初级1 题目一 时间复杂度及示例

1. 什么是时间复杂度？

        常数时间的操作：一个操作如果和数据量没有关系，每次都是固定时间内完成的操作，叫做常数操作。                 一个算法流程中，常数操作数量的指标（就是常数操作在算法里总共有多少次）称为时间复杂度。常用O（读作big O）来表示。具体来说，在常数操作数量的表达式中，只要高阶项，不要低阶项，也不要高阶项的系数，剩下的部分如果记为 f(N)，那么时间复杂度为 O(f(N))。         评价一个算法流程的好坏，先看时间复杂度的指标，然后再分析不同数据样本下的实际运行时间，也就是常数项时间。

2. 时间复杂度的例子

        一个有序数组A，另一个无序数组B，请打印B中的所有不在A中的数，A数组长度为N，B数组长度为M。

算法流程1：对于数组B中的每一个数，都在A中通过遍历的方式找一下； 算法流程2：对于数组B中的每一个数，都在A中通过二分的方式找一下； 算法流程3：先把数组B排序，然后用类似外排的方式打印所有不在A中出现的数； 三个流程，三种时间复杂度的表达... 1）打印 B中的所有不在A中的数，意思就是在B数组中，与A数组不相同的数，都将其打印出来；第一个流程简单明了，每次B数组取出一个数，去和A数组全部的元素都对比一下，这样如果B数组取出的数和A数组全部元素都没有相同的，那么将这个元素打印出来，B数组M个数，A数组N个数，这样操作下来总共要执行 MN 次，所以时间复杂度 O(MN)

#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

// 想要的功能，给定范围，给定个数，生成一个带有随机数的数组
void Generate(int **ptr, int length, int high){
	
	*ptr = malloc(sizeof(int)*length); 
	if(*ptr){
		int rand_num;
		for(int i=0;i<length;i++){
			rand_num = rand() % high; // 生成[0,high)的随机数
			*(*ptr+i) = rand_num;    // *ptr是首地址
		}
	}
	else{
		printf("Application for space failed!");
	}
}

// 交换两块内存中的值
void Swap(void *first, void *second, size_t size){
	
	// 得到传进来的类型，利用其开辟一块相同大小的空间
	void *temp = malloc(sizeof(void *)*size);
	
	// 然后将值复制到那块空间中，执行交换操作
	if(temp){
		memcpy(temp,first,size);  // 目的地，源，复制多少块内存
		memcpy(first,second,size);
		memcpy(second,temp,size);
	}
	else{
		puts("Application for space failed!");
	}
}

// 冒泡排序
void BubbleSort(int *array, int length){
	int i,j;
	
	for(i=length-1;i>0;i--){
		for(j=0;j<i;j++){
			if(*(array+j) > *(array+j+1)){
				Swap(array+j, array+j+1, 1);
			}
		}
	}
} 

// 找到B中的所有不在A的元素
void FindDifferenceFirst(int *arrayA, int *arrayB,int length_a, int length_b){
	int i,j;
	for(i=0;i<length_b;i++){
		for(j=0;j<length_a;j++){
			if(*(arrayB+i) == *(arrayA+j)){ // 如果B中元素在A中找到了，直接跳转到B数组中下一个元素
				break;
			}else if(j==length_a-1){  // 如果遍历到A数组最后一个元素，而且两者还不相等
				printf("%d " ,*(arrayB+i));
			}
		}
	}
}

int main()
{
    srand(time(NULL));  // 每次随机出来的数不一样
	
	int length_a = 10;
	int high_a = 20;
	
	int *arrayA;    // 创建数组A
	Generate(&arrayA, length_a, high_a);
	BubbleSort(arrayA, length_a);  // A数组有序
	
	int length_b = 15;
	int high_b = 20;
	int *arrayB;    // 创建数组B，无序数组
	Generate(&arrayB, length_b, high_b); 
	
	int i;
	// 打印A数组
	printf("A数组：\n");
	for(i=0;i<length_a;i++){
		printf("%d ", *(arrayA+i));
	}
		
