流网络(Flow Networks)指的是一个有向图 G = (V, E)，其中每条边 (u, v) ∈ E 均有一非负容量 c(u, v) ≥ 0。如果 (u, v) ∉ E 则可以规定 c(u, v) = 0。流网络中有两个特殊的顶点：源点 s (source)和汇点 t(sink)。为方便起见，假定每个顶点均处于从源点到汇点的某条路径上，就是说，对每个顶点 v ∈ E，存在一条路径 s --> v --> t。因此，图 G 为连通图，且 |E| ≥ |V| - 1。
下图展示了一个流网络实例。
设 G = (V, E) 是一个流网络，其容量函数为 c。设 s 为网络的源点，t 为汇点。G 的流的一个实值函数 f：V×V → R，且满足下列三个性质：
容量限制(Capacity Constraint)：对所有顶点对 u, v ∈ V，要求 f(u, v) ≤ c(u, v)。
反对称性(Skew Symmetry)：对所有顶点对 u, v ∈ V，要求 f(u, v) = - f(v, u)。
流守恒性(Flow Conservation)：对所有顶点对 u ∈ V - {s, t}，要求 Σv∈Vf(u, v) = 0。
f(u, v) 称为从顶点 u 到顶点 v 的流，流的值定义为：|f| =Σv∈Vf(s, v)，即从源点 s 出发的总流。
最大流问题(Maximum-flow problem)中，给出源点 s 和汇点 t 的流网络 G，希望找出从 s 到 t 的最大值流。
满足流网络的性质的实际上定义了问题的限制：
经过边的流不能超过边的容量；
除了源点 s 和汇点 t，对于其它所有顶点，流入量与流出量要相等；
上面的图中描述的流网络可简化为下图，其中源点 s = 0，汇点 t = 5。
上图的最大流为 23，流向如下图所示。
Ford-Fulkerson 算法是一种解决最大流的方法，其依赖于三种重要思想：
残留网络(Residual networks)
增广路径(Augmenting paths)
割(Cut)
这些思想是最大流最小割定理的精髓，该定理用流网络的割来描述最大流的值。
最大流最小割定理
如果 f 是具有源点 s 和汇点 t 的流网络 G = (V, E) 中的一个流，则下列条件是等价的：
f 是 G 的一个最大流。
残留网络 Gf 不包含增广路径。
对 G 的某个割 (S, T)，有 |f| = c(S, T)。
Ford-Fulkerson 算法是一种迭代方法。开始时，对所有 u, v ∈ V 有 f(u, v) = 0，即初始状态时流的值为 0。在每次迭代中，可通过寻找一条增广路径来增加流值。增广路径可以看做是从源点 s 到汇点 t 之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。反复进行这一过程，直至增广路径都被找出为止。最大流最小割定理将说明在算法终止时，这一过程可产生出最大流。
1 FORD-FULKERSON-METHOD(G, s, t)2 initialize flow f to 0
3 whilethere exists an augmenting path p4 doaugment flow f along p5 return f
上述伪码实现的时间复杂度为 O(max_flow * E)。
C# 代码实现如下：
1 usingSystem;2 usingSystem.Collections.Generic;3 usingSystem.Linq;4
5 namespaceGraphAlgorithmTesting6 {7 classProgram8 {9 static void Main(string[] args)10 {11 Graph g = new Graph(6);12 g.AddEdge(0, 1, 16);13 g.AddEdge(0, 2, 13);14 g.AddEdge(1, 2, 10);15 g.AddEdge(1, 3, 12);16 g.AddEdge(2, 1, 4);17 g.AddEdge(2, 4, 14);18 g.AddEdge(3, 2, 9);19 g.AddEdge(3, 5, 20);20 g.AddEdge(4, 3, 7);21 g.AddEdge(4, 5, 4);22
23 Console.WriteLine();24 Console.WriteLine("Graph Vertex Count : {0}", g.VertexCount);25 Console.WriteLine("Graph Edge Count : {0}", g.EdgeCount);26 Console.WriteLine();27
28 int maxFlow = g.FordFulkerson(0, 5);29 Console.WriteLine("The Max Flow is : {0}", maxFlow);30
31 Console.ReadKey();32 }33
34 classEdge35 {36 public Edge(int begin, int end, intweight)37 {38 this.Begin =begin;39 this.End =end;40 this.Weight =weight;41 }42
43 public int Begin { get; private set; }44 public int End { get; private set; }45 public int Weight { get; private set; }46
47 public override stringToString()48 {49 return string.Format(50 "Begin[{0}], End[{1}], Weight[{2}]",51 Begin, End, Weight);52 }53 }54
55 classGraph56 {57 private Dictionary>_adjacentEdges58 = new Dictionary>();59
60 public Graph(intvertexCount)61 {62 this.VertexCount =vertexCount;63 }64
65 public int VertexCount { get; private set; }66
67 public IEnumerableVertices68 {69 get
70 {71 return_adjacentEdges.Keys;72 }73 }74
