大家好，我是小小明。
今天看到了一道我做不出来的小学数学题：
目前的要求就是要求出阴影部分的面积：
虽说只是一道小学数字题，但作为渣渣我是真的不会做。虽然我不会做，但是我会Python，所以可以让Python帮我做。
不过这题张老师会做，这是他的解法：
张老师的解法
首先作辅助线：
根据容斥原理，S(阴影部分面积)=S(扇形DAF)+S(扇形DEF)-S(四边形AFED)
S(四边形AFED)=2*S(三角形ADE)=1/2*S(正方形ABCD)=25/2
两个扇形的面积求解会复杂点，但只要找到相似三角形就能找到突破点。
因为∠AFE=∠ADE=90°，所以∠DAF+∠FED=180°
又∠FEC+∠FED=180°，所以∠DAF=∠FEC
故 扇形DAF 与 扇形FEC 相似。
对于相似扇形，面积之比等于边长之比的平方。
因为
AD=2*EC
，所以S(扇形DAF)=4*S(扇形FEC)
所以
S(扇形DAF)+S(扇形DEF)=4*S(扇形FEC)+S(扇形DEF)=3*S(扇形FEC)+S(半圆DC)
由于∠FEC=∠DAF，故
下面我们求解∠DAF，由于tan(∠DAE)=DE/AD=1/2
根据倍角公式：得
所以，∠DAF=arctan(4/3)
所以S(阴影部分面积)=S(扇形DAF)+S(扇形DEF)-S(四边形AFED)
=3*S(扇形FEC)+S(半圆DC)-25/2
=3·(25·arctan(4/3)/8)+((5/2)^2·π)/2-25/2
=75/8·arctan(4/3)+25/8·π-25/2
这样就得到了最终结果为：
=75/8·arctan(4/3)+25/8·π-25/2
用python计算一下精确数值：
import math
75/8*math.atan(4/3)+25/8*math.pi-25/2 结果：6.0108697112332194
在计算出∠DAF后，算阴影部分的弧长也很简单了：
DF的上弧长=DC弧长-FC弧长=5/2·π-5/2·arctan(4/3)
DF的下弧长=5·∠DAF=5·arctan(4/3)
阴影部分的弧长=DF的上弧长+DF的下弧长=5/2·π+5/2·arctan(4/3)
用python计算一下精确数值：
import math
5/2*math.pi+5/2*math.atan(4/3) 结果：10.172219678978513
个人感觉上面的解法虽然计算出来了，还是挺复杂的，直接用python计算积分简单省事：
Python绘制函数图形
首先，我们以D点建立直角坐标系，然后计算出，扇形和圆形的函数分别是：
- 扇形：
- 圆形：
绘制图形验证一下：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
%matplotlib inline
x = np.linspace(0, 5, 1024)
y1 = 5-np.sqrt(25-x**2)
y2 = np.sqrt(5*x-x**2)
plt.figure(figsize=(5, 5))
plt.plot(x, y1, label='扇形y=5-$\sqrt{25-x^2}$')
plt.plot(x, y2, label='圆形y=$\sqrt{5x-x^2}$')
plt.fill_between(x[y1 <= y2], y1[y1 <= y2], y2[y1 <= y2])
plt.xlim(0, 5)
plt.ylim(0, 5)
plt.axvline(4, ymin=0, ymax=0.4, color="r", ls="--")
plt.legend()
plt.show() 从结果看没有问题。
Python求解积分计算阴影部分面积
上面已经计算出了函数表达式，现在我们使用sympy表示一下：
from sympy.abc import x
import sympy
y1 = 5-sympy.sqrt(25-x**2)
y2 = sympy.sqrt(5*x-x**2) 为了确定积分的结束位置，我们首先需要计算出两个函数的交点。
令两个函数的差值为0，求解x：
sympy.solve(y2-y1, x) 得到：[0, 4]
说明第二个交点的x坐标是4。
为了得到对应的y坐标，我们可以将x代入两个函数任意一个：
display(y1)
display(y1.subs(x, 4))
display(y2)
display(y2.subs(x, 4)) 说明交点的y坐标为2。
然后计算积分：
r1 = sympy.integrate(y2-y1, (x, 0, 4)) 结果：
计算具体的数值：
r1.evalf() 结果为：6.01086971123322
可以看到与张老师的计算结果几乎一致。
Python求解曲线积分计算阴影部分周长
首先，我们需要清楚曲线积分的计算公式：
那么，我们的计算方法为：
r2 = sympy.integrate(sympy.sqrt(1+sympy.diff(y1, x)**2), (x, 0, 4)) + \
sympy.integrate(sympy.sqrt(1+sympy.diff(y2, x)**2), (x, 0, 4)) 结果：
r2.evalf()