	// 打印B数组
	printf("\nB数组：\n");
	for(i=0;i<length_b;i++){
		printf("%d ", *(arrayB+i));
	}
	
	printf("\nB中所有不在A的元素：\n");
	FindDifferenceFirst(arrayA,arrayB,length_a,length_b);
	
	return 0;
}
           

2）第二种算法流程的提出是因为 A 是有序数组，有序数组二分查找的时间复杂度是 O(logn)（所有A查找一遍的复杂度是 O(logN) ），遍历数组 B 的时间复杂度为 O(M)，所有总的时间复杂度是 O(MlogN)

// 二分查找
int BinarySearch(int number, int *array, int length){
	int low = 0;
	int high = length-1;

	while(low <= high){
		int middle = low + (high-low)/2;
		
		if(number < *(array+middle)){
			high = middle-1;
		}else if(number > *(array+middle)){
			low = middle+1;
		}else{
			return *(array+middle);
		}
	}
	return -1;
}

void FindDifferenceSecond(int *arrayA, int *arrayB,int length_a, int length_b){
	int i,j;
	for(i=0;i<length_b;i++){
		int result = BinarySearch(*(arrayB+i), arrayA, length_a);
		if(result == -1){ // 等于-1代表A中没有这个数
			printf("%d, ", *(arrayB+i));
		}
	}
}

int main()
{
    srand(time(NULL));  // 每次随机出来的数不一样
	
	int length_a = 10;
	int high_a = 20;
	
	int *arrayA;    // 创建数组A
	Generate(&arrayA, length_a, high_a);
	BubbleSort(arrayA, length_a);  // A数组有序
	
	int length_b = 15;
	int high_b = 20;
	int *arrayB;    // 创建数组B，无序数组
	Generate(&arrayB, length_b, high_b); 
	
	int i;
	// 打印A数组
	printf("A数组：\n");
	for(i=0;i<length_a;i++){
		printf("%d ", *(arrayA+i));
	}
		
	// 打印B数组
	printf("\nB数组：\n");
	for(i=0;i<length_b;i++){
		printf("%d ", *(arrayB+i));
	}
	
	printf("\nB中所有不在A的元素：\n");
	\\ FindDifferenceFirst(arrayA,arrayB,length_a,length_b);
	
	printf("\n");
	FindDifferenceSecond(arrayA,arrayB,length_a,length_b);
	
	
	return 0;
}
           

3）算法流程3，首先 B 数组排序就是 O(MlogM) 的时间复杂度，其次，利用类似外排的方式意思就是，设置两个指标，分别指向 A、B 数组的起始位置，然后逐一比对，哪个数组的元素小，哪个数组的指标就向后移，在移动的过程中进行判断：如果 A 数组中元素比 B 数组元素小，A 数组的指标 ++；如果 B 数组的元素比 A 数组元素相等，B 数组指标 ++；如果 B 数组元素比 A 数组元素小，那么打印该元素，并且 B 数组指标 ++，因为这证明 B 数组之前就没有和 A 数组元素相等的时候；最后判断一下 B 数组是否遍历完毕，因为如果 A 数组值都小于 B 数组，B 数组的指标是没办法移动的，至于 A 数组遍历完毕无所谓，只要 B 中元素都和 A 比较过就行。这样比较下来的时间复杂度是 O(M+N)，所以总时间复杂度为 O(MlogM) + O(M+N)

void FindDifferenceThird(int *arrayA, int *arrayB, int length_a, int length_b){
	
	// 首先将B数组排序
	BubbleSort(arrayB,length_b);
	
	int i=0,j=0;
	while(i<length_a && j<length_b){
		if(*(arrayA+i) < *(arrayB+j)){  // 如果A的元素小
			i++;
		}else if(*(arrayA+i) == *(arrayB+j)){
			j++;
		}else if(*(arrayA+i) > *(arrayB+j)){
			printf("%d ", *(arrayB+j));
			j++;
		}
	}
	// 还要判断一下B数组有没有遍历完，没遍历完说明A数组元素都太小了
	while(j<length_b){
		printf("%d ", *(arrayB+j));
		j++;
	}
}