75 public IEnumerableEdges76 {77 get
78 {79 return _adjacentEdges.Values.SelectMany(e =>e);80 }81 }82
83 public intEdgeCount84 {85 get
86 {87 return this.Edges.Count();88 }89 }90
91 public void AddEdge(int begin, int end, intweight)92 {93 if (!_adjacentEdges.ContainsKey(begin))94 {95 var edges = new List();96 _adjacentEdges.Add(begin, edges);97 }98
99 _adjacentEdges[begin].Add(newEdge(begin, end, weight));100 }101
102 public int FordFulkerson(int s, intt)103 {104 intu, v;105
106 //Create a residual graph and fill the residual graph with107 //given capacities in the original graph as residual capacities108 //in residual graph
109 int[,] residual = new int[VertexCount, VertexCount];110
111 //Residual graph where rGraph[i,j] indicates112 //residual capacity of edge from i to j (if there113 //is an edge. If rGraph[i,j] is 0, then there is not)
114 for (u = 0; u < VertexCount; u++)115 for (v = 0; v < VertexCount; v++)116 residual[u, v] = 0;117 foreach (var edge in this.Edges)118 {119 residual[edge.Begin, edge.End] =edge.Weight;120 }121
122 //This array is filled by BFS and to store path
123 int[] parent = new int[VertexCount];124
125 //There is no flow initially
126 int maxFlow = 0;127
128 //Augment the flow while there is path from source to sink
129 while(BFS(residual, s, t, parent))130 {131 //Find minimum residual capacity of the edhes along the132 //path filled by BFS. Or we can say find the maximum flow133 //through the path found.
134 int pathFlow = int.MaxValue;135 for (v = t; v != s; v =parent[v])136 {137 u =parent[v];138 pathFlow = pathFlow
142 //update residual capacities of the edges and reverse edges143 //along the path
144 for (v = t; v != s; v =parent[v])145 {146 u =parent[v];147 residual[u, v] -=pathFlow;148 residual[v, u] +=pathFlow;149 }150
151 //Add path flow to overall flow
152 maxFlow +=pathFlow;153 }154
155 //Return the overall flow
156 returnmaxFlow;157 }158
159 //Returns true if there is a path from source 's' to sink 't' in160 //residual graph. Also fills parent[] to store the path.
161 private bool BFS(int[,] residual, int s, int t, int[] parent)162 {163 bool[] visited = new bool[VertexCount];164 for (int i = 0; i < visited.Length; i++)165 {166 visited[i] = false;167 }168
169 Queue q = new Queue();170
171 visited[s] = true;172 q.Enqueue(s);173 parent[s] = -1;174
175 //standard BFS loop
176 while (q.Count > 0)177 {178 int u =q.Dequeue();179
180 for (int v = 0; v < VertexCount; v++)181 {182 if (!visited[v]183 && residual[u, v] > 0)184 {185 q.Enqueue(v);186 visited[v] = true;187 parent[v] =u;188 }189 }190 }191
192 //If we reached sink in BFS starting from source,193 //then return true, else false
194 return visited[t] == true;195 }196 }197 }198 }
运行结果如下：
参考资料
本文转自匠心十年博客园博客，原文链接：http://www.cnblogs.com/gaochundong/p/ford_fulkerson_maximum_flow_algorithm.html，如需转载请自行联系原作者