高等代数试题及答案
中国海洋大学 2007-2008 学年 第 2学期 期末考试试卷,数学科学 学院 《高等代数》课程试题(A 卷) 共 2 页 第 1 页 考试说明：本课程为闭卷考试，可携带 文具，满分为：100 分. 一.判断题(每题2分,共10分) 1.线性空间V ＝ ＋ ,则 dim +dim =dimV. ( ) 1 V 2 V 1 V 2 V 2.特征向量的和仍是特征向量. ( ) 3.欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的. ( ) 4.一个线性变换的不变子空间之和仍是它的不变子空间. ( ) 5.全体 阶上三角矩阵对于矩阵的加法和数乘构成实数域上的线性空间. ( ) n 二(20分)已知 , .求 的特征值和特征向量,并求一正交阵 1 ,1 ,1 ,1 A A T 使 成对角形. AT T 三(20分)设 是数域 上形如 的循环矩阵的集合， M P 1 2 1 1 2 3 1 n n n a a a a a a A a a a (1) 证明: 是线性空间 的子空间. M n n P (2)证明: 有 . , , A B M AB BA (3)求 的维数和一组基. M 四(10分)设 为3阶复数矩阵, 与 等 价 .，求 的若当 A A E 0 1 2 1 2 0 2 0 0 A 标准形. 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 优选专业年级 XXX XXXX 学号 姓名 授课教师 座号 ---------------- ---------------- ----------------装 装 装---------------- ---------------- ----------------订 订 订---------------- ---------------- ----------------线 线 线---------------- ---------------- ----------------授课教师命题教师或 命题负责人签字 年 月 日 院系负责人签 字 年 月 日 共 2 页 第 2 页中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第 X 学期 期末考试试卷学院《XXX XXXXX》课程试题(A 卷) 共 页 第 页 五(10分)证明：设 为n级矩阵, 是矩阵 的最小多项式,则多项式 以 A ( ) g x A ( ) f x 为根的充要条件是 | . A ( ) g x ( ) f x 六(10分)设V是数域 上的n维线性空间, 是 上的线性变换，且 . P A B , V AB BA 证明: 的值域与核都是 的不变子空间. B A 七(10分)设 阶矩阵 , ,求 的最小多项式. 2n a b a b A b a b a a b A 八(10分)设 是数域 上线性空间 上的线性变换,多项式 互素,且满足 f P V , p x q x (零变换) 0 p f q f 求证： , ker , ker V W S W p f S q f 优选专业年级 XXX XXXX 学号 姓名 授课教师 座号 ---------------- ---------------- ----------------装 装 装---------------- ---------------- ----------------订 订 订---------------- ---------------- ----------------线 线 线---------------- ---------------- ---------------- 优选专业年级 XXX XXXX 学号 姓名 授课教师 座号 ---------------- ---------------- ----------------装 装 装---------------- ---------------- ----------------订 订 订---------------- ---------------- ----------------线 线 线---------------- ---------------- ----------------中国海洋大学 2007-2008 学年 第 2学期 期末考试数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解： = ， ，所以特征值为 0，4(3重). A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 | ( 4) E A ｜ 将特征值代入，求解线性方程组 ，得 4个线性无关的特征向量 ( ) 0 E A x (答案可以不唯一) ，再正交单位化，得 4个单位正交向量： ， ， 1 1 1 1 1 , , , ) 2 2 2 2 ＝( 2 1 1 , ,0,0) 2 2 ＝(- ， . 3 1 1 2 , , ,0) 6 6 6 ＝(- 4 3 3 3 3 , , , ) 6 6 6 2 ＝(- 所以正交阵 而 . 1 1 1 3 2 6 2 6 1 1 1 3 2 6 2 6 1 2 3 0 2 6 6 1 3 0 0 2 2 T 4 0 0 0 T AT 三.证：(1) 验证 即可. , . A B M , A B kA M (2) 令 ， 为循环阵， 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 n E D E