rabbin算法）
涉及到两个定理：
5.1 费马小定理：参见3，但是费马小定理的逆定理不一定成立
5.2 二次探测定理：如果 p是一个素数， 0 < x < p 0<x<p 0<x<p，则方程 x 2 ≡ 1 m o d p x^{2}\ {\equiv}\ 1 \mod p x2 ≡ 1modp 的解为 x = 1 x=1 x=1 或 x = p − 1 x=p-1 x=p−1
算法内容：
· 设一个数为x，分解为 2 s t = x − 1 2^{s}t\ =\ x-1 2st = x−1，t为x不断除以2得到的最大奇数
· 随机取a， a = a t a=a^{t} a=at，对a进行s次平方（也即计算 b = a 2 m o d x , a = b b = a^{2}\mod x,a = b b=a2modx,a=b），如果其中有次平方的结果为b=1而且此时a不为1或x-1，则不满足二次探测定理
· 如果 a x − 1 m o d x ≠ 1 a^{x-1}\mod x {\neq}1 ax−1modx=1，则不满足费马小定理
如果可以，a取小于x的足够多的质数或者随机选取a进行多次检测。Miller-Rabbin算法只能保证x大概率是一个素数，不过这个概率已经足够大了。
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快速幂
计算 a x m o d n = ? a^x\mod n=? axmodn=?，当a和x很大的时候，中间结果超出存储容量又或者数字太大计算复杂，此时需要快速计算这个指数模余值，可以如下进行：
对x分解为二进制形式，则有 a x m o d n = a 2 b k + 2 b k − 1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2 b 0 m o d n = ( ( a 2 b k m o d n ) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ( a 2 b 0 m o d n ) ) m o d n a^{x}mod\ n= a^{2^{b_{k}}+2^{b_{k-1}}+······+2^{b_0}}mod\ n =((a^{2^{b_k}} mod\ n)······(a^{2^{b_0}} mod\ n))mod\ n axmod n=a2bk+2bk−1+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2b0mod n=((a2bkmod n)⋅⋅⋅⋅⋅⋅(a2b0mod n))mod n
二、实现代码
重新看下RSA算法的流程，
· n = p × q n = p{\times}q n=p×q
· L = φ ( n ) = ( p − 1 ) ( q − 1 ) L = {\varphi}(n) = (p-1)(q-1) L=φ(n)=(p−1)(q−1)
· 随机选取 1 < e < L ， 使 得 g c d ( e , L ) = 1 1<e<L，使得gcd(e,L)=1 1<e<L，使得gcd(e,L)=1
·计算 e d ≡ 1 m o d L ed\ {\equiv}\ 1\mod\ L ed ≡ 1mod L
·公钥对 =（n, d），私钥对 =（n, e）
由于RSA的安全性取决于n的大小，所以生成的p和q越大越好，那么需要
- 生成大素数p和q
- 计算L = (p-1)*(q-1)
- 随机选取与L互质的e，2<e<L
- 计算e对L的逆元d
- 销毁p、q，保存n,e,d
1 生成素数
用基础算法列出1-1000的素数，从2到 x \sqrt x x
求x是非能被1和他自身外的其他数整除。
def createPrime():
ret = []
for i in range(1000):
for j in range(2,ceil(sqrt(i))+1):
if i % j == 0:
break
if j == ceil(sqrt(i)):
ret.append(i)
return ret
先实现快速幂算法，再用Miller-Rabbin算法生成一个大的素数，这个大有多大看需求。
# 1000以内的质数
prime_list = [3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103,
107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223,
227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347,
349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463,
467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607,
613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743,
751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883,
887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997]
def quickPowerMod(a,x,n):
# 计算a**x % n
c = b = 1
binary = bin(x)[2:]
binary = reversed(binary)
for it in binary:
if it == '0':
# 结果不动，乘子指数加一
a = (a ** 2) % n
else:
# 结果乘上当前权重，乘子指数加一
b = (a * b) % n
a = (a ** 2) % n
return b
def MillerRabin(num):
# 偶数
if num & 1 == 0:
return False
# 将num分解为 (2**s)*t = num-1
s = 1
# 这时t必定是偶数，将其分解到为奇数
t = num - 1
while t & 1 == 0:
s += 1
t = t // 2
for it in prime_list:
if it >= num:
break
a = quickPowerMod(it,t,num)
# 二次探测定理
for i in range(s):
b = a * a % num
if b == 1 and a != 1 and a != num-1:
return False
a = b
if a != 1:
# (it**t) 同余 1 mod num, 费马小定理
return False
return True
def createBigPrime():
pMin = 10 ** 54
pMax = 10 ** 64
a = random.randint(pMin,pMax)
while not MillerRabin(a):
a = random.randint(pMin, pMax)
return a
2 生成秘钥
接下来编写函数生成公钥私钥对，求逆元的时候有几种算法，由于明文和N关系未知，选取扩展欧几里得算法，又需要求最大公因子和最小公倍数的函数，这两个很简单，直接上代码。
def gcd(a,b):
if a % b == 0:
return b
else:
return gcd(b, a % b)
def lcm(a,b):
c = gcd(a, b)
return a * b // c
def inverseGCD(a,b):
# 递推求扩展欧几里得算法
if b == 0:
return 1, 0
else:
k = a // b
x2, y2 = inverseGCD(b, a % b)
x1, y1 = y2, x2 - k * y2
# 注意x1可能为负，在外面再求一次模
return x1, y1
def createKeys():
q = createBigPrime()
p = createBigPrime()
n = q * p
# n的欧拉函数
L = (p - 1) * (q - 1)
e = random.randint(2,L)
while gcd(e,L) != 1:
e = random.randint(2,L)
# 计算e * d 同余 1 mod L
# 扩展欧几里得算法求逆元
d, _ = inverseGCD(e,L)
d = d % L
#d = e**(L-2)
with open('e.txt', 'w') as f:
f.write(str(e))
with open('d.txt', 'w') as f:
f.write(str(d))
with open('n.txt', 'w') as f:
f.write(str(n))
return n, e, d
3 对数据进行加密、解密
有了私钥对，加密只是进行一个求快速幂的过程。
m = 8916534261681675
n,e,d = createKeys()
print('私钥对：\n',n,e)
print('公钥对：\n',n,d)
en = quickPowerMod(m,e,n)
print('原消息: ', m)
print('加密后：', en)
de = quickPowerMod(en,d,n)
print('解密后：', de)
看下结果
已经完成正确的加解密！
总结
RSA算法用到数论、离散数学的基础，加密速度慢，而且每次加密过程中消息大小M不能大于N。但RSA算法是公认非常安全的算法。
如果想对大小超出N的消息加密，一般需要先用DES、SHA等对原消息计算成一定长度的摘要，再对摘要进行RSA加密。
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