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[NOIP2016]组合数问题

题目描述:

题目链接: UOJ 263 http://uoj.ac/problem/263

题目背景: NOIP2016 提高组 Day2 T1

组合数 表示的是从 n 个物品中选出 m 个物品的方案数。举个例子,从 (1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义,我们可以给出计算组合数 的一般公式:

[NOIP2016]组合数问题

其中 n!=1×2×...×n 。

小葱想知道如果给定 n,m 和 k,对于所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 有多少对 (i,j) 满足

[NOIP2016]组合数问题

是 k 的倍数。

输入格式:

第一行有两个整数 t,k,其中 t 代表该测试点总共有多少组测试数据,k 的意义见【问题描述】。

接下来 t 行每行两个整数 n,m,其中 n,m 的意义见【问题描述】。

输出格式:

输出 t 行,每行一个整数代表所有的 0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 中有多少对 (i,j) 满足

[NOIP2016]组合数问题

是 k 的倍数。

样例输入1:

1 2

3 3

样例输出1:

1

样例输入2:

2 5

4 5

6 7

样例输出2:

7

备注:

样例1说明:在所有可能的情况中,只有 是 2 的倍数。

数据规模与约定:

[NOIP2016]组合数问题

题目分析:

由组合数与杨辉三角的对应关系可知递推公式。令 f[i][j] 代表

[NOIP2016]组合数问题

,得 f[i][j]=f[i−1][j−1]+f[i−1][j] 。所以我们可以预处理出所有组合数,就得知是否是k的倍数。为避免爆int,更新时模k,这不影响判断。再开一个数组 ans[i][j] ,记录对于i这一维到j时满足要求的数的个数。最后答案就是累加 ans[1][min(1,j)]+ans[2][min(2,j)]+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ans[i][min(i,j)] 。

附代码:

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<iomanip>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn=;
const int N=+;
int t,k,maxx,maxy,f[maxn][maxn],ans[maxn][maxn],n[N],m[N],sum;

void pre()
{
    f[][]=;
    for(int i=;i<=maxx;i++)
        for(int j=;j<=i;j++)
        {
            f[i][j]=(f[i-][j-]+f[i-][j])%k;
            if(f[i][j]==) ans[i][j]++;
            ans[i][j]+=ans[i][j-];
        }
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);

    scanf("%d%d",&t,&k);
    for(int i=;i<=t;i++)
    {
        scanf("%d%d",&n[i],&m[i]);
        if(n[i]>maxx) maxx=n[i];
        if(m[i]>maxy) maxy=m[i];
    }   
    pre();
    for(int i=;i<=t;i++)
    {
        sum=;
        for(int j=;j<=n[i];j++)
        {
            int v=min(j,m[i]);
            sum+=ans[j][v];
        }   
        printf("%d\n",sum);
    }

    return ;
}